Доказательство иррациональности e

Число e открыл Якоб Бернулли в 1683 году. Более чем полвека спустя Эйлер, который был учеником младшего брата Якоба Иоганна, доказал, что е иррационально, то есть не может быть выражено в виде отношения двух целых чисел.

Доказательство Эйлера

[править | править код]

Эйлер впервые доказал иррациональность е в 1737 году, само доказательство было опубликовано семь лет спустя[1][2][3]. Он нашел представление е в виде цепной дроби

Поскольку эта цепная дробь бесконечна, а цепная дробь рациональных чисел конечна, то e иррационально. Были найдены краткие доказательства равенства выше[4][5]. Поскольку цепная дробь e не периодическая, это доказывает, что e не может быть корнем квадратичного многочлена с рациональными коэффициентами, откуда следует, что e2 также иррационально.

Доказательство Фурье

[править | править код]

Самым известным доказательством является доказательство Фурье, которое построено от противного[6] и основано на представлении e бесконечным рядом

Предположим, что e — рациональное число вида a/b, где a — целое, а b — натуральное. Число b не может быть равно 1, поскольку e не целое. Из бесконечного ряда выше можно показать, что e находится строго между 2 и 3:

Определим число

Покажем, что x является целым числом. Для этого подставим e =a/b в это равенство

Первое слагаемое является целым числом, и каждая дробь в сумме также целое число, поскольку nb для каждого числа под знаком суммы. Следовательно, x — целое число.

Теперь докажем, что 0 < x < 1. Чтобы доказать, что x > 0, подставим представление e в виде ряда в определение x

так как все слагаемые в сумме строго положительные.

Теперь докажем, что x < 1. Для всех членов с nb + 1 справедлива оценка сверху

Это неравенство строгое для любого nb + 2. Изменив индекс суммирования на k = nb и используя формулу для бесконечного геометрического ряда, получим

Поскольку не существует целого числа x строго между 0 и 1, мы пришли к противоречию, следовательно e должно быть иррациональным. Q. E. D.

Другие доказательства

[править | править код]

Из доказательство Фурье можно получить другое доказательство[7], заметив, что

что равносильно утверждению, что bx < 1. Конечно, это невозможно, поскольку b и x — натуральные числа.

Еще одно доказательство[8][9] можно получить из равенства

Определим как:

Тогда

откуда следует

для любого целого

Заметим, что всегда целое число. Предположим, что рациональное вида , где взаимно простые числа и Можно так подобрать , что будет целым числом, например, взяв Для такого разность между и будет целым числом. Но ввиду неравенства выше это целое число должно быть менее 1/2, что невозможно. Получено противоречие, следовательно иррационально, а значит иррационально тоже.

В 1840 году Лиувилль опубликовал доказательство иррациональности e2[10], следовавшее из доказательства того, что e2 не может быть корнем многочлена второй степени с рациональными коэффициентами[11]. Отсюда следует, что e4 также иррационально. Доказательство Лиувилля аналогично доказательству Фурье. В 1891 году Гурвиц, используя схожие идеи, нашел, что е не может быть корнем многочлена третьей степени с рациональными коэффициентами[12], и, в частности, что e3 иррационально.

Более общо, eq иррационально для любого ненулевого рационального q[13].

Примечания

[править | править код]
  1. Euler, Leonhard (1744). De fractionibus continuis dissertatio [A dissertation on continued fractions] (PDF). Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. 9: 98–137. Архивировано (PDF) 20 мая 2011. Дата обращения: 14 февраля 2021.
  2. Euler, Leonhard (1985). An essay on continued fractions. Mathematical Systems Theory. 18: 295–398. doi:10.1007/bf01699475. hdl:1811/32133. Архивировано 10 сентября 2017. Дата обращения: 14 февраля 2021.
  3. Sandifer, C. Edward. Chapter 32: Who proved e is irrational? // How Euler did it. — Mathematical Association of America, 2007. — P. 185–190. — ISBN 978-0-88385-563-8.
  4. A Short Proof of the Simple Continued Fraction Expansion of e. Дата обращения: 14 февраля 2021. Архивировано 25 января 2021 года.
  5. Cohn, Henry (2006). A short proof of the simple continued fraction expansion of e. American Mathematical Monthly. 113 (1). Mathematical Association of America: 57–62. arXiv:math/0601660. doi:10.2307/27641837. JSTOR 27641837.
  6. de Stainville, Janot. Mélanges d'Analyse Algébrique et de Géométrie. — Veuve Courcier, 1815. — P. 340–341.
  7. MacDivitt, A. R. G.; Yanagisawa, Yukio (1987), An elementary proof that e is irrational, The Mathematical Gazette, 71 (457), London: Mathematical Association: 217, doi:10.2307/3616765, JSTOR 3616765
  8. Penesi, L. L. (1953). Elementary proof that e is irrational. American Mathematical Monthly. 60 (7). Mathematical Association of America: 474. doi:10.2307/2308411. JSTOR 2308411.
  9. Apostol, T. (1974). Mathematical analysis (2nd ed., Addison-Wesley series in mathematics). Reading, Mass.: Addison-Wesley.
  10. Liouville, Joseph (1840). Sur l'irrationalité du nombre e = 2,718…. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 1 (фр.). 5: 192.
  11. Liouville, Joseph (1840). Addition à la note sur l'irrationnalité du nombre e. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 1 (фр.). 5: 193–194.
  12. Hurwitz, Adolf. Über die Kettenbruchentwicklung der Zahl e // Mathematische Werke : [нем.]. — Basel : Birkhäuser, 1933. — Vol. 2. — P. 129–133.
  13. Aigner, Martin; Ziegler, Günter M. (1998), Proofs from THE BOOK (4th ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 27–36, doi:10.1007/978-3-642-00856-6, ISBN 978-3-642-00855-9.