Catalan-sejtés

A Catalan-sejtés vagy Mihăilescu-tétel a számelmélet egyszerűen megfogalmazható tétele, amelyet a belga Eugène Charles Catalan fogalmazott meg 1844-ben. A tétel szerint a 8 = 2³ és 9 = 3² az egyetlen példa közvetlen egymásutáni teljes hatványokra.

Másképpen a Catalan-sejtés azt állítja, hogy az

x^a ‒ y^b = 1

egyenlet egyetlen megoldása x,a,y,b > 1 egész számok esetén:

3²  ‒ 2³ = 1

Ez az egyik klasszikus példa úgynevezett exponenciális diofantoszi egyenletre. Könnyen látható, hogy elég azt az esetet belátni, amikor a, b prímszámok. Carl Ludwig Siegel egy 1929-es tételéből következik, hogy rögzített a, b esetén csak véges sok megoldás van. Robert Tijdeman 1976-ban, felhasználva Alan Baker logaritmusok lineáris kombinációira adott elméletét, bebizonyította, hogy összesen is csak véges sok ilyen számpár van. Végül Preda Mihǎilescu 2002-ben bebizonyította Catalan sejtését, tehát az most már sejtésből tétellé vált.

A probléma Gersonidészig követhető vissza, aki 1343-ban belátta azt az esetet, amikor x és y 2 vagy 3.

1976-ban Robert Tijdeman a transzcendenciaelmélet Baker-módszerét alkalmazta, és korlátokat adott a-ra és b-re, továbbá felülről becsülte mind a négy számot a és b függvényével és az addig ismert korlátok felhasználásával. A korlátra exp exp exp exp 730 adódott.^[1] Ezzel véges, de nagyszámú kivétellel megoldotta a Catalan-sejtést. A korlát kezelhetetlenül nagy, és a bizonyítás befejezése túl sok erőforrást igényelne.

Preda Mihăilescu 2002-ben befejezte a bizonyítást, és a Journal für die reine und angewandte Mathematik folyóiratban, 2004-ben publikálta. Nem a régebbi ötletet vitte tovább, hanem körosztási testeket és Galois-modulusokat használt. Yuri Bilu a Bourbaki-szemináriumon mutatta be a bizonyítást.

A matematika megoldatlan problémája: Igaz-e, hogy minden pozitív egész szám csak véges sokszor áll elő teljes hatványok különbségeként? (A matematika további megoldatlan problémái)

A Pillai-sejtés a teljes hatványok különbségeivel foglalkozik. Subbayya Sivasankaranarayana Pillai indiai matematikus vetette fel, hogy a hatványszámok különbségei a végtelenbe tartanak. Ekvivalensen, minden pozitív egész véges sokszor áll elő két hatványszám különbségeként. Általánosabban, az A, B, C rögzített egészekre az ${\displaystyle |Ax^{n}-By^{m}|\gg x^{\lambda n}}$ különbség minden λ-ra 1-nél kisebb.^[2]

Az általános sejtés az abc-sejtés következménye lenne.^[2][3]

Erdős Pál szerint van egy c szám, hogy ha d két n-edik hatvány különbsége, akkor elég nagy n-re d>n^c.

• Catalan, Eugene. (1844): Note extraite d’une lettre adressée à l’éditeur. J. Reine Angew. Math., 27:192.
• Preda Mihăilescu (2004). „Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan's Conjecture”. J. Reine angew. Math. 572 (572), 167–195. o. [2020. június 2-i dátummal az eredetiből archiválva]. DOI:10.1515/crll.2004.048. (Hozzáférés: 2012. október 5.) 
• Paulo Ribenboim. Catalan's Conjecture. Academic Press (1994). ISBN 0-12-587170-8  Predates Mihăilescu's proof.
• Robert Tijdeman (1976). „On the equation of Catalan”. Acta Arith. 29 (2), 197–209. o. 
• Tauno Metsänkylä (2004). „Catalan's conjecture: another old Diophantine problem solved” (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society 41 (1), 43–57. o. DOI:10.1090/S0273-0979-03-00993-5. 
• Yuri Bilu (2004). „Catalan's conjecture (after Mihăilescu)”. Astérisque 294, vii, 1–26. o. 

• https://web.archive.org/web/20021001173550/http://www.maa.org/mathland/mathtrek_06_24_02.html
• P. Mihailescu (2004). „Primary cyclotomic units and a proof of Catalan’s conjecture” (angol nyelven). Crelle's Journal (572), 167–195. o. [2004. október 13-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2004. szeptember 25.)