Лямбда-исчисление

Ля́мбда-исчисле́ние (λ-исчисление) — формальная система, разработанная американским математиком Алонзо Чёрчем для формализации и анализа понятия вычислимости.

Чистое λ-исчисление

[править | править код]

Чистое λ-исчисление, термы которого, называемые также объектами («обами»), или λ-термами, построены исключительно из переменных применением аппликации и абстракции. Изначально наличие каких-либо констант не предполагается.

Аппликация и абстракция

[править | править код]

В основу λ-исчисления положены две фундаментальные операции:

  • Аппликация (лат. applicatio — прикладывание, присоединение) означает применение функции к заданному значению аргумента (то есть вызов функции). Её обычно обозначают , где  — функция, а  — аргумент. Это соответствует общепринятой в математике записи , которая тоже иногда используется, однако для λ-исчисления важно то, что трактуется как алгоритм, вычисляющий результат по заданному входному значению. В этом смысле аппликация может рассматриваться двояко: как результат применения к , или же как процесс вычисления этого результата. Последняя интерпретация аппликации связана с понятием β-редукции.
  • Абстракция или λ-абстракция (лат. abstractio — отвлечение, отделение), в свою очередь, строит функции по заданным выражениям. Именно, если  — выражение, свободно[англ.] содержащее , тогда запись означает: λ функция от аргумента , которая имеет вид , и обозначает функцию . Здесь скобки не обязательны и использованы для ясности, так как точка является частью нотации и отделяет имя связанной переменной от тела функции. Таким образом, с помощью абстракции можно конструировать новые функции. Требование, чтобы свободно входило в , не обязательно — в этом случае обозначает функцию , то есть такую, которая игнорирует свой аргумент.

α-эквивалентность

[править | править код]

Основная форма эквивалентности, определяемая в лямбда-термах, это альфа-эквивалентность. Например, и - это альфа-эквивалентные лямбда-термы, которые оба представляют одну и ту же функцию — а именно, функцию тождества . Термы и не являются альфа-эквивалентными, так как являются свободными переменными.

Вообще говоря, -преобразование - это переименование связанных переменных, не меняющее «смысла» терма. Структурно, два λ-терма -эквивалентны если это один и тот же терм, либо если какие-либо их составляющие термы соответстветственно -эквивалентны.

Для абстракций, терм -эквивалентен , если это в котором все свободные появления заменены на , при условии, что 1.) не входит свободно в , и 2.) не входит свободно ни в одну абстракцию внутри (если такие есть).

Требование, чтобы не была свободной переменной в  — существенно, так как иначе она окажется «захваченной» абстракцией после -преобразования, и из свободной переменной в превратится в связанную переменную в .

Второе требование необходимо чтобы предотвратить случаи подобные тому, когда, например, является частью . Тогда необходимо произвести -преобразование такой абстракции, например, в данном случае, в .

β-редукция

[править | править код]

Применение некой функции к некоему аргументу выражается в -исчислении как аппликация -терма, выражающего эту функцию, и -терма аргумента. Например, применение функции к числу 3 выражается аппликацией

в которой на первом месте находится соответствующая абстракция. Поскольку эта функция ставит в соответствие каждому значение , для вычисления результата необходимо заменить каждое свободное появление переменной в терме на терм 3.

В результате получается . Это соображение в общем виде записывается как

и носит название β-редукция. Выражение вида , то есть применение абстракции к некоему терму, называется редексом (redex). Несмотря на то, что β-редукция по сути является единственной «существенной» аксиомой λ-исчисления, она приводит к весьма содержательной и сложной теории. Вместе с ней λ-исчисление обладает свойством полноты по Тьюрингу и, следовательно, представляет собой простейший язык программирования.

η-преобразование

[править | править код]

-преобразование выражает ту идею, что две функции являются идентичными тогда и только тогда, когда, будучи применёнными к любому аргументу, дают одинаковые результаты.

-преобразование переводит друг в друга формулы и , но только если не появляется свободно в . Иначе, свободная переменная в после преобразования стала бы связанной внешней абстракцией , и наоборот; и тогда применение этих двух выражений сводилось бы -редукцией к разным результатам.

Перевод в называют -редукцией, а перевод в  — -экспансией.

Каррирование (карринг)

[править | править код]

Функция двух переменных и может быть рассмотрена как функция одной переменной , возвращающая функцию одной переменной , то есть как выражение . Такой приём работает точно так же для функций любой арности. Это показывает, что функции многих переменных могут быть выражены в λ-исчислении и являются «синтаксическим сахаром». Описанный процесс превращения функций многих переменных в функцию одной переменной называется карринг (также: каррирование), в честь американского математика Хаскелла Карри, хотя первым его предложил Моисей Шейнфинкель (1924).

Соответственно, аппликация n-арных функций это на самом деле аппликация вложенных унарных функций, одна за другой. Например, для бинарных функций:

  (λxy.    ...x...y... )  a  b   =   (λx.λy.  ...x...y... )  a  b   =   (λx.(λy. ...x...y... )) a  b   = (((λx.(λy. ...x...y... )) a) b)  =       (λy. ...a...y... )     b   =            ...a...b... 

Семантика бестипового λ-исчисления

[править | править код]

Тот факт, что термы λ-исчисления действуют как функции, применяемые к термам λ-исчисления (то есть, возможно, к самим себе), приводит к сложностям построения адекватной семантики λ-исчисления. Чтобы придать λ-исчислению какой-либо смысл, необходимо получить множество , в которое вкладывалось бы его пространство функций . В общем случае такого не существует по соображениям ограничений на мощности этих двух множеств, и функций из в : второе имеет бо́льшую мощность, чем первое.

Эту трудность в начале 1970-х годов преодолел Дана Скотт, построив понятие области (изначально на полных решётках[1], в дальнейшем обобщив до полного частично упорядоченного множества со специальной топологией) и урезав до непрерывных в этой топологии функций[2]. На основе этих построений была создана денотационная семантика[англ.] языков программирования, в частности, благодаря тому, что с помощью них можно придать точный смысл таким двум важным конструкциям языков программирования, как рекурсия и типы данных.

Связь с рекурсивными функциями

[править | править код]

Рекурсия — это определение функции через саму себя; на первый взгляд, лямбда-исчисление не позволяет этого, но это впечатление обманчиво. Например, рассмотрим рекурсивную функцию , вычисляющую факториал:

f(n) = 1, if n = 0; else n × f(n - 1).

Эта функция не может быть выражена λ-термом (λn.(1, if n = 0; else n × (f (n-1)))), так как в нём f является свободной переменной. Функция ссылается на саму себя посредством ссылки на своё имя, но в лямбда-исчислении у λ-термов имен нет.

Тем не менее, λ-термы могут быть переданы как аргумент, в том числе и самим себе. Терм-функция может получить сам себя как аргумент, который окажется связанным с его параметром. Как правило, этот параметр стоит на первом месте. Когда в приложении (применении) терма к самому себе этот параметер связывается с самим же термом, получается новый λ-терм, выражающий уже саму рекурсивную функцию – при условии, что параметр, ссылающийся на себя (здесь обозначен как ), передаётся явным образом как аргумент, выражая таким образом рекурсивный вызов как :

U := λh. h h
F := U (λh. λn. (1, if n = 0; else n × ((h h) (n-1))))

где  — это комбинатор самоприменения (самоаппликации), .

Этот приём позволяет решить каждую конкретную проблему, как вычисление факториала здесь, создавая рекурсивную функцию через изменение λ-терма, для его явной передачи самому себе как добавочного аргумента. Но решение в общем виде также возможно. Несколькими несложными преобразованиями получается (подразумевая каррирование):

     U (λh.      λn. (1, if n = 0; else n × (h h (n-1))))      U (λh. (λr. λn. (1, if n = 0; else n × (r   (n-1)))) (h h)) (λg. U (λh. g (h h))) (λr. λn. (1, if n = 0; else n × (r (n-1)))) 

Это эквивалентное выражение состоит из аппликации двух независимых λ-термов, где второй — это просто лямбда-выражение рекурсивной функции без изменений, но с абстрагированным рекурсивным вызовом . А первый это некий комбинатор, называемый :

G :=                  (λr. λn. (1, if n = 0; else n × (r (n-1)))) Y := λg. U (λh. g (h h))     = λg. (λh. g (h h)) (λh. g (h h)) 

Этот комбинатор создает рекурсивную функцию из аргумента, являющегося закрытым (то есть в котором нет свободных переменных) λ-термом исходного выражения функции (то есть без удвоения параметра). Таким образом,

Y g = (λh. g (h h)) (λh. g (h h))     = g ((λh. g (h h)) (λh. g (h h)))     = g (Y g) 

то есть  — это комбинатор неподвижной точки: он вычисляет неподвижную точку своего аргумента. Для закрытого λ-терма с соответствующей арностью, его неподвижная точка выражает рекурсивную функцию, так как , то есть аргумент который здесь создаётся для вызова внутри  — это та же самая функция .

F = Y (λr. λn. (1, if n = 0; else n × (r (n-1))))   = Y G   = G (Y G)   = (λr. λn. (1, if n = 0; else n × (r (n-1)))) (Y G)   = (    λn. (1, if n = 0; else n × (Y G (n-1))))    = (    λn. (1, if n = 0; else n × (F   (n-1))))    = G F 

Итак,  — это закрытый функционал, то есть λ-терм, вызывающий свой аргумент в качестве функции; его неподвижная точка — это функция (здесь, ), которая передаётся ему в качестве аргумента; а вызов той же самой функции и есть рекурсивный вызов.

Существует несколько определений комбинаторов неподвижной точки. Вышеуказанное — самое простое:

Y := λg. (λh. g (h h)) (λh. g (h h))

Используя стандартные комбинаторы и ,

Y g = U (λh. g (U h)) = U (λh. B g U h)     = U (B g U) = U (C B U g)      = B U (C B U) g 

В самом деле:

U (B g U) = B g U (B g U)     = g (U (B g U))     = g (Y g) 

Итак, чтобы определить факториал как рекурсивную функцию, мы можем просто написать , где  — число, для которого вычисляется факториал. Пусть , получаем:

Y G 4 Y (λrn.(1, if n = 0; else n×(r (n-1)))) 4 (λrn.(1, if n = 0; else n×(r (n-1)))) (Y G) 4 (λn.(1, if n = 0; else n×(Y G (n-1)))) 4 1, if 4 = 0; else 4×(Y G (4-1)) 4×(Y G 3) 4×(G (Y G) 3) 4×((λrn.(1, if n = 0; else n×(r (n-1)))) (Y G) 3) 4×(1, if 3 = 0; else 3×(Y G (3-1))) 4×(3×(G (Y G) 2)) 4×(3×(1, if 2 = 0; else 2×(Y G (2-1)))) 4×(3×(2×(G (Y G) 1))) 4×(3×(2×(1, if 1 = 0; else 1×(Y G (1-1))))) 4×(3×(2×(1×(G (Y G) 0)))) 4×(3×(2×(1×(1, if 0 = 0; else 0×(Y G (0-1)))))) 4×(3×(2×(1×(1)))) 24 

Итак, каждое определение рекурсивной функции может быть представлено как неподвижная точка соответствующего закрытого функционала описывающего «один вычислительный шаг» рекурсивной функции. Следовательно, используя , каждое рекурсивное определение может быть выражено как лямбда-выражение (λ-терм). В частности, мы можем определить вычитание, умножение, сравнение натуральных чисел рекурсивно, и выразить их как λ-термы.

В языках программирования

[править | править код]

В языках программирования под «λ-исчислением» зачастую понимается механизм «анонимных функций» — callback-функций, которые можно определить прямо в том месте, где они используются, и которые имеют доступ ко всем переменным, видимым в месте их вызова в текущей функции (замыкание).

Примечания

[править | править код]
  1. Scott D.S. The lattice of flow diagrams.-- Lecture Notes in Mathematics, 188, Symposium on Semantics of Algorithmic Languages.-- Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1971, pp. 311—372.
  2. Scott D.S. Lattice-theoretic models for various type-free calculi. — In: Proc. 4th Int. Congress for Logic, Methodology, and the Philosophy of Science, Bucharest, 1972.

Литература

[править | править код]
  • Барендрегт, Хенк. Ламбда-исчисление. Его синтаксис и семантика. — М.: Мир, 1985. — 606 с. — 4800 экз.