Вершина (геометрия)

Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей.

Вершина — точка, в которой две кривые, две прямые либо два ребра сходятся. Из этого определения следует, что точка, в которой сходятся два луча, образуя угол, является вершиной, а также ею являются угловые точки многоугольников и многогранников^[1].

Вершина угла — это точка, откуда берут начало два луча; где сходятся два отрезка; где две прямые пересекаются; где любая комбинация лучей, отрезков и прямых, образующих две (прямолинейные) «стороны», которые сходятся в одной точке^[2].

Вершина — это угловая точка многоугольника или многогранника (любой размерности), иначе говоря его 0-мерная граней.

В многоугольнике вершина называется «выпуклой», если внутренний угол многоугольника меньше π радиан (180° — два прямых угла). В противном случае вершина называется «вогнутой».

Более обще, вершина многогранника является выпуклой, если пересечение многогранника с достаточно малой сферой, имеющей вершину в качестве центра, представляет собой выпуклую фигуру; в противном же случае вершина является вогнутой.

Вершины многогранника связаны с вершинами графа, поскольку многогранника является графом, вершины которого соответствуют вершинам многогранника^[3], а следовательно, граф многогранника можно рассматривать как одномерный симплициальный комплекс, вершинами которого служат вершины графа. Однако, в теории графов вершины могут иметь менее двух инцидентных рёбер, что обычно не разрешается для вершин геометрических. Также имеется связь между геометрическими вершинами и вершинами кривой, точками экстремумов её кривизны — вершины многоугольника в некотором смысле являются точками бесконечной кривизны, и, если многоугольник приблизить гладкой кривой, точки экстремальной кривизны будут лежать вблизи вершин многоугольника^[4]. Однако, приближение многоугольника с помощью гладкой кривой даёт дополнительные вершины в точках минимальной кривизны.

Вершина плоской мозаики (замощения) — это точка, где встречаются три и более плиток мозаики^[5], но не только: плитки замощения также являются многоугольниками, а вершины мозаики являются вершинами этих плиток. Более обще, замощение можно рассматривать как вид топологического CW-комплекса. Вершины других видов комплексов, таких как симплициальные, — это грани нулевой размерности.

Вершина ${\displaystyle x_{i}}$ простого многоугольника ${\displaystyle P}$ является основной вершиной, если диагональ ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i+1}]}$ пересекает границы ${\displaystyle P}$ только в точках ${\displaystyle x_{i-1}}$ и ${\displaystyle x_{i+1}}$. Существует два типа основных вершин: «уши» и «рты» (см. ниже)^[6].

Основная вершина ${\displaystyle x_{i}}$ простого многоугольника ${\displaystyle P}$ называется «ухом», если диагональ ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i+1}]}$ лежит полностью в ${\displaystyle P}$. (см. также выпуклый многоугольник)

Основная вершина ${\displaystyle x_{i}}$ простого многоугольника ${\displaystyle P}$ называется «ртом», если диагональ ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i+1}]}$ лежит вне ${\displaystyle P}$.

Любая поверхность трёхмерного выпуклого многогранника имеет эйлерову характеристику:

${\displaystyle V-E+F=2,}$

где ${\displaystyle V}$ — число вершин, ${\displaystyle E}$ — число рёбер, а ${\displaystyle F}$ — число граней. Это равенство известно как уравнение Эйлера. К примеру, куб имеет 12 рёбер и 6 граней, а потому — 8 вершин: ${\displaystyle 8-12+6=2}$.

В компьютерной графике объекты часто представляются как триангулированные многогранники, в которых вершинам объекта сопоставляются не только три пространственные координаты, но и другая необходимая для правильного построения изображения объекта графическая информация, такая как цвет, отражательная способность, текстура, нормали вершин^[7]. Эти свойства используются при построении изображения с помощью вершинного шейдера, части обработчика вершин^[англ.].

• Thomas L. Heath. The Thirteen Books of Euclid's Elements. — 2nd ed. — New York: Dover Publications, 1956. — ISBN v1: 0-486-60088-2 , v2: 0-486-60089-0 , v3: 0-486-60090-4. (Аутентичный перевод книги Евклида «Начала» с обширными историческими исследованиями и детальными комментариями по тексту книги.)
• Lanru Jing, Ove Stephansson. Fundamentals of Discrete Element Methods for Rock Engineering: Theory and Applications. — Elsevier Science, 2007. — ISBN 978-0-444-82937-5.
• Peter McMullen, Egon Schulte. Abstract Regular Polytopes. — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 0-521-81496-0.
• Introduction to the Mathematics of Quasicrystals / M.V. Jaric. — Academic Press, 1989. — Т. 2. — (Aperiodicity and Order). — ISBN 0-12-040602-0.
• Alexander I. Bobenko, Peter Schröder, John M. Sullivan, Günter M. Ziegler^[англ.]. Discrete differential geometry. — Birkhäuser Verlag AG, 2008. — ISBN 978-3-7643-8620-7.
• Satyan Devadoss, Joseph O'Rourke. Discrete and Computational Geometry. — Princeton University Press, 2011. — ISBN 978-0-691-14553-2.
• Martin Christen. Clockworkcoders Tutorials: Vertex Attributes. — Khronos Group, 2009.

• Weisstein, Eric W. Polygon Vertex (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Polyhedron Vertex (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Principal Vertex (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Для улучшения этой статьи желательно: Проверить качество перевода с иностранного языка. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.