Необходимое и достаточное условия

В другом языковом разделе есть более полная статья Necessity and sufficiency (англ.). Вы можете помочь проекту, расширив текущую статью с помощью перевода

Вкратце: Необходимое — условие, без которого утверждение X заведомо не может быть верным. Достаточное — условие, при выполнении которого утверждение X заведомо верно.

Необходимое условие и достаточное условие — виды условий, логически связанных с некоторым суждением. Различие этих условий используется в логике и математике для обозначения видов связи суждений.

Если импликация ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ является абсолютно истинным высказыванием, то истинность высказывания ${\displaystyle B}$ является необходимым условием для истинности высказывания ${\displaystyle A}$^[1][2].

Необходимыми условиями истинности утверждения А называются условия, без соблюдения которых А не может быть истинным.

Суждение P является необходимым условием суждения X, когда из (истинности) X следует (истинность) P. То есть, если P ложно, то заведомо ложно и X.

Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение P называется свойством (элементов) M.

Если импликация ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ является абсолютно истинным высказыванием, то истинность высказывания ${\displaystyle A}$ является достаточным условием для истинности высказывания ${\displaystyle B}$^[1][2].

Достаточными называются такие условия, при наличии (выполнении, соблюдении) которых утверждение B является истинным.

Суждение P является достаточным условием суждения X, когда из (истинности) P следует (истинность) X, то есть в случае истинности P проверять X уже не требуется.

Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение P называется признаком принадлежности классу M.

Суждение K является необходимым и достаточным условием суждения X, когда K является как необходимым условием X, так и достаточным. В этом случае говорят ещё что K и X равносильны, или эквивалентны, и обозначают ${\displaystyle K\Leftrightarrow X}$ или ${\displaystyle K\leftrightarrow X}$.

Это следует из тождественно истинной формулы, связывающей импликацию и операцию эквиваленции^[3]:

${\displaystyle (X\leftrightarrow Y)\leftrightarrow (X\Rightarrow Y)\land (Y\Rightarrow X)}$

Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение K называется критерием принадлежности классу M.

Вышеперечисленные утверждения о необходимом и достаточном условиях можно наглядно продемонстрировать пользуясь таблицей истинности логических выражений.

Рассмотрим случаи, когда импликация истинна. Действительно, если суждение ${\displaystyle B}$ является необходимым условием для суждения ${\displaystyle A}$, то ${\displaystyle B}$ обязано быть истинно для истинности импликации, в то же время, суждение ${\displaystyle A}$ является достаточным условием суждения ${\displaystyle B}$ значит, что если истинно ${\displaystyle A}$, то ${\displaystyle B}$ обязано быть истинным.

Аналогичные рассуждения работают и обратном случае, когда суждение ${\displaystyle A}$ является необходимым условием для суждения ${\displaystyle B}$ и суждение ${\displaystyle B}$ является достаточным условием суждения ${\displaystyle A}$.

Если ${\displaystyle A}$ является необходимым и достаточным условием ${\displaystyle B}$, как видно из таблицы истинности, оба суждения обязаны быть истинны или оба суждения обязаны быть ложными.

Таблица истинности

A	B	${\displaystyle A\Rightarrow B}$	${\displaystyle A\Leftarrow B}$	${\displaystyle A\Leftrightarrow B}$
0	0	1	1	1
0	1	1	0	0
1	0	0	1	0
1	1	1	1	1

Суждение X: «Вася получает стипендию в данном ВУЗе».
Необходимое условие P: «Вася — учащийся данного ВУЗа».
Достаточное условие Q: «Вася учится в данном ВУЗе без троек».
Следствие R: «Получать стипендию в данном ВУЗе».

Данную формулу можно изобразить в виде условного силлогизма несколькими способами:

1) формулой: (Q → R) ˄ (R → P) → (Q → P) ;

2) официально принятым форматом:

Если Вася учится без троек в данном ВУЗе, то он получает стипендию.
Если Вася получает стипендию, то он — учащийся данного ВУЗа.
— — — — — — — — —
Если Вася учится без троек в данном ВУЗе, то он — учащийся данного ВУЗа.

3) используя обычные речевые рассуждения:

Из того, что Вася — учащийся, ещё не следует, что он получает стипендию. Но это условие необходимо, то есть если Вася не учащийся, то он заведомо не получает стипендии.

Если же Вася учится в вузе без троек, то он заведомо получает стипендию. Тем не менее, студент Вася может получать стипендию (в виде пособия), если он учится с тройками, но, например, имеет хроническое заболевание.

Общее правило выглядит следующим образом:
В импликации A → B:
A — это достаточное условие для B, и
B — это необходимое условие для A.

• Импликация
• Тогда и только тогда

• Эдельман С. Л. Математическая логика. — М.: Высшая школа, 1975. — 176 с.
• Гиндикин С. Г. Алгебра логики в задачах. — М.: Наука, 1972. — 288 с.

• Видео Архивная копия от 15 апреля 2016 на Wayback Machine о необходимом и достаточном условиях
• «Необходимость и достаточность Архивная копия от 10 октября 2019 на Wayback Machine» в учебнике MathIt

В статье есть список источников, но не хватает сносок. Без сносок сложно определить, из какого источника взято каждое отдельное утверждение. Вы можете улучшить статью, проставив сноски на источники, подтверждающие информацию. Сведения без сносок могут быть удалены. (9 мая 2023)