Számtani sorozat

A számtani sorozat (más néven aritmetikai sorozat, régies néven számtani vagy aritmetikai haladvány) egy elemi matematikai fogalom, mely a matematika sok részterületén előfordul. Egy legalább három számból álló – akár véges, akár végtelen – sorozatot akkor nevezünk számtani sorozatnak, ha a szomszédos elemek különbsége – differenciája – (a sorozatra jellemző) állandó.

Triviális példák a csupa azonos elemből álló konstans sorozatok, hiszen ezekben két szomszédos elem különbsége mindig 0; a legegyszerűbb nem triviális példák a természetes számok sorozata (0, 1, 2, 3, 4, 5, …) vagy a páros számok sorozata (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, …). A számtani sorozat a kontinuum felett értelmezett valós függvények elméletében definiálható egyváltozós lineáris függvény fogalmának diszkrét megfelelője, ahol e függvény értelmezési tartománya a természetes számok halmaza (D{a_n} ∈ N).^[1]

Számtani sorozatoknak nevezzük azokat a sorozatokat, amelyekben (a másodiktól kezdve) bármelyik tag és az azt megelőző tag különbsége állandó, vagyis

${\displaystyle a_{n}-a_{n-1}=d}$,   ha ${\displaystyle n>1}$

A sorozat (fent d-vel jelölt) különbségét, más szóval növekményét differenciának nevezzük, szokásos jelölése általában is d.

Példák a számtani sorozatra:
${\displaystyle -5;-1;3;7;11\dots }$, itt a differencia 4, ${\displaystyle a_{1}}$=–5, ${\displaystyle a_{2}}$=–1, ${\displaystyle a_{3}}$=3 stb.
${\displaystyle 128;112;96;80;64\dots }$, a differencia –16, ${\displaystyle a_{1}}$=128, ${\displaystyle a_{2}}$=112, ${\displaystyle a_{3}}$=96 stb.
${\displaystyle 3,41;\ 5,71;\ 8,01;\ 10,31;\ 12,61\dots }$, a differencia 2,3.
${\displaystyle {\frac {25}{7}};{\frac {14}{7}};{\frac {3}{7}};-{\frac {8}{7}};-{\frac {19}{7}}}$, a differencia ${\displaystyle -{\frac {11}{7}}}$. Ahogy látható, a sorozat elemei és a differencia is lehetnek törtek.

A különbségsorozat fogalma segítségével a számtani sorozat definíciója így hangzik: ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}\dots a_{n},a_{n+1}\dots }$ akkor és csak akkor számtani sorozat, ha ${\displaystyle a_{n+1}-a_{n}=d}$ állandó, minden olyan ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$-ra, amelyre van a sorozatnak n-edik tagja (ha esetleg a sorozat véges lenne).

Teljesen formalizálva, (a_n) akkor és csak akkor számtani sorozat, ha létezik olyan C valós szám, amelyre a sorozat két egymást sorrendben követő elemének a különbözete C állandó (a sorozat n indexei pozitív egészek), azaz:

${\displaystyle (\exists C\in \mathbb {R} )(\forall n\in \mathbb {N} ):\Delta a_{n}=a_{n+1}-a_{n}=C}$

A fentiekből következik a számtani sorozat rekurzív képlete:

${\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+d,\forall n\in N^{+}}$

Ez azt jelenti, hogy a sorozat következő elemét mindig úgy kapjuk, hogy hozzáadjuk az előző taghoz a differenciát. Ez tényleg pontosan azt jelenti, hogy a sorozat szomszédos tagjainak különbsége állandó.

A képletből következően a számtani sorozatok halmaza egy rekurzív sorozat-család, minimális rekurziós rendje 1, rekurziós szabálya(i) pedig a φ_d: R→R; φ_d(x) := x+d függvénycsalád, ahol d a sorozat(ok)ra jellemző állandó.

A sorozat n-edik elemére nem csak rekurzív, hanem explicit képlet is adható. Mivel a sorozat minden lépésben d-vel változik, ezért

${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d}$.

Bővebben,

• a₂ = a₁+d;
• a₃ = a₂+d = (a₁+d)+d = a₁+2d;
• a₄ = a₃+d = (a₁+2d)+d = a₁+3d;
• s. í. t. …

Hasonlóan haladva és teljes indukcióval bizonyíthatóan,

• a_n = a_n-1+d = (a₁+(n-2)d)+d = a₁+(n-1)d;

Ugyanezen okból – a lépésről lépésre d-vel való növekedés miatt – vezethető le az a tulajdonság, amelyről a számtani sorozatok nevüket nyerték. U.is véve a sorozat n-edik (de legalább második) elemét, a megelőző elem d-vel kisebb (a_n-1 = a_n-d), a rákövetkező elem d-vel nagyobb (a_n+1 = a_n+d).

Tehát (összeadva a fenti egyenlőségeket) a_n-1 + a_n+1 = (a_n-d)+(a_n+d) = 2a_n.

Vagyis az n-edik elem a két szomszédos elem számtani közepe („átlaga”):

${\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}}$.

De érvényes – hasonló okok miatt – az ennél általánosabb

${\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-i}+a_{n+i}}{2}}}$.

egyenlőség is minden i<n-re. Azaz egy sorozat akkor és csak akkor számtani sorozat, ha bármely eleme számtani közepe a sorozatban tőle azonos index-távolságra lévő tagoknak. A fenti gondolatmenet egyébként nem igazolja, hogy bármely, a fenti tulajdonsággal jellemezhető sorozat szükségképp számtani, noha az is igaz, ld. Számtani közép/Számtani sorozatok.

Az n-edik tagra vonatkozó képletben csoportosítva az állandó és a változó mennyiségeket:

${\displaystyle a_{n}=dn+(a_{1}-d)}$.

Így látható, hogy a számtani sorozatok épp azok a sorozatok, melyek az n független változójuk „lineáris” függvényei, azaz az

alakú sorozatok, ahol m,c olyan valós állandók, melyekre m=d és c=a₁-d.

• Legyen az (a_n) számtani sorozatban: ${\displaystyle a_{1}=0}$, a differencia: ${\displaystyle d=3}$, akkor a sorozat: 0; 3; 6; 9; 12; 15, …, és a sorozatot az a_n = 3n-3 (n∈N) képlet adja meg.
• Az ${\displaystyle \textstyle a_{n}={n \choose 1}}$ képlettel definiált sorozat is számtani sorozat (a Pascal-háromszög "második ferde sora"), egyébként (a_n) = (n) (itt n∈N⁺).

A sorozat első n tagjának összegét (${\displaystyle S_{n}}$) a következő ötlettel határozhatjuk meg. Vegyük az első n tagot, ezek: ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$. Majd írjuk fel ez alá a tagokat fordított sorrendben, vagyis ${\displaystyle a_{n},a_{n-1},\ldots ,a_{1}}$. Számítsuk ki ennek a 2n darab számnak az összegét. Ez egyrészt a keresett összeg kétszerese, hiszen az első n tag mindegyike pontosan kétszer szerepel. Másrészt pedig az egymás alatt lévő számok összege éppen ${\displaystyle a_{1}+a_{n}}$. Összesen n egymás alatti pár van, vagyis az összeg éppen ${\displaystyle (a_{1}+a_{n})\cdot n}$. De ez az általunk keresett összeg (azaz az első n tag összegének) kétszerese, vagyis a helyes eredmény:

${\displaystyle S_{n}={\frac {(a_{1}+a_{n})\cdot n}{2}}}$

Ha még azt is felhasználjuk, hogy ${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$, akkor

${\displaystyle S_{n}={\frac {[2a_{1}+(n-1)d]\cdot n}{2}}}$

Ezt a képletet alkalmazva ${\displaystyle a_{1}=1}$ és ${\displaystyle d=1}$ esetben, megkapjuk az első n pozitív egész szám összegét, azaz ${\displaystyle {\frac {(n+1)\cdot n}{2}}}$-t vagy leegyszerűsítve: ${\displaystyle {\frac {n^{2}+n}{2}}}$.

E formula lényegében már a XIII. szd.-ban is ismert volt, persze leírása a kornak megfelelően történt; az összegzés módszerét mindenesetre már Leonardo Pisano (ismertebb nevén Fibonacci) is leírta (Liber Abaci; 1202, ch. II.12).

• A számtani sorozat monoton növekvő, és alulról korlátos, ha ${\displaystyle d>0}$
• A számtani sorozat monoton csökkenő, és felülről korlátos, ha ${\displaystyle d<0}$
• A számtani sorozat nemnövekvő, nemcsökkenő, azaz állandó, ha ${\displaystyle d=0}$

Két számtani sorozat összege és különbsége, továbbá egy számtani sorozat valós számszorosa (mint például ellentettje) is számtani sorozat.

Konkrétan: ha (a_n) = (a₁+(n-1)d) és (b_n) = (b₁+(n-1)e) két számtani sorozat, akkor ((a+b)_n) = (a_n+b_n) = (a₁+b₁+(n-1)(d+e)) is számtani sorozat, melynek első tagja a tagok első tagjai összege, azaz a₁+b₁, és differenciája a tagok differenciáinak összege, azaz d+e.

Továbbá ha α∈R tetszőleges valós szám, akkor α(a_n) = (αa₁+(n-1)αd) is számtani sorozat, első tagja az eredeti sorozat első tagjának α-szorosa; differenciája az eredeti sorozat differenciájának α-szorosa.

Ez azt jelenti, hogy a valós számtani sorozatok az összeadással kommutatív csoportot, illetve a számmal szorzást is hozzávéve, lineáris teret alkotnak. Tetszőleges csoport elemeiből képezett számtani sorozatokra szintén elmondható ugyanez.

Igazolható, hogy két számtani sorozat szorzata mindig másodrendű számtani sorozat, hiszen ha a_n = a₁+(n-1)d és b_n = b₁+(n-1)e, akkor a_nb_n = [a₁+(n-1)d]·[b₁+(n-1)e] = a₁b₁+(n-1)(d+e)+(n-1)²de = (a₁b₁-d-e+de)+(d+e-2de)n+(de)n², ami megfelel a Másodrendű számtani sorozatok analitikus szemléletű definíciójának, továbbá az ott írtak alapján az is megállapítható, hogy a szorzatsorozat 1). különbségsorozatának differenciája a tényezők differenciáinak kétszeres szorzata; (D=2de) 2). különbségsorozatának első tagja az 1-gyel megnövelt differenciák szorzatánál eggyel kisebb (Δ(ab)₁ = (d+1)(e+1)-1); és . ami a tagonkénti szorzat definíciójának is egyszerű következménye – első tagja természetesen a tényezők első tagjainak szorzata.

A valós számsorozatok R^N+ halmaza a tagonkénti összeadás és a tagonkénti ellentettképzés műveletével kommutatív csoportot alkotnak (nullelem a (0) := (0,0,0,…) sorozat). A számmal való tagonkénti szorzás műveletét hozzávéve pedig vektorteret kapunk. Ezen a téren belül a számtani sorozatok családja egy kétdimenziós generált alteret alkot, amelyet az {1} := {1,1,1,…} és az (n) := (1,2,3,4,5…) sorozatok generálnak, hiszen tetszőleges n>-0-ra (a_n) = (a₁+(n-1)d) = (a₁+nd-d) = a₁·(1)+d(n)+(-d)·(1). Tehát a számtani sorozatok halmaza a <(0), (n)> generált altér.

A sorképzéssel számtani sorozatokra visszavezethető sorozatok magasabb rendű számtani sorozatok. Ezek éppen azok a sorozatok, melyek képzését polinommal lehet leírni. A polinom foka megegyezik a sorozat rendjével.

Képletek a különböző rendű számtani sorozatok részletösszegeinek kiszámítására:

• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}}$
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}$
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}}$

Általános esetre alkalmazható a Faulhaber-képlet:

• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{p}={\frac {(n+1)^{p+1}}{p+1}}+\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{k}}{p-k+1}}{p \choose k}(n+1)^{p-k+1}}$.

ahol ${\displaystyle B_{k}}$ a ${\displaystyle k}$-adik Bernoulli-szám.

A tetraéderszámok harmadrendű számtani sorozatot alkotnak. A sorozat elemei ezzel a harmadfokú polinommal számíthatók ki:

${\displaystyle a_{n}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}={\frac {1}{6}}\cdot (n^{3}+3n^{2}+2n)}$.

A polinomban szereplő legnagyobb hatvány a polinom foka.

Sorozat:

${\displaystyle 0\ }$

${\displaystyle 1\ }$

${\displaystyle 4\ }$

${\displaystyle 10\ }$

${\displaystyle 20\ }$

${\displaystyle 35\ }$

${\displaystyle 56\ }$

${\displaystyle 84\ }$

${\displaystyle ...\ }$

1. különbségsorozat:

${\displaystyle 1\ }$

${\displaystyle 3\ }$

${\displaystyle 6\ }$

${\displaystyle 10\ }$

${\displaystyle 15\ }$

${\displaystyle 21\ }$

${\displaystyle 28\ }$

${\displaystyle ...\ }$

2. különbségsorozat:

${\displaystyle 2\ }$

${\displaystyle 3\ }$

${\displaystyle 4\ }$

${\displaystyle 5\ }$

${\displaystyle 6\ }$

${\displaystyle 7\ }$

${\displaystyle ...\ }$

3. különbségsorozat:

${\displaystyle 1\ }$

${\displaystyle 1\ }$

${\displaystyle 1\ }$

${\displaystyle 1\ }$

${\displaystyle 1\ }$

${\displaystyle ...\ }$

A táblázatból láthatóan a tetraéderszámok első különbségsorozata a háromszögszámok másodrendű számtani sorozata.

A négyzetszámok sorozata másodrendű számtani sorozat:

Sorozat:

${\displaystyle 0\ }$

${\displaystyle 1\ }$

${\displaystyle 4\ }$

${\displaystyle 9\ }$

${\displaystyle 16\ }$

${\displaystyle 25\ }$

${\displaystyle 36\ }$

${\displaystyle 49\ }$

${\displaystyle ...\ }$

1. különbségsorozat:

${\displaystyle 1\ }$

${\displaystyle 3\ }$

${\displaystyle 5\ }$

${\displaystyle 7\ }$

${\displaystyle 9\ }$

${\displaystyle 11\ }$

${\displaystyle 13\ }$

${\displaystyle ...\ }$

2. különbségsorozat:

${\displaystyle 2\ }$

${\displaystyle 2\ }$

${\displaystyle 2\ }$

${\displaystyle 2\ }$

${\displaystyle 2\ }$

${\displaystyle 2\ }$

${\displaystyle ...\ }$

A számtani sorozatok magasabb dimenziós általánosítása

${\displaystyle a+mb+nc}$

ahol ${\displaystyle m=1,2,\cdots ,k}$, ${\displaystyle n=1,2,\cdots ,l}$, ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {N} }$ konstansok. A definíció hasonló más dimenziókban.

• Már az ókori egyiptomiak is ismerték a számtani és mértani sorozatot. Erről tanúskodik az ún. Rhind-papirusz, amely körülbelül Kr. e. 1750-ből való.

• Egy híres történet, amely a szájhagyomány útján átalakult, arról szól, hogy Gauss általános iskolai tanára, J. G. Büttner diákjait azzal akarta lefoglalni, hogy 1-től 100-ig adják össze az egész számokat. A fiatal Gauss mindenki megdöbbenésére másodpercek alatt előrukkolt a helyes megoldással, megvillantva matematikai éleselméjűségét. Gauss észrevette, hogy a sor ellenkező végein lévő számok párokba állításával azonos összegeket kap: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101 stb., ami összesen ${\displaystyle 50\cdot 101=5050}$-et eredményez (lásd az összegzési képletet). Több információ a témában itt található:[1].
• A számtani sorozatok egymás után tetszőleges véges számú prím elemet tartalmazhatnak, ahogy azt Terence Tao és Ben Green bebizonyította.^[2] 2015-ben négy ilyen leghosszabb sorozatot ismertek, melyek 26 elemből álltak (AP-26).

43142746595714191 + 23681770·23#·n, ahol 0 ≤ n ≤ 25 és 23# = 223092870 (Benoãt Perichon, 2010. április 12.);

3486107472997423 + 1666981·23#·n, ahol 0 ≤ n ≤ 25 (James Fry, 2012. március 16.),

136926916457315893 + 44121555·23#·n, ahol 0 ≤ n ≤ 25 (Bryan Little, 2014. február 23.)

161004359399459161 + 47715109·23#·n, ahol 0 ≤ n ≤ 25 (Bryan Little, 2015. február 19.).

Egy tízelemű hasonló sorozat:^[3]

${\displaystyle 199\ }$

${\displaystyle 409\ }$

${\displaystyle 619\ }$

${\displaystyle 829\ }$

${\displaystyle 1039\ }$

${\displaystyle 1249\ }$

${\displaystyle 1459\ }$

${\displaystyle 1669\ }$

${\displaystyle 1879\ }$

${\displaystyle 2089\ }$

${\displaystyle 210\ }$

${\displaystyle 210\ }$

${\displaystyle 210\ }$

${\displaystyle 210\ }$

${\displaystyle 210\ }$

${\displaystyle 210\ }$

${\displaystyle 210\ }$

${\displaystyle 210\ }$

${\displaystyle 210\ }$

Ez a szócikk részben vagy egészben az Arithmetische Folge című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

• Varga Tamás: Matematika lexikon. Műszaki Könyvkiadó, SHL Hungary Kft., Budapest 2001. ISBN 963-16-2819-1; ISBN 963-00-8549-6
• Sain Márton: Nincs királyi út – Matematikatörténet. Gondolat, Budapest 1986. ISBN 963-281-7044

• Dr. Rókáné Rózsa Anikó írása Archiválva 2006. augusztus 16-i dátummal a Wayback Machine-ben
• Számtani és mértani sorozat definíciója
• Számtani sorozat

• On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• általánosított számtani sorozat
• másodrendű számtani sorozat
• mértani sorozat
• Dirichlet-tétel
• Van der Waerden-tétel
• Szemerédi-tétel
• Green–Tao-tétel