Cijeli broj

Cijeli brojevi proširenje su skupa prirodnih brojeva neutralnim elementom za zbrajanje, nulom, i brojevima koji su njima suprotni, to jest brojevima s kojima zbrojeni daju nulu.

Skup prirodnih brojeva nije zatvoren za oduzimanje – razlika dva prirodna broja može, ali ne mora biti prirodan broj. Algebarska struktura skupa prirodnih brojeva ${\displaystyle \mathbb {N} }$ nije grupa s obzirom na operaciju zbrajanja, jer za element ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ne postoji njemu inverzan element ${\displaystyle -n\in \mathbb {N} }$. Da bismo odredili svaku razliku ${\displaystyle a-b}$ gdje su ${\displaystyle a,b\in \mathbb {N} }$ koju definiramo sa ${\displaystyle a+(-b)}$, gdje je sa ${\displaystyle -b}$ označen inverzni element od ${\displaystyle b\in \mathbb {N} }$, proširujemo skup ${\displaystyle \mathbb {N} }$ s takvim inverzima prirodnih brojeva i dodajemo poseban element 0, koji s obzirom na operaciju zbrajanja čini jedinični element takve konstruirane grupe. U tom smislu i u matematičkoj notaciji skup cijelih brojeva ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ je upravo takva aditivna grupa:

${\displaystyle \mathbb {Z} =\{...,-2,-1\}\cup \{0\}\cup \mathbb {N} =\{0,-1,1,-2,2,...\}}$

Kažemo da je skup cijelih brojeva unija negativnih cijelih brojeva, neutralnog elementa za zbrajanje i prirodnih brojeva. Prema tome, skup prirodnih brojeva je pravi podskup skupa cijelih brojeva, što se piše kao ${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} }$.^[1]

Element 0 sa svojstvom da je ${\displaystyle a+0=0+a=a,\forall a\in \mathbb {Z} }$ nazivamo nulom, a inverze prirodnih brojeva u konstruiranoj grupi nazivamo suprotnim elementima prirodnih brojeva ili negativnim cijelim brojevima. Vrijedi ${\displaystyle a+(-a)=(-a)+a=0,\forall a\in \mathbb {Z} }$, pošto je i asocijativnost zadovoljena kažemo da je skup cijelih brojeva aditivna grupa.

No, skup cijelih brojeva ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ čini također i komutativni prsten zajedno s operacijama zbrajanja i množenja, a nula u prstenu ima svojstvo da ${\displaystyle 0\cdot x=a}$ u njemu nema rješenje (kao ni u jednom drugom prstenu brojeva). Skup cijelih brojeva je, kao i skup prirodnih brojeva, uređen skup. On najvećeg (maksimalnog), ali ni najmanjeg (minimalnog) elementa i ekvipotentan je skupu prirodnih brojeva, to jest postoji bijekcija iz ${\displaystyle \mathbb {N} }$ u ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.