Linearna kombinacija

Linearna kombinacija vektora osnovni je pojam teorije vektorskih prostora u linearnoj algebri.

Neka je ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$-dimenzionalni vektorski prostor nad poljem ${\displaystyle \mathbb {F} }$ te neka je ${\displaystyle v_{1},v_{2},...,v_{k}\in V,\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{k}\in \mathbb {F} .}$ Tada se suma ${\displaystyle \alpha _{1}v_{1}+\alpha _{2}v_{2}+...+\alpha _{k}v_{k}}$ naziva linearna kombinacija vektora ${\displaystyle v_{1},v_{2},...,v_{k}}$.^[1]

Unatoč svojoj jednostavnosti, pojam linearne kombinacije često se smatra ishodišnom točkom u daljnjem proučavanju vektorskih prostora i svojstava vektora.

Neka imamo linearno nezavisan skup vektora, iako će isto vrijediti i ako je skup linearno zavisan, ${\displaystyle S=\{v_{1},v_{2},...,v_{n}\}}$ koji je podskup vektorskog prostora ${\displaystyle V}$. Skup svih linearnih kombinacija vektora ${\displaystyle \alpha _{1}v_{1},\alpha _{2}v_{2},...,\alpha _{n}v_{n}}$ naziva se linearna ljuska ili rjeđe linearni omotač skupa ${\displaystyle S}$ i označava se s ${\displaystyle [S]}$. Dakle, ${\displaystyle [S]=\{\alpha _{1}a_{1}+\alpha _{2}a_{2}+...+\alpha _{n}a_{n}:n\in \mathbb {N} ,a_{1},a_{2},...,a_{n}\in S,\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}\in \mathbb {F} \}.}$ Nije teško pokazati da je linearna ljuska najmanji vektorski potprostor vektorskoga prostora koji sadržava sve konačne linearne kombinacije elemenata danoga skupa vektora. ${\displaystyle [S]}$ se naziva potprostorom generiranim ili razapetim skupom ${\displaystyle S}$.^[2]

Linearnom kombinacijom dva bazna vektora ${\displaystyle i,j}$ realne ravnine ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ dobivamo čitavu ravninu ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. To je zato što se svaka usmjerena dužina, koja je zadana svojom krajnjom točkom ${\displaystyle (x,y)}$, može dobiti kao linearna kombinacija vektora ${\displaystyle i,j}$.

To je očito kod slučaja kada su ${\displaystyle i,j}$ jedinični vektori (orti) koji redom leže na apscisnoj i ordinatnoj osi s početnom točkom u ishodištu koordinatnog sustava. Naime, tada je svaki vektor ${\displaystyle v}$ s krajnjom točkom ${\displaystyle (x,y)}$ moguće prikazati kao ${\displaystyle v=xi+yj}$.