Категория модулей

Категория модулей ― категория, объекты которой ― правые (левые или двусторонние — по предварительной договорённости) унитарные модули над произвольным ассоциативным кольцом ${\displaystyle A}$ с единицей, а морфизмы ― гомоморфизмы ${\displaystyle A}$-модулей.

Эта категория является важнейшим примером абелевой категории. Более того, для всякой малой абелевой категории существует полное точное вложение в некоторую категорию модулей (это утверждение известно как теорема Фрейда-Митчелла о полном вложении^[англ.]). Свойства категории модулей отражают ряд важных свойств кольца ${\displaystyle A}$, храня в себе много информации о его внутренней структуре, например, о его гомологической размерности^[англ.], факторе по радикалу Джекобсона и даже о его центре (в частности, для коммутативных колец это означает, что всякое из них с точностью до изоморфизма восстанавливается по категории модулей над ним). Категория модулей над коммутативным конечнопорождённым кольцом содержит всю алгебро-геометрическую характеристику аффинной схемы спектра кольца (одна из теорем Серра). Категории модулей также имеют достаточно много инъективных и проективных объектов (то есть у всякого объекта нашей категории есть мономорфизм в инъективный объект и эпиморфизм из проективного объекта), содержат генераторы и когенераторы^[англ.], а также все пределы и копределы, сиречь являются биполными. Компактные объекты^[англ.] в категории модулей есть в точности конечно представленные модули.

Категории модулей над разными кольцами могут быть эквивалентны. В этом случае говорят, что соответствующие кольца Морита-эквивалентны^[англ.]. Например, эквивалентны между собой категории модулей над алгебрами матриц разного порядка, но общим полем. Все они эквивалентны категории пространств над тем же полем. Как было сказано выше, Морита-эквивалентные коммутативные кольца изоморфны.

• Если ${\displaystyle K=\mathbb {Z} }$ ― кольцо целых чисел, то категория модулей есть категория абелевых групп.
• Если ${\displaystyle K=F}$ есть поле, то категория модулей есть категория векторных пространств над ${\displaystyle F}$.

• Фейс К. Алгебра: Кольца, модули, категории, том 1,2. — М.: «Мир», 1977-79, — 688 с.+464 с.
• Каш Ф. Модули и кольца. — М.: «Мир», 1981, — 368 с.
• Ламбек И. Кольца и модули. — М.: «Мир», 1971, — 280 с.

В статье есть список источников, но не хватает сносок. Без сносок сложно определить, из какого источника взято каждое отдельное утверждение. Вы можете улучшить статью, проставив сноски на источники, подтверждающие информацию. Сведения без сносок могут быть удалены. (27 ноября 2021)