Показательная функция

Показательная функция — математическая функция ${\displaystyle f(x)=a^{x}}$, где ${\displaystyle a}$ называется основанием степени, а ${\displaystyle x}$ — показателем степени.

• В вещественном случае основание степени ${\displaystyle a}$ — некоторое неотрицательное вещественное число (для отрицательных чисел возведение в вещественную нецелочисленную степень не определено), а аргументом функции является вещественный показатель степени.
• В теории комплексных функций рассматривается более общий случай, когда аргументом и показателем степени может быть произвольное комплексное число.
• В самом общем виде — ${\displaystyle u^{v}}$, введена Лейбницем в 1695 г.

Особо выделяется случай, когда в качестве основания степени выступает число e. Такая функция называется экспонентой (вещественной или комплексной). При этом из-за того, что любое положительное основание ${\displaystyle a}$ может быть представлено в виде степени числа е (${\displaystyle a=e^{\ln a}}$), понятие «экспонента» часто употребляют как синоним «показательной функции».

Пусть ${\displaystyle a}$ — неотрицательное вещественное число, ${\displaystyle x}$ — рациональное число: ${\displaystyle x={\frac {m}{n}}}$. Тогда ${\displaystyle a^{x}}$ определяется, исходя из свойств степени с рациональным показателем, по следующим правилам.

• Если ${\displaystyle x>0}$, то ${\displaystyle a^{x}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}$.
• Если ${\displaystyle x=0}$ и ${\displaystyle a\neq 0}$, то ${\displaystyle a^{x}=1}$.
  • Значение ${\displaystyle 0^{0}}$ не определено (см. Ноль в степени ноль).
• Если ${\displaystyle x<0}$ и ${\displaystyle a>0}$, то ${\displaystyle a^{x}={\frac {1}{a^{|x|}}}={\frac {1}{\sqrt[{n}]{a^{|m|}}}}}$.
  • Значение ${\displaystyle a^{x}}$ при ${\displaystyle x<0,a=0}$ не определено.

Для произвольного вещественного показателя ${\displaystyle x}$ значение ${\displaystyle a^{x}}$ можно определить как предел последовательности

${\displaystyle a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{r_{n}}}$

где ${\displaystyle \{r_{n}\}}$ — последовательность рациональных чисел, сходящихся к ${\displaystyle x}$. То есть

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }r_{n}=x}$

Свойства возведения в степень:

• ${\displaystyle a^{0}=1}$
• ${\displaystyle a^{x+y}=a^{x}\,a^{y}}$
• ${\displaystyle (a^{x})^{y}=a^{xy}}$
• ${\displaystyle (ab)^{x}=a^{x}\,b^{x}}$
• ${\displaystyle a^{x}}$ / ${\displaystyle b^{x}}$ = ${\displaystyle (a/b)^{x}}$

Промежутки монотонности:

При ${\displaystyle a>1}$ показательная функция всюду возрастает, причём:

• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n}}{a^{x}}}=0}$ (для всякого ${\displaystyle n}$)
• ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }a^{x}=0}$

При ${\displaystyle 0<a<1}$ функция, соответственно, убывает, причём:

• ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{n}}{a^{x}}}=0}$ (для всякого ${\displaystyle n}$)
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }a^{x}=0}$

То есть показательная функция растёт на бесконечности быстрее любой полиномиальной. Большая скорость роста может быть проиллюстрирована, например, задачей о складывании бумаги.

Обратная функция:

По аналогии с введением функции корня для степенной введём логарифмическую функцию, обратную показательной:

${\displaystyle f(x)=a^{x},\quad f^{-1}(x)=\log _{a}x}$ (логарифм ${\displaystyle x}$ по основанию ${\displaystyle a}$)

Число е:

Отметим уникальное свойство показательной функции, найдём ${\displaystyle a_{0}:(a_{0}^{x})'_{x}=a_{0}^{x}}$ (такое число ${\displaystyle a}$, производная показательной функции которого равна самой функции):

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}a_{0}^{x}=a_{0}^{x}\;\Leftrightarrow \;a_{0}^{x+dx}-a_{0}^{x}=a_{0}^{x}\,dx}$

Возможность определения ${\displaystyle a_{0}}$ легко увидеть после сокращения на ${\displaystyle a_{0}^{x}}$:

${\displaystyle a_{0}^{dx}=1+dx\;\Leftrightarrow \;a_{0}=\left(1+dx\right)^{1/dx}}$

Выбирая ${\displaystyle dx=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}}$, окончательно получим число Эйлера:

${\displaystyle a_{0}\equiv e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

Отметим, что функцию ${\displaystyle e^{x}}$ можно иначе представить в виде ряда: (справедливость легко установить почленным дифференцированием):

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots }$

Откуда имеем более точное приближение:

${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}}$

Единственность числа ${\displaystyle e}$ легко показать, варьируя ${\displaystyle e^{x}}$. Действительно, если ${\displaystyle e_{1}^{x}}$ пройдёт где-то выше, чем ${\displaystyle e^{x}}$, то на том же промежутке найдётся область, где ${\displaystyle (e_{1}^{x})'<e^{x}}$.

Дифференцирование:

Используя функцию натурального логарифма ${\displaystyle \ln \,x:e^{\ln x}=x}$, можно выразить показательную функцию с произвольным положительным основанием через экспоненту. По свойству степени: ${\displaystyle a^{x}=e^{\ln(a)\,x}}$, откуда по свойству экспоненты и по правилу дифференцирования сложной функции:

${\displaystyle (a^{x})'=\ln(a)a^{x}}$

Неопределённый интеграл:

${\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C}$

Потенцирование (от нем. potenzieren^{[К 1]}) — нахождение числа по известному значению его логарифма^[1], то есть решение уравнения ${\displaystyle \log _{a}x=b}$. Из определения логарифма вытекает, что ${\displaystyle x=a^{b}}$, таким образом, возведение ${\displaystyle a}$ в степень ${\displaystyle b}$ может быть названо другими словами «потенцированием ${\displaystyle b}$ по основанию ${\displaystyle a}$», или вычислением показательной функции от ${\displaystyle b}$.

Антилогарифм^[2] числа x — результат потенцирования, то есть число, логарифм которого (при заданном основании ${\displaystyle a}$) равен числу ${\displaystyle x}$^[2][3]:

${\displaystyle \operatorname {ant} \log _{a}{x}=a^{x}.}$

Термин «антилогарифм» введен Валлисом в 1693 году^[4]. Как самостоятельное понятие антилогарифм используется в логарифмических таблицах^[5], логарифмических линейках, микрокалькуляторах. Например, для извлечения кубического корня из числа ${\displaystyle a}$ по логарифмическим таблицам следует найти логарифм числа ${\displaystyle a,}$ разделить его на 3 и затем (по таблице антилогарифмов) найти антилогарифм результата.

Аналогично логарифмам, антилогарифм по основанию ${\displaystyle e}$ или 10 называется натуральным^[6] или десятичным, соответственно.

Антилогарифм также называют обращённым логарифмом^[3].

В инженерных калькуляторах потенцирование стандартно представлено в виде двух функций: ${\displaystyle e^{x}}$ и ${\displaystyle 10^{x}}$.

Для расширения экспоненты на комплексную плоскость определим её с помощью того же ряда, заменив вещественный аргумент на комплексный:

${\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{z^{n} \over n!}=1+z+{z^{2} \over 2!}+{z^{3} \over 3!}+{z^{4} \over 4!}+\cdots }$

Эта функция имеет те же основные алгебраические и аналитические свойства, что и вещественная. Отделив в ряде для ${\displaystyle e^{ix}}$ вещественную часть от мнимой, мы получаем знаменитую формулу Эйлера:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$

Отсюда вытекает, что комплексная экспонента периодична вдоль мнимой оси:

${\displaystyle e^{z+2\pi i}=e^{z}}$

Показательная функция с произвольным комплексным основанием и показателем степени легко вычисляется с помощью комплексной экспоненты и комплексного логарифма.

Пример: ${\displaystyle i^{i}=e^{i\cdot \ln(i)}}$; поскольку ${\displaystyle \ln(i)=i{\frac {\pi }{2}}}$ (главное значение логарифма), окончательно получаем: ${\displaystyle i^{i}=e^{i{\frac {i\pi }{2}}}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}}$.

• Возведение в степень
• Ограничение складывания бумаги пополам
• Степенная функция
• Экспонента
• Двойная экспоненциальная функция

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, тома I, II. — М.: Физматлит, 2001. — ISBN 5-9221-0156-0,. — ISBN 5-9221-0155-2.
• Антилогарифм // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.