A háromszög-egyenlőtlenség a geometria egyik legalapvetőbb tétele, megállapítható segítségével, hogy három szakaszból lehet-e háromszöget szerkeszteni.
Az egyenlőtlenség tovább általánosítható valós és komplex számokra , összegzésekre, integrálokra és különböző terekre. Itt a hosszak szerepét abszolútértékek és különféle normák veszik át. Leginkább becslésekben használják a matematika több területén is.
Egy háromszögben két oldal hosszának az összege nagyobb, mint a harmadik oldal hossza. Azaz: a < b + c {\displaystyle a<b+c} és b < a + c {\displaystyle b<a+c} és c < a + b {\displaystyle c<a+b} .
A tétel ekvivalens alakja: a − b < c {\displaystyle a-b<c} , b − c < a {\displaystyle b-c<a} és c − a < b {\displaystyle c-a<b}
Bizonyítás:
A C + C B > A B {\displaystyle AC+CB>AB} -t elég bizonyítani. Hosszabbítsuk meg az A C {\displaystyle AC} oldalt, és felmérjük a C B {\displaystyle CB} távolságot a meghosszabbított félegyenesre, így kapjuk a C D {\displaystyle CD} szakaszt. B C D {\displaystyle BCD} háromszög egyenlő szárú, ekkor C B D {\displaystyle CBD} szög = C D B {\displaystyle CDB} szög. B C {\displaystyle BC} az A B D {\displaystyle ABD} szög belsejében halad, ekkor A B D {\displaystyle ABD} szög > C B D {\displaystyle CBD} szög = C D B {\displaystyle CDB} szög, így A D > A B {\displaystyle AD>AB} . Ez viszont éppen a tételben szereplő a + b > c {\displaystyle a+b>c} .
Metrikus interpretáció [ szerkesztés ] A háromszög-egyenlőtlenség biztosítja, hogy a kétdimenziós (általánosabban, az n dimenziós) euklideszi tér tetszőleges három A,B,C pontjára igaz legyen, hogy bármely kettő pár egymástól mért távolságainak összege nagyobb, mint a harmadik pár közt mért távolsága:
AB+BC≥AC BC+CA≥BA CA+AB≥BC Ezt a tényt úgy is interpretálhatjuk, hogy "két pont között a legrövidebb út az egyenes ", mert a háromszög-egyenlőtlenség egy speciális esete e kijelentésnek, míg utóbbi következménye az előbbinek.
A háromszög-egyenlőtlenség e változata megenged elfajult háromszögeket , amikor is néhány háromszögcsúcs vagy -oldal illeszkedik egymásra.
A tétel általánosításai [ szerkesztés ] Valós számokra: | a + b | ≤ | a | + | b | . {\displaystyle |a+b|\leq |a|{+}|b|.}
Bizonyítás:
Mivel az egyenlőtlenség mindkét oldala nem negatív, ezért a négyzetre emelés ekvivalens átalakítás:
a 2 + 2 a b + b 2 ≤ a 2 + 2 | a b | + b 2 . {\displaystyle a^{2}{+}2ab{+}b^{2}\ \leq \ a^{2}{+}2{|ab|}{+}b^{2}.} Mindkét oldalból kivonva az azonos tagokat:
2 a b ≤ 2 | a b | . {\displaystyle 2ab\leq 2|ab|.} és ez mindig teljesül, mert
x ≤ | x | {\displaystyle x\leq {|x|}} minden x ∈ R . {\displaystyle x\in \mathbb {R} .} -re.
Valós számokra önállóan is belátható a háromszög-egyenlőtlenség kivonásos alakja:
Nyilván | a + b | − | b | ≤ | a | . {\displaystyle |a{+}b|{-}|b|\leq |a|.}
Az
a := x + y , b := − y {\displaystyle a{\mathrel {:=\,}}x{+}y,\,b{\mathrel {:=\,}}{-}y} helyettesítéssel
| x | − | y | ≤ | x + y | . {\displaystyle |x|{-}|y|\leq |x{+}y|.} Viszont, ha
b := − x {\displaystyle b{\mathrel {:=\,}}{-}x} akkor
| y | − | x | ≤ | x + y | , {\displaystyle |y|{-}|x|\leq |x{+}y|,} Az előző két egyenlőtlenséget összetéve
| | x | − | y | | ≤ | x + y | ≤ | x | + | y | . {\displaystyle {\Big |}|x|{-}|y|{\Big |}\leq |x{+}y|\leq |x|{+}|y|.} y helyére -y -t téve
| | x | − | y | | ≤ | x − y | ≤ | x | + | y | . {\displaystyle {\Big |}|x|{-}|y|{\Big |}\leq |x{-}y|\leq |x|{+}|y|.} Összefoglalva
| | x | − | y | | ≤ | x ± y | ≤ | x | + | y | {\displaystyle {\Big |}|x|{-}|y|{\Big |}\leq |x{\pm }y|\leq |x|{+}|y|} minden x , y ∈ R {\displaystyle x,\,y\in \mathbb {R} } -re. Komplex számokra a háromszög-egyenlőtlenség:
| z 1 + z 2 | ≤ | z 1 | + | z 2 | . {\displaystyle |z_{1}{}+z_{2}|\leq |z_{1}|{+}|z_{2}|.} Bizonyítás:
Mivel egyik oldal sem lehet negatív, ezért a négyzetre emelés ekvivalens átalakítás:
z 1 z 1 ¯ + z 1 z 2 ¯ + z 1 ¯ z 2 ⏟ = z 1 z 2 ¯ ¯ + z 2 z 2 ¯ ≤ z 1 z 1 ¯ + 2 | z 1 z 2 | ⏟ = | z 1 z 2 ¯ | + z 2 z 2 ¯ , {\displaystyle z_{1}{\overline {z_{1}}}{+}z_{1}{\overline {z_{2}}}{+}{\underbrace {{\overline {z_{1}}}z_{2}} _{={\overline {z_{1}{\overline {z_{2}}}}}}}{+}z_{2}{\overline {z_{2}}}\leq z_{1}{\overline {z_{1}}}{+}2{\underbrace {|z_{1}z_{2}|} _{=|z_{1}{\overline {z_{2}}}|}}{+}z_{2}{\overline {z_{2}}},} ahol a felülvonás a komplex konjugálást jelenti. A két oldalról eltávolítva az egyenlő tagokat, és a z := z 1 z 2 ¯ {\displaystyle z{\mathrel {:=\,}}z_{1}{\overline {z_{2}}}} helyettesítést elvégezve
z + z ¯ ≤ 2 | z | {\displaystyle z{+}{\bar {z}}\leq 2{|z|}} A z komplex szám algebrai alakja legyen z = u + i v {\displaystyle z=u{+}iv} . Ezzel
( u + i v ) + ( u − i v ) = 2 u ≤ 2 u 2 + v 2 {\displaystyle (u{+}iv){+}(u{-}iv)=2u\leq 2{\sqrt {u^{2}{+}v^{2}}}} és
| u | ≤ u 2 + v 2 , {\displaystyle |u|\leq {\sqrt {u^{2}{+}v^{2}}},} ami 0 ≤ v 2 {\displaystyle 0\leq v^{2}\ } és a valós négyzetgyökfüggvény monotóniája miatt mindig fennáll.
A valós esethez hasonlóan látható be a kivonásos alak is
| | z 1 | − | z 2 | | ≤ | z 1 ± z 2 | ≤ | z 1 | + | z 2 | {\displaystyle {\Big |}|z_{1}|{-}|z_{2}|{\Big |}\leq |z_{1}{\pm }z_{2}|\leq |z_{1}|{+}|z_{2}|} minden z 1 , z 2 ∈ C {\displaystyle z_{1},\,z_{2}\in \mathbb {C} } -re. Összegekre és integrálokra [ szerkesztés ] A háromszög-egyenlőtlenség többszöri alkalmazásával és teljes indukcióval
| ∑ i = 1 n x i | ≤ ∑ i = 1 n | x i | {\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right|\leq \sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|} ahol az x i {\displaystyle x_{i}\;} számok lehetnek valósak, vagy komplexek.
Integrálokra: Legyen az f : I → R {\displaystyle f:I\to \mathbb {R} } függvény Riemann-integrálható, ahol I = [ a , b ] {\displaystyle I=[a,b]\,} egy intervallum!
Ekkor
| ∫ I f ( x ) d x | ≤ ∫ I | f ( x ) | d x {\displaystyle \left|\int _{I}f(x)\,dx\right|\leq \int _{I}|f(x)|\,dx} .[1] Hasonlók teljesülnek komplex értékű függvényekre is:
f : I → C {\displaystyle f:I\to \mathbb {C} } .[2]
Ekkor ugyanis van egy komplex α {\displaystyle \alpha \;} úgy, hogy α ∫ I f ( x ) d x = | ∫ I f d x | {\displaystyle \alpha \int _{I}f(x)\,dx=\left|\int _{I}f\,dx\right|} és | α | = 1 {\displaystyle |\alpha |=1\;} .
Mivel
| ∫ I f ( x ) d x | = α ∫ I f ( x ) d x = ∫ I α f ( x ) d x = ∫ I Re ( α f ( x ) ) d x + i ∫ I Im ( α f ( x ) ) d x {\displaystyle \left|\int _{I}f(x)\,dx\right|=\alpha \int _{I}f(x)\,dx=\int _{I}\alpha \,f(x)\,dx=\int _{I}\operatorname {Re} (\alpha f(x))\,dx+i\,\int _{I}\operatorname {Im} (\alpha f(x))\,dx} valós, ezért ∫ I Im ( α f ( x ) ) d x {\displaystyle \int _{I}\operatorname {Im} (\alpha f(x))\,dx} szükségképpen egyenlő nullával.
Emellett
Re ( α f ( x ) ) ≤ | α f ( x ) | = | f ( x ) | {\displaystyle \operatorname {Re} (\alpha f(x))\leq |\alpha f(x)|=|f(x)|} , összetéve tehát
| ∫ I f ( x ) d x | = ∫ I Re ( α f ( x ) ) d x ≤ ∫ I | f ( x ) | d x {\displaystyle \left|\int _{I}f(x)\,dx\right|=\int _{I}\operatorname {Re} (\alpha f(x))\,dx\leq \int _{I}|f(x)|\,dx} . Vektorokra:
| a → + b → | ≤ | a → | + | b → | {\displaystyle \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|\leq \left|{\vec {a}}\right|+\left|{\vec {b}}\right|} . Négyzetre emeléssel:
| a → + b → | 2 = ⟨ a → + b → , a → + b → ⟩ = | a → | 2 + 2 ⟨ a → , b → ⟩ + | b → | 2 ≤ | a → | 2 + 2 | a → | | b → | + | b → | 2 = ( | a → | + | b → | ) 2 {\displaystyle \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}=\left\langle {\vec {a}}+{\vec {b}},{\vec {a}}+{\vec {b}}\right\rangle =\left|{\vec {a}}\right|^{2}+2\left\langle {\vec {a}},{\vec {b}}\right\rangle +\left|{\vec {b}}\right|^{2}\leq \left|{\vec {a}}\right|^{2}+2\left|{\vec {a}}\right|\left|{\vec {b}}\right|+\left|{\vec {b}}\right|^{2}=\left(\left|{\vec {a}}\right|+\left|{\vec {b}}\right|\right)^{2}} , és a Cauchy–Schwarz–Bunyakovszkij-egyenlőtlenség felhasználásával:
⟨ a → , b → ⟩ ≤ | a → | ⋅ | b → | {\displaystyle \langle {\vec {a}},{\vec {b}}\rangle \leq \left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|} . Innen, mint a valós esetben:
| | a → | − | b → | | ≤ | a → ± b → | ≤ | a → | + | b → | {\displaystyle {\Big |}\left|{\vec {a}}\right|-\left|{\vec {b}}\right|\,\,{\Big |}\leq \left|{\vec {a}}\pm {\vec {b}}\right|\leq \left|{\vec {a}}\right|+\left|{\vec {b}}\right|} és
| ∑ i = 1 n a i → | ≤ ∑ i = 1 n | a i → | . {\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{n}{\vec {a_{i}}}\right|\leq \sum _{i=1}^{n}\left|{\vec {a_{i}}}\right|.} Két általános gömbháromszög A gömbháromszögek körében a háromszög-egyenlőtlenség azokra a háromszögekre korlátozódik, amiknek egyik oldala sem nagyobb egy fél főkörívnél, azaz a < π, b < π és c < π. Általános gömbháromszögekre a tétel nem igaz.
Ahogy az ábra mutatja:
| a − b | ≤ c 1 ≤ a + b , {\displaystyle \left|a-b\right|\leq c_{1}\leq a+b,} de c 2 > a + b {\displaystyle c_{2}>a+b} , ahol még az is igaz, hogy c 2 > π . {\displaystyle c_{2}>\pi .}
Az ( X , ‖ . ‖ ) {\displaystyle \left(X,\|.\|\right)} normált térben a háromszög-egyenlőtlenség ezt az alakot ölti:
‖ x + y ‖ ≤ ‖ x ‖ + ‖ y ‖ {\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|} és megkövetelik, hogy a tér az adott normával ezt az egyenlőtlenséget azonossággal teljesítse.
Ebből
| ‖ x ‖ − ‖ y ‖ | ≤ ‖ x ± y ‖ ≤ ‖ x ‖ + ‖ y ‖ {\displaystyle {\Big |}\|x\|-\|y\|{\Big |}\leq \|x\pm y\|\leq \|x\|+\|y\|} és
‖ ∑ i = 1 n x i ‖ ≤ ∑ i = 1 n ‖ x i ‖ {\displaystyle \left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right\|\leq \sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|} minden x i ∈ X {\displaystyle x_{i}\in X\;} -re. Speciálisan, az Lp -terekben a háromszög-egyenlőtlenséget Minkowski-egyenlőtlenségnek nevezik, és a Hölder-egyenlőtlenséggel bizonyítják.
Az ( X , d ) {\displaystyle \left(X,d\right)} metrikus térben a háromszög-egyenlőtlenség ezt az alakot ölti:
d ( x , y ) ≤ d ( x , z ) + d ( z , y ) {\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)}
és megkövetelik, hogy a tér az adott d távolságfüggvénnyel ezt az egyenlőtlenséget azonossággal teljesítse.
Innen következik
| d ( x , z ) − d ( z , y ) | ≤ d ( x , y ) {\displaystyle \left|d(x,z)-d(z,y)\right|\leq d(x,y)}
és
d ( x 0 , x n ) ≤ ∑ i = 1 n d ( x i − 1 , x i ) {\displaystyle d(x_{0},x_{n})\leq \sum _{i=1}^{n}d(x_{i-1},x_{i})}
a tér tetszőleges elemeire.
↑ Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teil 1. 8. kiadás. B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-12231-6 . Satz 85.1 ↑ Walter Rudin: Real and Complex Analysis . MacGraw-Hill 1986, ISBN 0-07-100276-6 . Theorem 1.33 Obádovics J. Gyula: Matematika