שדה המספרים הניתנים לבנייה

	ערך מחפש מקורות
	רובו של ערך זה אינו כולל מקורות או הערות שוליים, וככל הנראה, הקיימים אינם מספקים. אנא עזרו לשפר את אמינות הערך באמצעות הבאת מקורות לדברים ושילובם בגוף הערך בצורת קישורים חיצוניים והערות שוליים. אם אתם סבורים כי ניתן להסיר את התבנית, ניתן לציין זאת בדף השיחה.

שדה המספרים הניתנים לבנייה הוא השדה הכולל את כל המספרים שאפשר לבנות בסרגל ובמחוגה.^[1]

אפשר לבנות את השדה הזה כך: בתחילה נתונות רק שתי נקודות במישור ריק (אלו הנקודות שיתאימו לאיבר האפס ואיבר היחידה של השדה). הסרגל מאפשר להעביר קו ישר בין שתי נקודות נתונות; המחוגה מאפשרת להקצות מעגל שמרכזו הוא נקודה נתונה, והרדיוס שלו הוא המרחק בין שתי נקודות נתונות; לבסוף, אפשר לחתוך כל שני קווים (או מעגלים) ולהוסיף את הנקודות המתקבלות לאוסף הנקודות שלנו.

לדוגמה, בשלב הראשון אפשר להעביר רק את הקו הישר דרך ${\displaystyle 0}$ ו-${\displaystyle 1}$, ואת שני המעגלים שרדיוסם ${\displaystyle 1}$, ומרכזיהם ${\displaystyle 0}$ ו-1. חיתוך הקווים האלו מעשיר את האוסף שלנו בנקודות ${\displaystyle -1,2,{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {-3}}{2}},{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {-3}}{2}}}$. כעת אפשר להעביר עוד שמונה ישרים ועוד 22 מעגלים, לחתוך את אלו זה עם זה, וכן הלאה.

לאחר שזיהינו את המישור עם שדה המספרים המרוכבים, האוסף ${\displaystyle S}$ של כל הנקודות שאפשר לקבל באמצעות תהליך סופי של העברת ישרים ומעגלים וחיתוכם מהווה תת-קבוצה של שדה המספרים המרוכבים. הדרך הקלה להוכיח שאוסף זה הוא שדה, כוללת שני שלבים: בראשון בודקים שאוסף המרחקים האפשריים בין נקודות ב-${\displaystyle S}$ סגור לחיבור וחיסור, לכפל ולפעולת ההיפוך ${\displaystyle x\mapsto 1/x}$. מזה נובע ש-${\displaystyle S}$ (כאוסף של מספרים מרוכבים) סגור לחיבור וחיסור. בשלב השני מראים שבמחוגה וסרגל אפשר לחבר זוויות, וכך (על-פי נוסחאות דה-מואבר) מוכח ש-${\displaystyle S}$ סגור גם לכפל וחילוק.

תכונה חשובה של השדה ${\displaystyle S}$ היא העובדה שהוא סגור גם להוצאת שורש (שוב, כדי לראות זאת מספיק להוכיח שאפשר להוציא ב-${\displaystyle S}$ שורש ממספרים ממשיים, ושורשים מרוכבים מתקבלים על ידי חציית זוויות). למעשה, ${\displaystyle S}$ הוא תת-השדה הקטן ביותר של ${\displaystyle \mathbb {C} }$ הסגור להוצאת שורש, כלומר הסגור הריבועי של המספרים הרציונליים. מכאן נובע שהוא מכיל כל הרחבת גלואה של שדה המספרים הרציונליים מממד חזקת-2, ולהפך: הממד של סגור גלואה של כל תת-שדה מממד סופי של ${\displaystyle S}$ הוא חזקת-${\displaystyle 2}$. ממילא, כל מספר מרוכב שהפולינום המינימלי שלו ממעלה שאיננה חזקת-${\displaystyle 2}$ (או שאינו מספר אלגברי), אינו שייך ל-${\displaystyle S}$, ולכן אינו ניתן לבנייה.

כדי להראות שהבעיות הגאומטריות של ימי קדם אינן ניתנות לפתרון, נשאר לבדוק מהם הפולינומים המינימליים של המספרים שהן מבקשות מאיתנו לבנות: אי אפשר להכפיל את הקובייה, משום שהצלע המבוקשת, ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$, יוצרת שדה מממד ${\displaystyle 3}$. אי אפשר לבנות זווית של ${\displaystyle 20}$ מעלות, משום ש - ${\displaystyle \cos(20^{\circ })}$ הוא שורש של הפולינום האי-פריק ${\displaystyle 8x^{3}-6x-1}$ (את הזווית של ${\displaystyle 60}$ מעלות אפשר לבנות, ומכאן שלא ניתן לחלק זווית נתונה לשלושה חלקים שווים). אי אפשר לרבע את המעגל משום ש - ${\displaystyle \ {\sqrt {\pi }}}$ מספר טרנסצנדנטי ולכן אינו ניתן לבנייה. אי אפשר לבנות משובע משוכלל משום שהשורש השביעי של היחידה הוא בעל פולינום מינימלי ${\displaystyle x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}$, ו-${\displaystyle 6}$ אינו חזקה של ${\displaystyle 2}$.

מדיה וקבצים בנושא שדה המספרים הניתנים לבנייה בוויקישיתוף

• שדה המספרים הניתנים לבנייה, באתר MathWorld (באנגלית)

מערכות מספרים
מספרים	המספרים הטבעיים ${\displaystyle \mathbb {N} }$ (מערכת פאנו) • חוג המספרים השלמים ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ (מספרים חיוביים ושליליים, מספר שלם) • שדה המספרים הרציונליים ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (מספר רציונלי, מספר אי-רציונלי) • שדה המספרים הממשיים ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (הישר הממשי, מספר ממשי) • שדה המספרים המרוכבים ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (המישור המרוכב, מספר מרוכב, מספר מדומה)
הרחבות של חוג המספרים השלמים	חוג השלמים של גאוס ${\displaystyle \ \mathbb {Z} [i]}$ • חוג השלמים האלגבריים ${\displaystyle \ {\overline {\mathbb {Z} }}}$ • חוג השלמים של אייזנשטיין ${\displaystyle \ \mathbb {Z} [\omega ]}$
הרחבות של שדה המספרים הרציונליים	שדה מספרים • שדה המספרים הניתנים לבנייה • שדה המספרים האלגבריים ${\displaystyle \ {\overline {\mathbb {Q} }}}$ (מספר אלגברי, מספר טרנסצנדנטי) • שדה המספרים ה-p-אדיים ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ (מספר p-אדי) • שדה ציקלוטומי
מעבר למרוכבים	אלגברת קווטרניונים (אלגברת הקווטרניונים של המילטון ${\displaystyle \ {\mathbb {H} }}$) • אלגברת אוקטוניונים (אלגברת האוקטוניונים של קיילי ${\displaystyle \ {\mathbb {O} }}$) • אלגברות קיילי-דיקסון