תת-קבוצה

בתורת הקבוצות, אומרים שקבוצה ${\displaystyle B}$ היא תת־קבוצה של קבוצה ${\displaystyle A}$^[1] אם כל איבר של הקבוצה ${\displaystyle B}$ שייך גם לקבוצה ${\displaystyle A}$. (בניסוח פורמלי: לכל ${\displaystyle x\in B}$ מתקיים ${\displaystyle x\in A}$). על פי הגדרה זו ייתכן ש ${\displaystyle A}$ ו-${\displaystyle B}$ שוות. אם הן שונות, אז ${\displaystyle B}$ היא תת-קבוצה ממש של ${\displaystyle A}$.

את הקשר "${\displaystyle B}$ מוכלת ב־${\displaystyle A}$" (או: ${\displaystyle B}$ חלקית ל־${\displaystyle A}$, או: ${\displaystyle B}$ תת־קבוצה של ${\displaystyle A}$, או, ${\displaystyle A}$ מכילה את ${\displaystyle B}$) מסמנים כך: ${\displaystyle B\subseteq A}$, והוא מכונה יחס ההכלה.

הקבוצה הריקה היא קבוצה חלקית לכל קבוצה נתונה. זאת מכיוון שלא קיים בקבוצה הריקה איבר שלא נמצא בקבוצה הנתונה (הטענה נכונה באופן ריק כיוון שלקבוצה הריקה אין איברים כלל).

ליחס ההכלה המאפיינים הבאים:

• "רפלקסיביות": כל קבוצה היא תת־קבוצה של עצמה (ובמילים שקולות: כל קבוצה מוכלת בעצמה, או: כל קבוצה היא חלקית לעצמה).
• "טרנזיטיביות": אם הקבוצה ${\displaystyle A}$ היא תת־קבוצה של הקבוצה ${\displaystyle B}$ והקבוצה ${\displaystyle B}$ היא תת־קבוצה של הקבוצה ${\displaystyle C}$, אזי הקבוצה ${\displaystyle A}$ היא גם תת־קבוצה של הקבוצה ${\displaystyle C}$ (בניסוח פורמלי: אם ${\displaystyle A\subseteq B}$ וגם ${\displaystyle B\subseteq C}$ אז ${\displaystyle A\subseteq C}$).

אם כן, יחס ההכלה הוא יחס סדר חלקי: הוא רפלקסיבי, אנטיסימטרי חלש וטרנזיטיבי. היחס אינו שלם: כי יש זוגות של קבוצות (כמו קבוצת הגברים וקבוצת הישראלים, או הקבוצה ${\displaystyle \{1,2\}}$ והקבוצה ${\displaystyle \{2,3\}}$) שאף אחת מהן אינה מכילה את רעותה.

באמצעות יחס ההכלה ניתן להגדיר את יחס השוויון בין קבוצות; אומרים שהקבוצה ${\displaystyle A}$ שווה לקבוצה ${\displaystyle B}$ אם ורק אם הקבוצה ${\displaystyle A}$ מכילה את הקבוצה ${\displaystyle B}$ וגם הקבוצה ${\displaystyle B}$ מכילה את הקבוצה ${\displaystyle A}$. (בכתיב פורמלי: ${\displaystyle A=B\iff B\subseteq A\land A\subseteq B}$).

באמצעות יחס ההכלה ויחס השוויון ניתן להגדיר יחס נוסף; כאשר הקבוצה ${\displaystyle A}$ מכילה את הקבוצה ${\displaystyle B}$ אך אינה שווה לה (יש איבר בקבוצה ${\displaystyle A}$ שהוא אינו איבר בקבוצה ${\displaystyle B}$, ובניסוח פורמלי ${\displaystyle B\subseteq A}$ וגם ${\displaystyle B\neq A}$), נאמר שהקבוצה ${\displaystyle A}$ מכילה ממש את הקבוצה ${\displaystyle B}$, או במילים שקולות: הקבוצה ${\displaystyle B}$ היא חלקית ממש לקבוצה ${\displaystyle A}$. יחס זה מסמנים ${\displaystyle B\subset A}$. (בכתיב פורמלי: ${\displaystyle B\subset A\iff B\subseteq A\land B\neq A}$).

הסימון ${\displaystyle \subset }$ עשוי להטעות: בעוד שכאן (ובמרבית הספרים והמאמרים המודרניים) מציינים ${\displaystyle \subseteq }$ ו־${\displaystyle \subset }$ הכלה ו"הכלה ממש" בהתאמה, יש ספרים שבהם משתמשים בסימונים ${\displaystyle \subset }$ ו־${\displaystyle \subsetneq }$ לאותן מטרות, בהתאמה.

• מונחים בתורת הקבוצות

מדיה וקבצים בנושא תת-קבוצה בוויקישיתוף

• תת-קבוצה, באתר MathWorld (באנגלית)