Ellipszoid A térgeometriában az ellipszoid olyan másodrendű felület , amelynek egyenlete alkalmasan orientált derékszögű koordináta-rendszerben
x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1} , ahol a, b és c pozitív valós számok, amelyek meghatározzák az ellipszoid alakját. A speciális a = b = c {\displaystyle a=b=c} esetben az ellipszoid egy a sugarú, origó középpontú gömb . Ha a, b és c közül kettő egyenlő, akkor az ellipszoidot szferoidnak nevezzük.
Javasolt elnevezése a forgatás tengelyétől függően lapos, vagy lencseszferoid illetve hosszúkás, vagy orsószferoid .
A három koordinátasík szimmetriasíkja az ellipszoidnak, és minden nem üres síkmetszete ellipszis.
Az ellipszoid térfogatát a
V = 4 3 π a b c . {\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi abc.\,\!} képlet adja. Az ellipszoid felszíne általában nem fejezhető ki a, b és c elemi függvényeként.
Az általános ellipszoid felszíne nem fejezhető ki az olyan elemi függvényekkel , mint az arkusz tangens vagy az arkusz szinusz . A felszín Legendre nyomán az elliptikus integrálokkal írható le:
Jelöljük az ellipszoid tengelyeit úgy, hogy a > b > c {\displaystyle a>b>c} legyen. Ekkor
k = a b b 2 − c 2 a 2 − c 2 {\displaystyle k={\frac {a}{b}}{\frac {\sqrt {b^{2}-c^{2}}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}} és φ = arcsin a 2 − c 2 a {\displaystyle \varphi =\arcsin {\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{a}}} , így az integrálok
E ( k , φ ) = ∫ 0 sin φ 1 − k 2 x 2 1 − x 2 d x {\displaystyle E(k,\varphi )=\int _{0}^{\sin \varphi }{\sqrt {\frac {1-k^{2}x^{2}}{1-x^{2}}}}\ \mathrm {d} x} és F ( k , φ ) = ∫ 0 sin φ 1 1 − x 2 1 − k 2 x 2 d x . {\displaystyle F(k,\varphi )=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\ \mathrm {d} x.} Ezzel a felszín
A = 2 π c 2 + 2 π b a 2 − c 2 ( c 2 F ( k , φ ) + ( a 2 − c 2 ) E ( k , φ ) ) . {\displaystyle A=2\pi c^{2}+{\frac {2\pi b}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}\left(c^{2}F(k,\varphi )+(a^{2}-c^{2})E(k,\varphi )\right).} Helyettesítsük be most k -t, φ {\displaystyle \varphi } -t,
u = a 2 − c 2 a {\displaystyle u={\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{a}}} -t, és v = b 2 − c 2 b {\displaystyle v={\frac {\sqrt {b^{2}-c^{2}}}{b}}} -t az A egyenletbe. Ezzel
A = 2 π c 2 + 2 π a b ∫ 0 1 1 − u 2 v 2 x 2 1 − u 2 x 2 1 − v 2 x 2 d x . {\displaystyle A=2\pi c^{2}+2\pi ab\int _{0}^{1}{\frac {1-u^{2}v^{2}x^{2}}{{\sqrt {1-u^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-v^{2}x^{2}}}}}\ \mathrm {d} x.} Knud Thomsen integrálmentes közelítő formulája:
A ≈ 4 π ( ( a b ) 1.6 + ( a c ) 1.6 + ( b c ) 1.6 3 ) 0.625 . {\displaystyle A\approx 4\pi \!\left({\frac {(ab)^{1.6}+(ac)^{1.6}+(bc)^{1.6}}{3}}\right)^{0.625}\,\!.} Ez a képlet legfeljebb 1,2%-kal tér el a pontos felszíntől.
Egyre laposabb ellipszoidokat véve, ahol ( c → 0 ) {\displaystyle \left(c\to 0\right)} a felszínképlet a 2 π a b {\displaystyle 2\pi ab} -hez tart. Ez az a és b tengelyű ellipszis területének kétszerese.
A forgási ellipszoidok, azaz a szferoidok felszíne [ szerkesztés ] Legyen a ≥ b ≥ c {\displaystyle a\geq b\geq c} és legyen ε = 1 − ( c a ) 2 {\displaystyle \varepsilon ={\sqrt {1-\left({\frac {c}{a}}\right)^{2}}}} az y = 0 {\displaystyle y=0} egyenletű síkkal vett metszet numerikus excentricitása .
Ekkor a lapos, lencseszferoid felszíne a = b > c {\displaystyle a=b>c} (forgástengely = z-tengely)
A = 2 π a 2 ( 1 + ( c a ) 2 arth ε ε ) {\displaystyle A=2\pi a^{2}\left(1+\left({\frac {c}{a}}\right)^{2}\,{\frac {\operatorname {arth} \,\varepsilon }{\varepsilon }}\right)} és az orsószferoidé a > b = c {\displaystyle a>b=c} (forgástengely = x-tengely)
A = 2 π c 2 ( 1 + a c arcsin ε ε ) . {\displaystyle A=2\pi c^{2}\left(1+{\frac {a}{c}}\,{\frac {\arcsin \,\varepsilon }{\varepsilon }}\right).} A szferoidok felszínképletének levezetése [ szerkesztés ] b = a, tehát k = 1, ebből E ( 1 , φ ) = ∫ 0 sin φ d x = sin φ = a 2 − c 2 a {\displaystyle E(1,\varphi )=\int _{0}^{\sin \varphi }\ \mathrm {d} x=\sin \varphi ={\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{a}}} és F ( 1 , φ ) = ∫ 0 sin φ 1 1 − x 2 d x = arth ( sin φ ) = arth ( a 2 − c 2 a ) . {\displaystyle F(1,\varphi )=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{1-x^{2}}}\ \mathrm {d} x=\operatorname {arth} (\sin \varphi )=\operatorname {arth} ({\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{a}}).} Legendre egyenletébe helyettesítve:
A = 2 π c 2 + 2 π a a 2 − c 2 ( c 2 arth ( a 2 − c 2 a ) + ( a 2 − c 2 ) a 2 − c 2 a ) . {\displaystyle A=2\pi c^{2}+{\frac {2\pi a}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}\left(c^{2}\operatorname {arth} ({\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{a}})+(a^{2}-c^{2}){\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{a}}\right).} b = c, tehát k = 0, ebből E ( 0 , φ ) = F ( 0 , φ ) = ∫ 0 sin φ 1 1 − x 2 d x = arcsin ( sin φ ) = arcsin ( a 2 − c 2 a ) . {\displaystyle E(0,\varphi )=F(0,\varphi )=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\ \mathrm {d} x=\arcsin(\sin \varphi )=\arcsin({\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{a}}).} Legendre egyenletébe helyettesítve:
A = 2 π c 2 + 2 π c a 2 − c 2 ( c 2 arcsin ( a 2 − c 2 a ) + ( a 2 − c 2 ) arcsin ( a 2 − c 2 a ) ) . {\displaystyle A=2\pi c^{2}+{\frac {2\pi c}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}\left(c^{2}\arcsin({\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{a}})+(a^{2}-c^{2})\arcsin({\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{a}})\right).} Jelölje β {\displaystyle \beta \,\!} a parametrikus szélességet, és + λ ′ {\displaystyle {\color {white}+}\!\!\!\lambda {\color {white}'}\,\!} a parametrikus hosszúságot. Ekkor az ellipszis a következőképpen paraméterezhető:
x = a cos ( β ) cos ( λ ) ; | y = b cos ( β ) sin ( λ ) ; z = c sin ( β ) ; {\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\,\cos(\beta )\cos(\lambda );\!{\color {white}|}\\y&=b\,\cos(\beta )\sin(\lambda );\\z&=c\,\sin(\beta );\end{aligned}}\,\!} − π 2 ≤ β ≤ + π 2 ; − π ≤ λ ≤ + π ; | {\displaystyle {\begin{matrix}-{\frac {\pi }{2}}\leq \beta \leq +{\frac {\pi }{2}};\quad -\pi \leq \lambda \leq +\pi ;\!{\color {white}{\big |}}\end{matrix}}\,\!} Ez a paraméterezés nem egy-egyértelmű a pólusoknál, ahol | β = ± π 4 | {\displaystyle \scriptstyle {{\color {white}|}\beta =\pm {\frac {\pi }{4}}}{\color {white}|}\,\!} Gömbi koordinátákkal,
x = a sin ( ϕ ) cos ( θ ) ; | y = b sin ( ϕ ) sin ( θ ) ; z = c cos ( ϕ ) ; {\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\,\sin(\phi )\cos(\theta );\!{\color {white}|}\\y&=b\,\sin(\phi )\sin(\theta );\\z&=c\,\cos(\phi );\end{aligned}}\,\!} 0 ≤ θ ≤ 2 π ; 0 ≤ ϕ ≤ π ; | {\displaystyle {\begin{matrix}0\leq \theta \leq 2\pi ;\quad {0}\leq \phi \leq \pi ;\!{\color {white}{\big |}}\end{matrix}}\,\!} Lineáris transzformációk [ szerkesztés ] Ahogy a spektrálelméletből tudjuk, egy invertálható lineáris transzformáció a gömböt ellipszoidba viszi. Ha a lineáris transzformáció mátrixa szimmetrikus , akkor a mátrix sajátvektorai ortogonálisak, és megadják az ellipszoid tengelyeinek irányát. A féltengelyek hossza a sajátértékektől függ.
Ellipszoid és sík metszete vagy üres, vagy (egy esetleg egy pontú) ellipszis , ami kör is lehet.
A fentiek általánosíthatók magasabb dimenzióra is, ahol is a gömb képét nevezzük ellipszoidnak. A spektrálelmélet hasonló eredményeket ad.
A tyúktojás alakja két egymáshoz simított fél ellipszoiddal közelíthető, melyek forgástengelye közös. Az egyik lapos, vagy közel gömb, a másik hosszúkás. A tojás alak rendszerint az egyenlítőre vett szimmetria hiányára utal.[1]