Бифуркационная память

Бифуркацио́нная па́мять — обобщённое название специфических особенностей поведения динамической системы вблизи бифуркации. Явление известно также под названиями «затягивание потери устойчивости» («stability loss delay for dynamical bifurcations»^{[a 1][a 2]}), «дефектная бифуркация» («imperfect bifurcation»)^{[a 3]}, «решения-утки»^{[a 4][a 5][a 6][b 1][b 2]} и «призрачный аттрактор» («ghost attractor»^{[a 7][прим. 1]}).

Сущность эффекта бифуркационной памяти (БП) состоит в появлении особого типа переходного процесса. Обычный переходный процесс характеризуется асимптотическим приближением динамической системы из состояния, заданного её начальными условиями, к состоянию, соответствующему её устойчивому стационарному режиму, в области притяжения которого система оказалась. Однако вблизи бифуркационной границы можно наблюдать два типа переходных процессов: проходя через место исчезнувшего стационарного режима динамическая система на время замедляет своё асимптотическое движение, «как бы вспоминая погибшую орбиту»^{[a 8]}, причём число оборотов фазовой траектории в этой области бифуркационной памяти зависит от близости соответствующего параметра системы к его бифуркационному значению, — и лишь затем фазовая траектория устремляется к состоянию, соответствующему устойчивому стационарному режиму системы.

Явления бифуркационной памяти, которые наблюдаются в сингулярно возмущённых уравнениях, можно рассматривать как характерные для тех случаев, когда на некотором отрезке фазовой траектории нарушаются сформулированные в теореме А. Н. Тихонова о предельном переходе^{[a 10][a 11]} достаточные условия устойчивости близости решений возмущённой и невозмущённой систем, но предельный переход выполняется.

В литературных источниках^{[a 8][a 12]} эффект БП связывают с опасными бифуркациями слияния.

Были описаны также двукратные эффекты бифуркационной памяти, которые удалось наблюдать при рассмотрении поведения динамических систем, значения параметров которых выбирались в окрестности либо пересечения бифуркационных границ, либо их близкого расположения.^{[a 13]}

На прямую связь между «решениями-утками» и «задержкой потери устойчивости» указывали Е. Ф. Мищенко и соавт. ^[1], А. И. Нейштадт^[2], Е. А. Щепакина и соавт.^{[a 14]}. М. И. Фейгин придерживался мнения^{[a 9][a 13]} о сходстве между описанным им вариантом «бифуркационной памяти» и исследованной А. И. Нейштадтом «задержкой потери устойчивости».

Утверждается, что термин «бифуркационная память»:

Позже с целью обобщения накопленного опыта исследования было предложено следующее определение:

Наиболее ранним из описанных на эту тему в научной литературе следует признать, наверное, результат, представленный в 1973 году в Докладах АН СССР^{[a 17]}, — который был получен под руководством академика Л. С. Понтрягина и инициировал затем целый ряд зарубежных исследований математической проблемы, известной как «задержка потери устойчивости».^{[a 9]}

Исследования сингулярно возмущённых систем привели в конце 1970-х к выявлению «решений-уток» и развитию теории, получившей название «нестандартный анализ»^{[a 4][a 5][a 6]}. Позднее в работах российских исследователей «решения-уток» рассматриваются как «одномерное медленное интегральное многообразие, „склеенное“ из неустойчивой и устойчивой частей».^[3]

Сообщения о явлениях «задержки и памяти» в модифицированной модели ФитцХью—Нагумо были опубликованы в 1980-х^{[a 18][a 19]}, причём с указанием на сходство с явлениями «затягивания потери устойчивости», которые исследовал А. И. Нейштадт^{[a 20][a 1][a 21]} примерно в то же время.

Высказано предположение^{[a 16]}, что ещё в 1961 г. ФитцХью описал^{[a 22]} явления, которые весьма похожи на БП и что те результаты следует считать наиболее ранними наблюдениями «бифуркационной памяти» в эксперименте. ФитцХью их обозначает словами «квазипороговые феномены», подчёркивая тем самым то обстоятельство, что полученные в его экспериментах результаты существенно отличались от тех, которые обычно наблюдались в экспериментальных работах по физиологии возбудимых тканей и которые были обозначены физиологами как «пороговый эффект» или ответ по принципу «всё или ничего».

Интерес к исследованию странного поведения динамических систем в некоторой области пространства состояний был снова вызван стремлением объяснить нелинейные эффекты, обнаруженные при управлении неустойчивыми на курсе судами (транспортное средство для перевозки по воде) и проявляющиеся в начальной неуправляемости или временном понижении управляемости судном.^{[a 8][a 9]}

Начиная с 2001 г. российские исследователи описывают также разновидность решений, обозначенных как «чёрные лебеди» (англ.: black swans), под которыми понимают «медленное инвариантное многообразие переменной устойчивости».^{[a 23][a 24][b 3][a 25]}

В дальнейшем аналогичные явления были обнаружены и в биологических системах, описываемых уравнениями с частными производными: в модели Зарницыной—Морозовой—Атауллаханова системы свёртывания крови^{[a 26][a 12]} и в модели Алиева—Панфилова миокарда^{[a 27]}.

Актуальность очевидным образом обусловлена желанием предотвратить состояния пониженной управляемости транспортным средством.^{[a 8][a 9]}

В кардиофизике рассматривается специальный вид тахикардий, связанных с феноменом бифуркационной памяти.^{[b 4][b 5]}

Высказана гипотеза^{[a 16]}, что «жизнь в самой своей сути как раз и является не более чем типичной задержкой потери устойчивости».

• Бифуркация
• Бифуркационная диаграмма
• Теория бифуркаций
• Точка бифуркации
• Фазовая скорость