Индексное множество

Индексное множество — множество, чьими элементами помечены (индексированы) элементы другого множества^[1][2]. Например, если элементы множества ${\displaystyle A}$ могут быть помечены множеством ${\displaystyle J}$, то ${\displaystyle J}$ является индексным множеством. Индексирование представляет собой сюръективную функцию из ${\displaystyle J}$ в ${\displaystyle A}$, а индексированное множество обычно называется (индексированным) семейством. Это семейство также может быть обозначено как ${\displaystyle \{A_{j}\}_{j\in J}}$.

• Элементы любого конечного множества ${\displaystyle S}$ можно перечислить. Любое такое перечисление можно рассматривать как индексацию ${\displaystyle f:J\to S}$ на индексном множестве ${\displaystyle J=\{1,2,\dots ,|S|\}}$.
• Любое счётное множество может быть проиндексировано множеством натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$.
• Для любого вещественного числа ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$, можно рассмотреть индикаторную функцию ${\displaystyle \mathbf {1} _{r}:\mathbb {R} \to \{0,1\}}$, такую что

${\displaystyle \mathbf {1} _{r}(x):={\begin{cases}0,&{\mbox{если }}x\neq r\\1,&{\mbox{если }}x=r.\end{cases}}}$

Семейство всех функций ${\displaystyle \mathbf {1} _{r}}$ образуют несчётное множество, которое может быть проиндексировано множеством вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

• Семейство (математика)