Геометрическая система единиц

Геометрическая система единиц — это система естественных единиц, в которой основные физические единицы выбраны таким образом, что скорость света в вакууме с, и гравитационная постоянная G принимаются равными единице.

Геометрическая система единиц измерения не является полностью определённой системой. Некоторые другие системы являются геометрическими системами единиц в том смысле, что они определяют их в дополнение к другим константам, для полноты, например стоуновские единицы и планковские единицы.

Эта система применяется в физике, особенно в специальной и общей теориях относительности. Все физические величины отождествляются с геометрическими величинами, такими как площади, длины, безразмерные числа, кривизны траектории или кривизны сечения.

Многие уравнения в релятивистской физике приобретают более простой вид, когда выражаются в геометрических единицах, потому что все вхождения G и c выпадают. Например, радиус Шварцшильда невращающейся незаряженной чёрной дыры с массой m становится r = 2m. По этой причине во многих книгах и статьях по релятивистской физике используются геометрические единицы. Альтернативной системой геометрических единиц, часто используемой в физике элементарных частиц и космологии, является система, в которой принимается равной единице. Это вводит дополнительный коэффициент в закон всемирного тяготения Ньютона, но упрощает уравнения Эйнштейна, действие Эйнштейна-Гильберта, уравнение Фридмана и ньютоновское уравнение Пуассона, удаляя соответствующий множитель.

Практические измерения и вычисления обычно выполняются в единицах СИ, но преобразования к геометрической системе единиц, как правило, довольно просты.

Определение

[править | править код]

В геометрических единицах каждый временной интервал интерпретируется как расстояние, пройденное светом в течение данного временного интервала. То есть одна секунда интерпретируется как одна световая секунда, поэтому время имеет геометрические единицы длины. Это размерно согласуется с представлением о том, что в соответствии с кинематическими законами специальной теории относительности интервалы времени и расстояния в пространстве находятся в равном положении.

Энергия и импульс интерпретируются как компоненты вектора четырёхимпульса, а масса - это длина этого вектора, поэтому в геометрических единицах все они должны иметь размерность длины. Мы можем преобразовать массу, выраженную в килограммах, в эквивалентную массу, выраженную в метрах, путём умножения на коэффициент преобразования G/c2. Например, масса Солнца кг в единицах Си эквивалентна км. Это половина радиуса Шварцшильда чёрной дыры с одной солнечной массой. Все остальные коэффициенты пересчёта можно вычислить, объединив эти два множителя.

Небольшая численная величина коэффициентов преобразования из системы СИ в геометрическую систему единиц отражает тот факт, что релятивистские эффекты становятся заметными только тогда, когда рассматриваются большие массы или высокие скорости.

Преобразования

[править | править код]

Ниже перечислены все коэффициенты преобразования, которые полезны для преобразования между всеми комбинациями базовых единиц СИ, а если это невозможно, то между ними и их уникальными элементами, потому что ампер - это безразмерное отношение двух длин, таких как [C/s], а кандела (1/683 [W / sr]) - это безразмерное отношение двух безразмерных отношений, таких как отношение двух объёмов [kg⋅m2/s3] = [W] и отношение двух областей [m2/m2] = [sr], в то время как моль является только безразмерным числом Авогадро сущностей, таких как атомы или частицы:

m kg s C K
m 1 c2/G [kg/m] 1/c [s/m] c2/(G/(4πε0))1/2 [C/m] c4/(GkB) [K/m]
kg G/c2 [m/kg] 1 G/c3 [s/kg] (G 4πε0)1/2 [C/kg] c2/kB [K/kg]
s c [m/s] c3/G [kg/s] 1 c3/(G/(4πε0))1/2 [C/s] c5/(GkB) [K/s]
C (G/(4πε0))1/2/c2 [m/C] 1/(G 4πε0)1/2 [kg/C] (G/(4πε0))1/2/c3 [s/C] 1 c2/(kB(G 4πε0)1/2) [K/C]
K GkB/c4 [m/K] kB/c2 [kg/K] GkB/c5 [s/K] kB(G 4πε0)1/2/c2 [C/K] 1

Геометрические единицы

[править | править код]

Компоненты "тензоров кривизны", таких как тензор Эйнштейна, имеют в геометрических единицах размеры секционной кривизны. Так же рассматриваются и компоненты тензора энергии-импульса. Поэтому уравнения поля Эйнштейна в этих единицах измерения непротиворечивы.

Кривизна траектории является обратной величиной вектора кривизны кривой, поэтому в геометрических единицах она имеет размерность обратной длины. Кривизна траектории измеряет скорость, с которой негеодезическая кривая изгибается в пространстве-времени, и если мы интерпретируем временную кривую как мировую линию некоторого наблюдателя, то её кривизну траектории можно интерпретировать как величину ускорения, испытываемого этим наблюдателем. Физические величины, которые могут быть идентифицированы с кривизной траектории, включают компоненты тензора электромагнитного поля.

Любая скорость может быть интерпретирована как наклон кривой; в геометрических единицах наклоны, очевидно, являются безразмерными отношениями. Физические величины. которые можно отождествить с безразмерными отношениями, включают компоненты четырёхвектора электромагнитного потенциала и четырёхвектора электромагнитного тока.

Физические величины, такие как масса и электрический заряд, которые можно отождествить с величиной времениподобного вектора, имеют геометрическое измерение "длины". Физические величины, такие как угловой момент, который можно отождествить с величиной бивектора, имеют геометрическую размерность "площадь".

Вот таблица, в которой собраны некоторые важные физические величины в соответствии с их размерами в геометризованных единицах измерения. Они перечислены вместе с соответствующим коэффициентом пересчёта для единиц СИ.

Величина Размерность СИ Геометрическая размерность Множитель перевода
Длина [L] [L] 1
Время [T] [L] c
Масса [M] [L] G c-2
Скорость [L T-1] 1 c-1
Угловая скорость [T-1] [L-1] c-1
Ускорение [L T-2] [L-1] c-2
Энергия [M L2 T-2] [L] G c-4
Плотность энергии [M L-1 T-2] [L-2] G c-4
Момент импульса [M L2 T-1] [L2] G c-3
Сила [M L T-2] 1 G c-4
Мощность [M L2 T-3] 1 G c-5
Давление [M L-1 T-2] [L-2] G c-4
Плотность [M L-3] [L-2] G c-2
Электрический заряд [I T] [L] G1/2 c-2 (4πε0)-1/2
Электрический потенциал [M L2 T-3 I-1] 1 G1/2 c-2 (4πε0)1/2
Электрическое поле [M L T-3 I-1] [L-1] G1/2 c-2 (4πε0)1/2
Магнитное поле [M T?2 I?1] [L-1] G1/2 c-1 (4πε0)1/2
Потенциал [M L T-2 I-1] 1 G1/2 c?1 (4πε0)1/2

Эта таблица может быть дополнена путём включения температуры, как указано выше, а также дальнейших производных физических величин, таких как различные моменты.

  • Robert Wald. General Relativity. — Chicago: University of Chicago Press, 1984. — ISBN 0-226-87033-2. See Appendix F

Внешние ссылки

[править | править код]