Абу Бакр аль-Караджи

Абу Бакр аль-Караджи
перс. بوبکر محمد بن حسن کرجیا‎
Дата рождения	13 апреля 953[1]
Место рождения	предп. Кередж, Аббасидский халифат[1]
Дата смерти	около 1029[2][1]
Страна	Аббасидский халифат
Род деятельности	математик
Медиафайлы на Викискладе

Фахр ад-Дин Абу Бакр Мухаммад ибн аль-Хусайн аль-Караджи (или аль-Кархи, перс. ابوبکر محمد بن حسین کرجی‎, англ. Abū Bakr ibn Muhammad ibn al Husayn al-Karajī (or al-Karkhī), 953 – 1029) — аббасидский математик, который первым описал биномиальные коэффициенты и структуру, известную в Европе как треугольник Паскаля, за 600 лет до работы Блеза Паскаля^[3][4][5]. Его работы сыграли большую роль в отделении алгебры от геометрии, что стало важным этапом в её развитии как самостоятельной дисциплины^[6].

По одной из версий Абу Бакр Мухаммад ибн аль-Хусайн является выходцем из города Карадж, по другой версии он родился в пригороде Багдада, Кархе. В источниках можно встретить его упоминание как аль-Караджи, так и как аль-Кархи. Большую часть жизни учёный прожил в Багдаде, где и написал свои основные работы^[6].

«Книга об алгебре и алмукабале», известная как «al-Fakhri» («Славный»), написанная около 1010 года, содержит учение об алгебраическом исчислении и об определённых и неопределённых уравнениях. Аль-Караджи оперирует не только квадратными, но и кубическими корнями, используя формулу для куба суммы и разности. Он даёт правила для определения суммы арифметической прогрессии, а также суммы квадратов и кубов последовательных чисел. Для суммы квадратов аль-Каражди приводит верную формулу, но сообщает, что доказать её правильность он не может. Для суммы кубов он приводит геометрическое доказательство.

В этой книге он первым ввёл понятие мономов (одночленов) ${\displaystyle x,x^{2},x^{3},...}$ и ${\displaystyle 1/x,1/x^{2},1/x^{3},...}$, а также дал правила произведения любых двух таких одночленов. Его достижение заключалось в том, что он определил произведение этих членов без ссылок на геометрию. Фактически, он почти дал общую формулу для этих произведений ${\displaystyle x^{n}x^{m}=x^{n+m}}$ для всех целых ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle m}$, но не дал определения ${\displaystyle x^{0}=1}$ и ${\displaystyle x^{-n}=1/x^{n}}$^[6]. В дальнейшем эти детали были добавлены его последователем аль-Самуалом (1130—1180)^[7].

После установления правил умножения и деления одночленов аль-Караджи перешел к изучению их сумм. Он разработал правила для сложения, вычитания и умножения таких величин, однако не предоставил общее правило для деления составной величины. Вместо этого были предложены правила только для деления составной величины на одночлен. Кроме того, аль-Караджи сформулировал правило для извлечения квадратного корня из составной величины, которое, несмотря на ограничение лишь положительными коэффициентами, представляет собой значительное достижение^[6].

Аль-Караджи также использует в своих доказательствах форму математической индукции, хотя и не даёт строгого изложения принципа. Он доказывает случай для ${\displaystyle n=1}$, затем для ${\displaystyle n=2}$, основываясь на результате для ${\displaystyle n=1}$, и так далее, доходит до ${\displaystyle n=5}$, замечая, что этот процесс можно продолжать бесконечно. Хотя это ещё не полноценная математическая индукция, такой подход является важным шагом к пониманию индуктивных доказательств^[6].

Аль-Караджи использует такую индукцию для биномиальной теоремы, биномиальных коэффициентов и треугольника Паскаля^[6].

${\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{n-k}}$

Также с помощью неявной математической индукции он предоставил доказательство выражения ${\displaystyle \sum i^{3}=(\sum i)^{2}}$^[6].

Кроме того, аль-Караджи доказал формулу суммы ряда из натуральных чисел ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}}$^[6].

Учёный изучал работы Диофанта и включил многие из его задач в свою книгу, а также предоставил свои собственные. Однако он не просто копировал работы своего предшественника, но пытался обобщить их и найти универсальные методы решения^[6]. Так, он разработал новые методы решения квадратных уравнений^[9], а также смог показать, что некоторые уравнения более высокой степени можно свести к квадратным уравнениям^[10].

Вторая часть работы содержит 254 задачи на определённые и неопределённые уравнения^[11]. Некоторые из этих задач были повторно использованы Леонардо Фибоначчи, Леонардо да Винчи и Джероламо Кардано без указания автора^[12][13].

В трактате «Достаточная книга об арифметике» аль-Караджи даёт практическое руководство для вычислителей, уделяя особое внимание учению о дробях в его традиционной староарабской форме; десятичная индийская арифметика в этом сочинении не рассматривается. Несколько разделов этого трактата посвящены «исчислению алгебры и алмукабалы», которое ведётся в том же стиле, что и у аль-Хорезми.

В секции «Об измерениях и весах для измерения зданий и сооружений» аль-Караджи определяет точки, прямые, плоскости, объёмные фигуры и углы. Он также даёт правила измерения как плоских, так и объёмных фигур, часто используя в качестве примеров арки. Он также даёт методы взвешивания различных веществ.

Сочинение «Чудесное об арифметике» состоит из трёх книг: «Об основных определениях», «О решении уравнений», «Введение в неопределённый анализ». В них, на чисто алгебраической основе, излагаются те вопросы, которые традиционно решались с помощью алгебраических построений.

Аль-Караджи составил также «Книгу о нахождении скрытых вод» (трактат о практической гидромеханике) и «Книгу о сводах зданий».

Историк математики Франц Вёпке высоко оценил Аль-Караджи как «первого, кто ввёл теорию алгебраического исчисления»^[14].

• Математика исламского Средневековья
• Аль-Хорезми
• Самуил Марокканский
• Абу Камил

• Матвиевская Г. П. Учение о числе на средневековом Ближнем и Среднем Востоке. Ташкент: Фан, 1967.
• Матвиевская Г. П., Розенфельд Б. А. Математики и астрономы мусульманского средневековья и их труды (VIII—XVII вв.). В 3 т. М.: Наука, 1983.