Точечная группа в трёхмерном пространстве Симметрии-инволюции Cs , (*) [ ] = Циклическая симметрия Cnv , (*nn) [n] = Диэдральная симметрия Dnh , (*n22) [n,2] = Группы многогранников , [n,3], (*n32) Тетраэдральная симметрия Td , (*332) [3,3] = Октаэдральная симметрия Oh , (*432) [4,3] = Икосаэдральная симметрия Ih , (*532) [5,3] =
Фундаментальные области икосаэдральной симметрии Футбольный мяч , пример сферического усечённого икосаэдра , имеет полную икосаэдральную симметрию. Правильный икосаэдр имеет 60 вращательных (или сохраняющих ориентацию) симметрий и имеет порядок симметрии [англ.] 120, включая преобразования, которые комбинируют отражение и вращение. Правильный додекаэдр имеет тот же набор симметрий, поскольку он двойственен икосаэдру.
Набор сохраняющих ориентацию симметрий образует группу, которую обозначают A5 (знакопеременная группа на 5 буквах), а полная группа симметрии (включающая отражения) является произведением A5 × {\displaystyle \times } Z2 . Последняя группа известна также как группа Коксетера H3 и представляется в нотации Коксетера [англ.] как [5,3] и имеет диаграмму Коксетера — Дынкина .
Кроме двух бесконечных семейств призматической и антипризматической симметрии, вращательная икосаэдральная симметрия или хиральная икосаэдральная симметрия хиральных объектов и полная икосаэдральная симметрия или ахиральная икосаэдральная симметрия являются дискретными точечными симметриями (или, эквивалентно, симметриями на сфере ) с наибольшей группой симметрии .
Икосаэдральная симметрия не совместима с трансляционной симметрией , так что нет ассоциированных кристаллографических точечных групп или кристаллографических групп .
Задания групп , соответствующие описанным выше:
I : ⟨ s , t ∣ s 2 , t 3 , ( s t ) 5 ⟩ {\displaystyle I:\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle \ } I h : ⟨ s , t ∣ s 3 ( s t ) − 2 , t 5 ( s t ) − 2 ⟩ . {\displaystyle I_{h}:\langle s,t\mid s^{3}(st)^{-2},t^{5}(st)^{-2}\rangle .\ } Это соответствует икосаэдральным группам (вращения и полным), которые являются (2,3,5) группами треугольника .
Первое задание группы дал Гамильтон в 1856 году в своей статье по икосианам [1] .
Заметим, что возможны другие задания, как, например, знакопеременная группа (для I ).
Рёбра сферического соединения пяти октаэдров представляют 15 плоскостей зеркального отражения в виде больших цветных окружностей. Каждый октаэдр может представлять 3 ортогональных плоскостей зеркального отражения по его рёбрам. Пиритоэдральная симметрия является подгруппой с индексом 5 икосаэдральной симметрии, с 3 ортогональными зелёными линиями отражений и 8 красных порядка 3 точек вращения. Поскольку подгруппа имеет индекс 5, имеется 5 других ориентаций пиритоэдральной симметрии.
Группа вращений икосаэдра I имеет порядок 60. Группа I изоморфна группе A 5 , знакопеременной группе чётных перестановок из пяти объектов. Этот изоморфизм может быть реализован путём действия I на различные соединения, в частности на соединение пяти кубов [англ.] (которое вписано в двенадцатигранник ), соединение пяти октаэдров , или одно из двух соединений пяти тетраэдров (которые энантиоморфны и вписаны в двенадцатигранник).
Группа содержит 5 версий T h с 20 версиями D3 (10 осей, 2 на ось), и 6 версий D5 .
Полная икосаэдральная группа Ih имеет порядок 120. I является нормальной подгруппы группы Ih индекса 2. Группа Ih изоморфна I × Z 2 {\displaystyle I\times Z_{2}} , или A 5 × Z 2 {\displaystyle A_{5}\times Z_{2}} , с центральной симметрией , соответствующей (1,-1), где Z 2 записывается мультипликативно.
Ih действует на соединение пяти кубов [англ.] и соединение пяти октаэдров , но −1 действует как тождественный элемент (так как кубы и октаэдры центрально симметричны). Группа действует на соединение десяти тетраэдров — I действует на две хиральные половинки (cоединения пяти тетраэдров ), а −1 обменивает местами две половинки. В частности, она не действует как S5 и эти группы не изоморфны, смотрите ниже.
Группа содержит 10 версий D3d и 6 версий D5d (симметрии аналогичные антирпизимам).
I изоморфна также группе PSL2 (5), но Ih не изоморфна SL2 (5).
Следующие группы имеют порядок 120, но не изоморфны друг другу:
Они соответствуют следующим коротким точным последовательностям (последняя из которых не разбивается) и произведению
1 → A 5 → S 5 → Z 2 → 1 {\displaystyle 1\to A_{5}\to S_{5}\to Z_{2}\to 1} I h = A 5 × Z 2 {\displaystyle I_{h}=A_{5}\times Z_{2}} 1 → Z 2 → 2 I → A 5 → 1 {\displaystyle 1\to Z_{2}\to 2I\to A_{5}\to 1} Иными словами,
A 5 {\displaystyle A_{5}} является нормальной подгруппой группы S 5 {\displaystyle S_{5}} A 5 {\displaystyle A_{5}} является факторгруппой группы I h {\displaystyle I_{h}} , которая является прямым произведением A 5 {\displaystyle A_{5}} является факторгруппой группы 2 I {\displaystyle 2I} Заметим, что A 5 {\displaystyle A_{5}} имеет исключительное [англ.] неприводимое 3-мерное представление (как икосаэдральная группа вращений), но S 5 {\displaystyle S_{5}} не имеет неприводимого 3-мерного представления, соответствующего полной икосаэдральной группе, не являющейся симметрической группой.
Их можно соотнести с линейными группами над конечным полем с пятью элементами, которые представляют собой подгруппы накрывающих групп прямо. Ни одна из них не является полной икосаэдральной группой:
A 5 ≅ PSL ( 2 , 5 ) , {\displaystyle A_{5}\cong \operatorname {PSL} (2,5),} проективная специальная линейная группа ; S 5 ≅ PGL ( 2 , 5 ) , {\displaystyle S_{5}\cong \operatorname {PGL} (2,5),} проективная полная линейная группа ; 2 I ≅ SL ( 2 , 5 ) , {\displaystyle 2I\cong \operatorname {SL} (2,5),} cпециальная линейная группа . Классы сопряжённости I Ih Тождество 12 × {\displaystyle 12\times } вращение на 72°, порядок 5 12 × {\displaystyle 12\times } вращение на 144°, порядок 5 20 × {\displaystyle 20\times } вращение на 120°, порядок 3 15 × {\displaystyle 15\times } вращение на 180°, порядок 2 Отражение 12 × {\displaystyle 12\times } зеркальное отражение с вращением на 108°, порядок 10 12 × {\displaystyle 12\times } зеркальное отражение с вращением на 36°, порядок 10 20 × {\displaystyle 20\times } r зеркальное отражение с вращением на 60°, порядок 6 15 × {\displaystyle 15\times } зеркальное отражение, порядок 2
В контексте вычислений, группа икосаэдральных вращений I {\displaystyle I} , описанная выше, может быть представлена следующими 60 матрицами поворота . Оси вращений соответствуют всем циклическим перестановкам ( ± 1 , 0 , ± ϕ ) {\displaystyle (\pm 1,0,\pm \phi )} , где ϕ = 1 + 5 2 {\displaystyle \phi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} является золотым сечением . Отражение относительно любой плоскости, проходящей через начало координат, дают полную икосаэдральную группу I h {\displaystyle I_{h}} . Все эти матрицы могут быть получены, начав с единичной матрицы, последовательным умножением каждой матрицы в наборе на любые из двух произвольных невырожденных матриц, таких как R 6 {\displaystyle R_{6}} и R 58 {\displaystyle R_{58}} , пока размер множества не перестанет расти.
R 1 = [ − 1 0 0 0 − 1 0 0 0 1 ] {\displaystyle R_{1}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}} R 2 = [ − 1 0 0 0 1 0 0 0 − 1 ] {\displaystyle R_{2}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\\\end{bmatrix}}} R 3 = [ − ϕ 2 − 1 2 ϕ − 1 2 − 1 2 ϕ − 1 2 ϕ 2 − 1 2 ϕ 2 1 2 ϕ ] {\displaystyle R_{3}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}} R 4 = [ − ϕ 2 1 2 ϕ 1 2 − 1 2 ϕ 1 2 − ϕ 2 − 1 2 − ϕ 2 − 1 2 ϕ ] {\displaystyle R_{4}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}} R 5 = [ − ϕ 2 − 1 2 ϕ 1 2 − 1 2 ϕ − 1 2 − ϕ 2 1 2 − ϕ 2 1 2 ϕ ] {\displaystyle R_{5}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}} R 6 = [ − ϕ 2 1 2 ϕ − 1 2 − 1 2 ϕ 1 2 ϕ 2 1 2 ϕ 2 − 1 2 ϕ ] {\displaystyle R_{6}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}} R 7 = [ − ϕ 2 − 1 2 ϕ 1 2 1 2 ϕ 1 2 ϕ 2 − 1 2 ϕ 2 − 1 2 ϕ ] {\displaystyle R_{7}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}} R 8 = [ − ϕ 2 1 2 ϕ − 1 2 1 2 ϕ − 1 2 − ϕ 2 − 1 2 − ϕ 2 1 2 ϕ ] {\displaystyle R_{8}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}} R 9 = [ − ϕ 2 − 1 2 ϕ − 1 2 1 2 ϕ 1 2 − ϕ 2 1 2 − ϕ 2 − 1 2 ϕ ] {\displaystyle R_{9}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}} R 10 = [ − ϕ 2 1 2 ϕ 1 2 1 2 ϕ − 1 2 ϕ 2 1 2 ϕ 2 1 2 ϕ ] {\displaystyle R_{10}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}} R 11 = [ − 1 2 − ϕ 2 − 1 2 ϕ − ϕ 2 1 2 ϕ 1 2 − 1 2 ϕ 1 2 − ϕ 2 ] {\displaystyle R_{11}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}} R 12 = [ − 1 2 ϕ 2 1 2 ϕ − ϕ 2 − 1 2 ϕ − 1 2 − 1 2 ϕ − 1 2 ϕ 2 ] {\displaystyle R_{12}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}} R 13 = [ − 1 2 − ϕ 2 1 2 ϕ − ϕ 2 1 2 ϕ − 1 2 1 2 ϕ − 1 2 − ϕ 2 ] {\displaystyle R_{13}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}} R 14 = [ − 1 2 ϕ 2 − 1 2 ϕ − ϕ 2 − 1 2 ϕ 1 2 1 2 ϕ 1 2 ϕ 2 ] {\displaystyle R_{14}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}} R 15 = [ − 1 2 − ϕ 2 1 2 ϕ ϕ 2 − 1 2 ϕ 1 2 − 1 2 ϕ 1 2 ϕ 2 ] {\displaystyle R_{15}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}} R 16 = [ − 1 2 ϕ 2 − 1 2 ϕ ϕ 2 1 2 ϕ − 1 2 − 1 2 ϕ − 1 2 − ϕ 2 ] {\displaystyle R_{16}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}} R 17 = [ − 1 2 − ϕ 2 − 1 2 ϕ ϕ 2 − 1 2 ϕ − 1 2 1 2 ϕ − 1 2 ϕ 2 ] {\displaystyle R_{17}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}} R 18 = [ − 1 2 ϕ 2 1 2 ϕ ϕ 2 1 2 ϕ 1 2 1 2 ϕ 1 2 − ϕ 2 ] {\displaystyle R_{18}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}} R 19 = [ − 1 2 ϕ − 1 2 ϕ 2 − 1 2 ϕ 2 1 2 ϕ − ϕ 2 − 1 2 ϕ − 1 2 ] {\displaystyle R_{19}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}} R 20 = [ − 1 2 ϕ 1 2 − ϕ 2 − 1 2 − ϕ 2 − 1 2 ϕ − ϕ 2 1 2 ϕ 1 2 ] {\displaystyle R_{20}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}} R 21 = [ − 1 2 ϕ − 1 2 − ϕ 2 − 1 2 ϕ 2 − 1 2 ϕ ϕ 2 1 2 ϕ − 1 2 ] {\displaystyle R_{21}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}} R 22 = [ − 1 2 ϕ 1 2 ϕ 2 − 1 2 − ϕ 2 1 2 ϕ ϕ 2 − 1 2 ϕ 1 2 ] {\displaystyle R_{22}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}} R 23 = [ − 1 2 ϕ − 1 2 − ϕ 2 1 2 − ϕ 2 1 2 ϕ − ϕ 2 − 1 2 ϕ 1 2 ] {\displaystyle R_{23}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}} R 24 = [ − 1 2 ϕ 1 2 ϕ 2 1 2 ϕ 2 − 1 2 ϕ − ϕ 2 1 2 ϕ − 1 2 ] {\displaystyle R_{24}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}} R 25 = [ − 1 2 ϕ − 1 2 ϕ 2 1 2 − ϕ 2 − 1 2 ϕ ϕ 2 1 2 ϕ 1 2 ] {\displaystyle R_{25}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}} R 26 = [ − 1 2 ϕ 1 2 − ϕ 2 1 2 ϕ 2 1 2 ϕ ϕ 2 − 1 2 ϕ − 1 2 ] {\displaystyle R_{26}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}} R 27 = [ 0 0 1 − 1 0 0 0 − 1 0 ] {\displaystyle R_{27}={\begin{bmatrix}0&0&1\\-1&0&0\\0&-1&0\\\end{bmatrix}}} R 28 = [ 0 0 − 1 − 1 0 0 0 1 0 ] {\displaystyle R_{28}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\-1&0&0\\0&1&0\\\end{bmatrix}}} R 29 = [ 0 − 1 0 0 0 1 − 1 0 0 ] {\displaystyle R_{29}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&1\\-1&0&0\\\end{bmatrix}}} R 30 = [ 0 1 0 0 0 − 1 − 1 0 0 ] {\displaystyle R_{30}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\\\end{bmatrix}}} R 31 = [ 0 − 1 0 0 0 − 1 1 0 0 ] {\displaystyle R_{31}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&-1\\1&0&0\\\end{bmatrix}}} R 32 = [ 0 1 0 0 0 1 1 0 0 ] {\displaystyle R_{32}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\\\end{bmatrix}}} R 33 = [ 0 0 − 1 1 0 0 0 − 1 0 ] {\displaystyle R_{33}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\1&0&0\\0&-1&0\\\end{bmatrix}}} R 34 = [ 0 0 1 1 0 0 0 1 0 ] {\displaystyle R_{34}={\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\\\end{bmatrix}}} R 35 = [ 1 2 ϕ − 1 2 − ϕ 2 − 1 2 − ϕ 2 1 2 ϕ − ϕ 2 1 2 ϕ − 1 2 ] {\displaystyle R_{35}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}} R 36 = [ 1 2 ϕ 1 2 ϕ 2 − 1 2 ϕ 2 − 1 2 ϕ − ϕ 2 − 1 2 ϕ 1 2 ] {\displaystyle R_{36}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}} R 37 = [ 1 2 ϕ − 1 2 ϕ 2 − 1 2 − ϕ 2 − 1 2 ϕ ϕ 2 − 1 2 ϕ − 1 2 ] {\displaystyle R_{37}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}} R 38 = [ 1 2 ϕ 1 2 − ϕ 2 − 1 2 ϕ 2 1 2 ϕ ϕ 2 1 2 ϕ 1 2 ] {\displaystyle R_{38}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}} R 39 = [ 1 2 ϕ − 1 2 ϕ 2 1 2 ϕ 2 1 2 ϕ − ϕ 2 1 2 ϕ 1 2 ] {\displaystyle R_{39}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}} R 40 = [ 1 2 ϕ 1 2 − ϕ 2 1 2 − ϕ 2 − 1 2 ϕ − ϕ 2 − 1 2 ϕ − 1 2 ] {\displaystyle R_{40}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}} R 41 = [ 1 2 ϕ − 1 2 − ϕ 2 1 2 ϕ 2 − 1 2 ϕ ϕ 2 − 1 2 ϕ 1 2 ] {\displaystyle R_{41}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}} R 42 = [ 1 2 ϕ 1 2 ϕ 2 1 2 − ϕ 2 1 2 ϕ ϕ 2 1 2 ϕ − 1 2 ] {\displaystyle R_{42}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}} R 43 = [ 1 2 − ϕ 2 1 2 ϕ − ϕ 2 − 1 2 ϕ 1 2 − 1 2 ϕ − 1 2 − ϕ 2 ] {\displaystyle R_{43}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}} R 44 = [ 1 2 ϕ 2 − 1 2 ϕ − ϕ 2 1 2 ϕ − 1 2 − 1 2 ϕ 1 2 ϕ 2 ] {\displaystyle R_{44}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}} R 45 = [ 1 2 − ϕ 2 − 1 2 ϕ − ϕ 2 − 1 2 ϕ − 1 2 1 2 ϕ 1 2 − ϕ 2 ] {\displaystyle R_{45}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}} R 46 = [ 1 2 ϕ 2 1 2 ϕ − ϕ 2 1 2 ϕ 1 2 1 2 ϕ − 1 2 ϕ 2 ] {\displaystyle R_{46}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}} R 47 = [ 1 2 − ϕ 2 − 1 2 ϕ ϕ 2 1 2 ϕ 1 2 − 1 2 ϕ − 1 2 ϕ 2 ] {\displaystyle R_{47}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}} R 48 = [ 1 2 ϕ 2 1 2 ϕ ϕ 2 − 1 2 ϕ − 1 2 − 1 2 ϕ 1 2 − ϕ 2 ] {\displaystyle R_{48}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}} R 49 = [ 1 2 − ϕ 2 1 2 ϕ ϕ 2 1 2 ϕ − 1 2 1 2 ϕ 1 2 ϕ 2 ] {\displaystyle R_{49}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}} R 50 = [ 1 2 ϕ 2 − 1 2 ϕ ϕ 2 − 1 2 ϕ 1 2 1 2 ϕ − 1 2 − ϕ 2 ] {\displaystyle R_{50}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}} R 51 = [ ϕ 2 − 1 2 ϕ 1 2 − 1 2 ϕ 1 2 ϕ 2 − 1 2 − ϕ 2 1 2 ϕ ] {\displaystyle R_{51}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}} R 52 = [ ϕ 2 1 2 ϕ − 1 2 − 1 2 ϕ − 1 2 − ϕ 2 − 1 2 ϕ 2 − 1 2 ϕ ] {\displaystyle R_{52}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}} R 53 = [ ϕ 2 − 1 2 ϕ − 1 2 − 1 2 ϕ 1 2 − ϕ 2 1 2 ϕ 2 1 2 ϕ ] {\displaystyle R_{53}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}} R 54 = [ ϕ 2 1 2 ϕ 1 2 − 1 2 ϕ − 1 2 ϕ 2 1 2 − ϕ 2 − 1 2 ϕ ] {\displaystyle R_{54}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}} R 55 = [ ϕ 2 − 1 2 ϕ − 1 2 1 2 ϕ − 1 2 ϕ 2 − 1 2 − ϕ 2 − 1 2 ϕ ] {\displaystyle R_{55}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}} R 56 = [ ϕ 2 1 2 ϕ 1 2 1 2 ϕ 1 2 − ϕ 2 − 1 2 ϕ 2 1 2 ϕ ] {\displaystyle R_{56}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}} R 57 = [ ϕ 2 − 1 2 ϕ 1 2 1 2 ϕ − 1 2 − ϕ 2 1 2 ϕ 2 − 1 2 ϕ ] {\displaystyle R_{57}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}} R 58 = [ ϕ 2 1 2 ϕ − 1 2 1 2 ϕ 1 2 ϕ 2 1 2 − ϕ 2 1 2 ϕ ] {\displaystyle R_{58}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}} R 59 = [ 1 0 0 0 − 1 0 0 0 − 1 ] {\displaystyle R_{59}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\\\end{bmatrix}}} R 60 = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] {\displaystyle R_{60}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}}
Связь подгрупп Связь хиральных подгрупп Шёнфлис Коксетер [англ.] Орбифолд [англ.] Г-М Структура Циклы Порядок Индекс Ih [5,3] *532 53 2/m A5 × Z 2 {\displaystyle \times Z_{2}} 120 1 D2h [2,2] *222 mmm Dih2 × D i h 1 = D i h 1 3 {\displaystyle \times \mathrm {Dih} _{1}=\mathrm {Dih} _{1}^{3}} 8 15 C5v [5] *55 5m Dih5 10 12 C3v [3] *33 3m Dih3 =S3 6 20 C2v [2] *22 2mm Dih2 =Dih1 2 4 30 Cs [ ] * 2 or m Dih1 2 60 Th [3+ ,4] 3*2 m3 A 4 × Z 2 {\displaystyle A_{4}\times Z_{2}} 24 5 D5d [2+ ,10] 2*5 10 m2 D i h 10 = Z 2 × D i h 5 {\displaystyle \mathrm {Dih} _{10}=Z_{2}\times \mathrm {Dih} _{5}} 20 6 D3d [2+ ,6] 2*3 3 m D i h 6 = Z 2 × D i h 3 {\displaystyle \mathrm {Dih} _{6}=Z_{2}\times \mathrm {Dih} _{3}} 12 10 D 1 d = C 2 h {\displaystyle D_{1d}=C_{2h}} [2+ ,2] 2* 2/m Dih2 =Z2 × D i h 1 {\displaystyle \times \mathrm {Dih} _{1}} 4 30 S10 [2+ ,10+ ] 5 × {\displaystyle 5\times } 5 Z 10 = Z 2 × Z 5 {\displaystyle Z_{10}=Z_{2}\times Z_{5}} 10 12 S6 [2+ ,6+ ] 3 × {\displaystyle 3\times } 3 Z 6 = Z 2 × Z 3 {\displaystyle Z_{6}=Z_{2}\times Z_{3}} 6 20 S2 [2+ ,2+ ] × {\displaystyle \times } 1 Z 2 {\displaystyle Z_{2}} 2 60 I [5,3]+ 532 532 A5 60 2 T [3,3]+ 332 332 A4 12 10 D5 [2,5]+ 522 522 Dih5 10 12 D3 [2,3]+ 322 322 Dih3 =S3 6 20 D2 [2,2]+ 222 222 D i h 2 = Z 2 2 {\displaystyle \mathrm {Dih} _{2}=Z_{2}^{2}} 4 30 C5 [5]+ 55 5 Z 5 {\displaystyle Z_{5}} 5 24 C3 [3]+ 33 3 Z 3 = A 3 {\displaystyle Z_{3}=A_{3}} 3 40 C2 [2]+ 22 2 Z 2 {\displaystyle Z_{2}} 2 60 C1 [ ]+ 11 1 Z 1 {\displaystyle Z_{1}} 1 120
Все эти классы подгрупп сопряжены (то есть все стабилизаторы вершин сопряжены) и допускают геометрическую интерпретацию.
Заметим, что стабилизатор вершины/ребра/грани/многогранника и его противоположный равны.
Стабилизаторы противоположных пар вершин можно интерпретировать как стабилизаторы осей, которые они образуют.
стабилизаторы вершин в I дают циклические группы C 3 стабилизаторы вершин в Ih дают диэдральные группы [англ.] D 3 стабилизаторы противоположных пар вершин в I дают диэдральные группы D 3 стабилизаторы противоположных пар вершин в Ih дают D 3 × ± 1 {\displaystyle D_{3}\times \pm 1} Стабилизаторы противоположных пар рёбер можно интерпретировать как стабилизаторы прямоугольника, который они образуют.
Стабилизаторы рёбер в I дают циклические группы Z 2 Стабилизаторы рёбер в Ih дают четверные группы Клейна Z 2 × Z 2 {\displaystyle Z_{2}\times Z_{2}} стабилизаторы пар рёбер в I дают четверные группы Клейна Z 2 × Z 2 {\displaystyle Z_{2}\times Z_{2}} . Существует 5 из них, задаваемых вращением на 180° в 3 перпендикулярных осях. стабилизаторы пар рёбер в Ih дают Z 2 × Z 2 × Z 2 {\displaystyle Z_{2}\times Z_{2}\times Z_{2}} . Существует 5 таких, и они задаются отражениями относительно 3 перпендикулярных осей. Стабилизаторы противоположных пар граней можно интерпретировать как стабилизаторы антипризмы , которую они порождают.
стабилизаторы граней в I дают циклические группы C 5 стабилизаторы граней в Ih дают диэдральные группы D 5 стабилизаторы противоположных пар граней в I дают диэдральные группы D 5 стабилизаторы противоположных пар граней в Ih дают D 5 × ± 1 {\displaystyle D_{5}\times \pm 1} Для каждого из них есть 5 сопряжённых копий и операция сопряжения образует отображение, фактически, изоморфизм I → ∼ A 5 < S 5 {\displaystyle I{\stackrel {\sim }{\to }}A_{5}<S_{5}} .
стабилизаторы вписанного тетраэдра в I являются копией T стабилизаторы вписанного тетраэдра в Ih являются копией T стабилизаторы вписанных кубов (или противоположные пары тетраэдров или октаэдров) в I являются копиями T стабилизаторы вписанных кубов (или противоположные пары тетраэдров или октаэдров) в Ih являются копиями Th Фундаментальные области для икосаэдральной группы вращений и полная икосаэдральная группа задаются как:
икосаэдральная группа вращенийI Полная икосаэдральная группа I h Грани гекзакисикосаэдра являются фундаментальными областями
В гекзакисикосаэдре одна полная грань является фундаментальной областью. Другие тела с той же симметрией могут быть получены путём настройкой ориентации граней, например, выравниванием выбранного подмножества граней с последующим объединением каждого подмножества в грань, или путём замены каждой грани на несколько граней, или путём создания неплоской поверхности.
Правильный многогранник Тела Кеплера — Пуансо Архимедовы тела {5,3} {5/2,5} {5/2,3} t{5,3} t{3,5} r{3,5} rr{3,5} tr{3,5} Правильный многогранник Тела Кеплера — Пуансо Каталановы тела {3,5} = {5,5/2} = {3,5/2} = V3.10.10 V5.6.6 V3.5.3.5 V3.4.5.4 V4.6.10
Примеры икосоэдральной симметрии
Для промежуточного стояния вещества, называемого жидкими кристаллами , существование икосаэдральной симметрии предположили Х. Кляйнерт и К. Маки[2] и впервые детально проанализировали структуру этих кристаллов. См. обзор статьи здесь . В алюминии икосаэдральную структуру обнаружил тремя годами позже Дан Шехтман , что принесло ему Нобелевскую премию в 2011 году.
Группа симметрий икосаэдра эквивалентна проективной специальной линейной группе PSL(2,5) и является группой симметрии модулярной кривой X(5). Помимо этого, группа PSL(2,p ) является группой симметрии модулярной кривой X(p ). Модулярная кривая X(5) геометрически является двенадцатигранником с каспом в центре каждой грани и имеет соответствующую группу симметрии.
Эту геометрию и ассоциированную группу симметрии изучал Феликс Кляйн как группы монодромии поверхности Белого — римановы поверхности с голоморфным отображением в риманову сферу, разветвлённым в 0, 1 и бесконечности — каспы являются точками на бесконечности, в то время как вершины и центры каждого ребра лежат на 0 и 1. Степень накрытия (число листов) равно 5.
Это возникает из его попыток дать геометрическое обоснование, почему икосаэдральная симметрия появляется в решении уравнения пятой степени в теории из знаменитой статьи Кляйна[3] . Современное описание дано в статье Тота[4] .
Исследования Кляйна продолжились с его открытием симметрий 7 и 11 порядков в статьях 1878-1879 годов[5] [6] (и ассоциированных накрытий степени 7 и 11) и dessins d'enfants [англ.] (так называемых «детских рисунков»), давших первые появления квартик Кляйна [англ.] , ассоциированная геометрия которых имеет мозаику из 24 семиугольников (с каспом в центре каждого семиугольника).
Подобные геометрии случаются для групп PSL(2,n ) и более общих групп для других модулярных кривых.
Более экзотичное проявление, существует особая связь между группами PSL(2,5) (порядка 60), PSL(2,7) (порядка 168) и PSL(2,11) (порядка 660), которые также допускают геометрические интерпретации — PSL(2,5) является симметриями икосаэдра (род 0), PSL(2,7) — квартики Клейна [англ.] (род 3), а PSL(2,11) — поверхности фуллерона (род 70). Эти группы образуют «троицу » в терминологии В. И. Арнольда , что даёт основу для различных связей. См. подробнее в статье «Троицы » .
Также группа симметрий икосаэдра тесно связана с другими группами симметрий правильных многогранников .
↑ Hamilton, 1856 , с. 446. ↑ Kleinert, Maki, 1981 , с. 219–259. ↑ Klein, 1888 . ↑ Tóth, 2002 , с. 66; Section 1.6, Additional Topic: Klein's Theory of the Icosahedron . ↑ Klein, 1878 . ↑ Klein, 1879 . Memorandum respecting a new System of Roots of Unity // Philosophical Magazine . — 1856. — Т. 12 . — С. 446 . Kleinert H. , Maki K. Lattice Textures in Cholesteric Liquid Crystals // Fortschritte der Physik. — 1981. — Т. 29 , вып. 5 . — С. 219–259 . — doi :10.1002/prop.19810290503 . Felix Klein . Ueber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen // Mathematische Annalen. — 1878. — Т. 14 , вып. 3 . — С. 428–471 . — doi :10.1007/BF01677143 . Перевод на английский Felix Klein . Ueber die Transformation elfter Ordnung der elliptischen Functionen (On the eleventh order transformation of elliptic functions) // Mathematische Annalen. — 1879. — Т. 15 , вып. 3—4 . — С. 533–555 . — doi :10.1007/BF02086276 . Oeuvres, Tome 3, pp. 140—165 Felix Klein . Lectures on the Icosahedron and the Solution of Equations of the Fifth Degree. — Trübner & Co., 1888. — ISBN 0-486-49528-0 . Gábor Tóth. Finite Möbius groups, minimal immersions of spheres, and moduli. — New York Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2002. — (Universitext). — ISBN 0-387-95323-X . Peter R. Cromwell. Polyhedra . — Cambridge university press, 1997. — С. 296 . — ISBN 9-521-55432-2 . John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. The Symmetries of Things. — CRC Press, 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5 . Kaleidoscopes: Selected Writings of Coxeter H.S.M. / edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. — Wiley-Interscience Publication, 1995. — ISBN 978-0-471-01003-6 . Johnson N.W. Chapter 11: Finite symmetry groups , 11.5 Spherical Coxeter groups // Geometries and Transformations. — 2018. — ISBN 978-1-107-10340-5 .