עקרון קאוואליירי

בגאומטריה, עקרון קאוואליירי מספק דרך להראות כי לשני גופים גאומטריים יש אותו השטח או הנפח. ביתר פירוט העיקרון קובע כי:

• במישור הדו־ממדי – נניח כי שתי צורות מצויות בין שני ישרים מקבילים.

אם כל ישר המקביל לשני ישרים אלה חותך את שתי הצורות בקטעים באורך זהה, אזי שתי הצורות בעלות שטח זהה.

• במרחב התלת־ממדי – נניח כי שני גופים מצויים בין שני מישורים מקבילים.

אם כל מישור המקביל לשני מישורים אלה חותך את שני הגופים בחתכים מישוריים בעלי שטח זהה, אזי שני הגופים בעלי נפח זהה.

העיקרון נקרא על שם המתמטיקאי האיטלקי בונאוונטורה קאוואליירי שהציג אותו ב־1635 והשתמש בו למציאת שטחיהם ונפחיהם של גופים רבים. עם זאת המתמטיקאי הסיני דְזוּ גֶנְג עשה בו שימוש עוד במאה ה-5 למציאת הנוסחה לנפח כדור.

קאוואליירי קבע את נכונות העיקרון בהסתמך על ראיית החתכים כגופים בעלי עובי אינפיניטסימלי שסכום שטחיהם או נפחיהם שווה לשטח או נפח הגוף כולו. הבחנה זו נחשבת לצעד חשוב בהיסטוריה של החשבון האינפיניטסימלי בדרך לאינטגרציה. מכיוון שהחשבון האינפיניטסימלי טרם פותח באותה העת, ובהיעדר הגדרה פורמלית לשטח ונפח, הוכחה ריגורוזית של העיקרון לא הייתה בגדר האפשר בתקופתו של קאוואליירי. באנליזה מתמטית מודרנית עקרון קאוואליירי מתקבל כמסקנה של משפט פוביני.

רעיונותיו של קאוואליירי על חתכים אינפיניטסימליים הובילו אותו בין השאר לגילוי הנוסחה המוכרת לאינטגרציה של מונומים (פונקציות מהצורה ${\displaystyle x^{n}:n\in \mathbb {N} }$), הידועה כיום כנוסחת האינטגרציה קאוואליירי.

שיטת בעלי התוספות להוכיח ששטח העיגול שווה לשטח משולש שרוחב בסיסו כהקף המעגל וגובהו כרדיוס המעגל. החלק הראשון הוא הכללת העיקרון לקוים עקומים, והחלק השני הוא שימוש בעקרון (שבדרך־כלל לא נדרשים לו בהוכחת שטח משולש).

ניתן לדמות את שטח העיגול כמורכב מאינספור טבעות קונצנטריות (בעלות מרכז משותף).

הקפי הטבעות גדלים ביחס ישר למרחקן (רדיוסן) ממרכז המעגל.

לפיכך, ניתן ”לפרק” את העיגול ליצירת משולש שוה־שוקים שבסיסו ${\displaystyle 2\pi r}$ וגבהו ${\displaystyle r}$, כלומר שטחו ${\displaystyle \pi r^{2}}$.

נתונה ציקלואידה הנוצרת על ידי מעגל מתגלגל (ללא החלקה) שרדיוסו ${\displaystyle r}$. נמתח שני ישרים מקבילים אופקיים המשיקים למעגל. המעגל יכול להתגלגל בשני האופנים הבאים: הוא יכול להתגלגל ימינה על הישר התחתון בכיוון השעון, ויכול להתגלגל ימינה כנגד כיוון השעון על הישר העליון (המעגל נמצא תחת הישר העליון, ומתנהג כאילו הוא מתגלגל הפוך על תקרה).

בשני המקרים נגלגל את המעגל חצי סיבוב. כל אחד מצורות הגלגול יוצרת ציקלואידה, ושתי הציקלואידות נפגשות בקצוות ויוצרות צורה סוגרה. לא משנה כיצד מגלגלים את המעגל, בשני המקרים לאחר שהוא יעבור זווית מסוימת הוא יימצא באותו מקום, ולכן מכיוון שהנקודות המתוות את הציקלואידה בשני המקרים התגלגלו אותה זווית, הן יהיו באותו הגובה. הקו המחבר את שתי הנקודות מקביל לשני הישרים עליהם מתגלגלים, ומכיוון ששתי הנקודות מצויות על המעגל המתגלגל, הישר המחבר אותן הוא מיתר במעגל המקביל לישרים. לכן לפי עקרון קאוואליירי השטח בין הציקלואידות שווה לשטח המעגל.

קיבלנו שהשטח בין הציקלואידות הוא ${\displaystyle \pi r^{2}}$. שטח המלבן החוסם את שתי הציקלואידות (המסגרת של האיור) הוא ${\displaystyle \pi r\cdot 2r=2\pi r^{2}}$.

כלומר השטח בין הציקלואידות הוא מחצית שטח המלבן. מכאן ששטח כל אחד מהחלקים במלבן שמעל ומתחת לציקלואידות הוא ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}r^{2}}$.

נחבר את השטח שמתחת לציקלואידה התחתונה ונכפיל ב־2 לקבלת השטח מתחת לציקלואידה שלמה (שכן עסקנו עד כה רק בחצאי ציקלואידה):

${\displaystyle 2\left(\pi r^{2}+{\frac {\pi }{2}}r^{2}\right)=3\pi r^{2}}$

לפי עקרון קאוואליירי לכל הפירמידות שיש להן אותו הגובה ולבסיס שלהן אותו השטח, יש נפח זהה. הבסיס אפילו אינו חייב להיות מצולע (למשל אם הוא מעגל הפירמידה היא חרוט).

נתונה פירמידה ששטח בסיסה ${\displaystyle S}$ וגובהה ${\displaystyle h}$. מהגדרת הפירמידה, כל חתך מישורי דרכה המקביל לבסיסה, דומה לבסיסה. מכיוון שהפרמידה מוגדרת על ידי מתיחת קווים ישרים, יחס הדמיון משתנה ביחס ישר לגובה החתך מעל הבסיס. למעשה אם גובה החתך מעל הבסיס הוא ${\displaystyle y}$ אז יחס הדמיון הוא ${\displaystyle {\frac {h-y}{h}}}$. מתכונות יחס הדמיון ידוע לנו שהיחס בין שטח החתך לשטח הבסיס נתון על ידי ריבוע יחס הדמיון. כלומר שטח החתך הוא ${\displaystyle S\left({\frac {h-y}{h}}\right)^{2}}$.

קיבלנו ששטח חתך מישורי של פירמידה המקביל לבסיס תלוי רק בשטח הבסיס, גובה הפירמידה וגובה החתך. נמקם את שני הבסיסים של שתי פירמידות עם אותו שטח בסיס וגובה, על אותו מישור, ונעביר מישור נוסף מקביל לו דרך קודקודיהן. לפי התכונה שהוכחנו זה עתה, לכל חתך מישורי מקביל למישורים אלו שנעביר דרכם, יתקבל חיתוך עם שטח זהה לכל אחד מהגופים. לכן לפי עקרון קאוואליירי נפח שתי הפירמידות זהה.

כעת ניתן להסיק את הנוסחה לנפח פירמידה כלשהי. כפי שאוקלידס הוכיח^[1], כל מנסרה משולשת (בעלת בסיס משולש) ניתן לחלק לשלושה ארבעונים (פירמידות עם בסיס משולש), כך שלמנסרה ולשלושת הארבעונים אותו שטח בסיס וגובה. לפי השקילות שהוכחנו, לכל שלושת הארבעונים אותו הנפח, ומכאן שנפח הארבעון הוא שליש נפח המנסרה. אם לארבעון ולמנסרה יש בסיס ששטחו ${\displaystyle S}$ וגובה ${\displaystyle h}$, אז נפח הארבעון הוא ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}Sh}$. מכיוון שהוכחנו שלכל פירמידה עם שטח בסיס וגובה זהים יש אותו נפח, זוהי נוסחה כללית לנפח של כל פירמידה.

למעשה הוכחת התוצאה הזו מחייבת את השימוש בעקרון קאוואליירי או בטיעון אינפיניטסימלי דומה. שכן פתרון הבעיה השלישית של הילברט קובע שלא ניתן להוכיח שוויון נפחים של פירמידות (אפילו עם בסיס מצולע) על ידי פירוק סופי לפאונים חופפים. קושי שכזה לא מופיע במקרה של שטחים במקום נפחים.

בשרטוט נתון גליל שרדיוס בסיסו ${\displaystyle r}$ וגבהו ${\displaystyle h}$, ובתוכו חסום פרבולואיד קטום ${\displaystyle y=h\left({\frac {x}{r}}\right)^{2}}$ שקדקדו משיק למרכז בסיסו התחתון של הגליל וצדו הקטום הוא בסיסו העליון של הגליל. לאחר הסרת נפח הפרבולואיד החסום מנפח הגליל מתקבל ”גליל מנוקב”.

כמו כן נתון פרבולואיד קטום ${\displaystyle y=h-h\left({\frac {x}{r}}\right)^{2}}$, שמידותיו זהות לקודמו אך קדקדו וצדו הקטום התהפכו.

לכל נקודת גובה ${\displaystyle 0\leq y\leq h}$, שטח חתך הרוחב המעגלי ${\displaystyle \pi \left({\sqrt {1-{\frac {y}{h}}}}\,r\right)^{2}}$ של הפרבולואיד שוה לשטח חתך הרוחב הטבעתי ${\displaystyle \pi r^{2}-\pi \left({\sqrt {\frac {y}{h}}}\,r\right)^{2}}$ של הגליל המנוקב.

לפיכך נפחי שני הגופים זהים. כלומר נפח פרבולואיד קטום שוה למחצית נפח הגליל החוסם אותו.

מכיוון ששטחו של עיגול ברדיוס ${\displaystyle r}$ הוא ${\displaystyle \pi r^{2}}$, מקבלים מהסעיף הקודם שנפח חרוט שגובהו ${\displaystyle h}$ הוא ${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}r^{2}h}$. באמצעות עובדה זו ועקרון קאוואליירי ניתן למצוא את נפחו של כדור.

נתון כדור ברדיוס ${\displaystyle r}$. נמקם גליל שרדיוסו וגבהו כאחד ${\displaystyle r}$ כך שבסיסו התחתון שוכן על אותו מישור עם מעגל גדול של הכדור (כמודגם באיור). נגדיר חרוט ישר כך שבסיסו הוא הבסיס העליון של הגליל וקודקודו שוכן על הבסיס התחתון של הגליל. לאחר הסרת נפח החרוט החסום מנפח הגליל מתקבל ”גליל מנוקב”.

נבחן חתך מישורי העובר דרך הכדור והגליל המנוקב וגובהו מעל הבסיס התחתון של הגליל המנוקב הוא ${\displaystyle y}$. נחשב את שטח החיתוך של המישור עם כל אחד משני הגופים.

חיתוך החתך עם הכדור הוא מעגל, שלפי משפט פיתגורס רדיוסו ${\displaystyle {\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}$, ולכן שטחו ${\displaystyle \pi (r^{2}-y^{2})}$. מצד שני, חיתוך המישור עם הגליל המנוקב הוא טבעת הנוצרת על ידי הסרת עיגול החיתוך של המישור עם החרוט, מעיגול החיתוך של המישור עם הגליל. רדיוס עיגול החיתוך של החרוט הוא ${\displaystyle y}$ (שכן רדיוס וגובה החרוט זהים, ומכאן שגבולות החרוט מצויים בזווית 45 מעלות עם הגובה, ויוצרים משולש שווה-שוקיים ששוקיו ${\displaystyle y}$), ואילו רדיוס עיגול החיתוך של הגליל הוא ${\displaystyle r}$. מכאן ששטח הטבעת הוא ${\displaystyle \pi r^{2}-\pi y^{2}=\pi (r^{2}-y^{2})}$.

קיבלנו שכל חתך מישורי המקביל לבסיס הגליל חותך את שני הגופים בשטח זהה, ולכן לפי עקרון קאוואליירי נפחי הגופים זהים. מכאן שנפח חצי הכדור הוא כנפח הגליל המנוקב. נפח הגליל המנוקב מתקבל מהחסרת נפח הגליל מנפח החרוט: ${\displaystyle \pi r^{2}\cdot r-{\frac {\pi }{3}}r^{2}\cdot r={\frac {2\pi }{3}}r^{3}}$. נפח הכדור כולו הוא פעמיים הנפח הזה, כלומר ${\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}r^{3}}$.

אם לוקחים כדור וקודחים דרכו חור באמצעות מקדח גלילי, הצורה הנוצרת היא מן טבעת סביב מרכז הכדור המזכירה בצורתה חובק מפיות. בעיית "חובק המפיות" שואלת מה נפח הטבעת, והתשובה המפתיעה היא שהנפח תלוי רק באורך החור, ולא ברדיוס הכדור.

נתון כדור ברדיוס ${\displaystyle r}$, ובתוכו חוסמים גליל שגבהו ${\displaystyle h}$. "חובק המפיות" שאת נפחו אנו מחשבים הוא הנפח שבתוך הכדור ומחוץ לגליל ולחלקי הכדור (שצורתם כיפה) שמעל ומתחת לגליל. חובק המפיות הוא למעשה הנפח סביב החור הגלילי. ממשפט פיתגורס נקבל שרדיוס הגליל הוא ${\displaystyle {\sqrt {r^{2}-(0.5h)^{2}}}}$.

נבחן חתך מישורי דרך חובק המפיות שעובר בגובה ${\displaystyle y}$ מעל המעגל הגדול של הכדור המקביל לבסיס הגליל ("קו המשווה" של הכדור). שטח החיתוך יהיה טבעת השווה לשטח החיתוך עם הכדור פחות שטח החיתוך על הגליל. שטח החיתוך עם הכדור ידוע לנו מהסעיף הקודם, ולכן נקבל:

${\displaystyle \pi (r^{2}-y^{2})-\pi \left(r^{2}-(0.5h)^{2}\right)=\pi \left((0.5h)^{2}-y^{2}\right)}$

זהו בדיוק שטח החיתוך של חתך מישורי בגובה ${\displaystyle y}$ עם כדור שרדיוסו ${\displaystyle 0.5h}$ מעל המעגל הגדול שלו. לכן לפי עקרון קאוואליירי לחובק המפיות יש נפח זהה לנפח כדור זה:

${\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}(0.5h)^{3}={\frac {\pi }{6}}h^{3}}$

נשים לב כי נפח זה כלל לא תלוי ברדיוס הכדור, כלומר נפחם של כל חובקי המפיות מאותו גובה תמיד זהה, ללא קשר לגודל הכדור.

מדיה וקבצים בנושא עקרון קאוואליירי בוויקישיתוף

• נפח פרבולואיד, סרטון באתר יוטיוב
• Struik, J. D. (1969), A Source Book in Mathematics, 1200-1800, p. 209-219, Harvard University Press, ISBN 0691023972
• עקרון קאוואליירי, באתר MathWorld (באנגלית)