Квадратная матрица

В математике квадра́тная ма́трица — это матрица, у которой число строк совпадает с числом столбцов, и это число называется порядком матрицы. Любые две квадратные матрицы одинакового порядка можно складывать и умножать.

Квадратные матрицы часто используются для представления простых линейных отображений — таких, как деформация^[англ.] или поворот. Например, если R — квадратная матрица, представляющая вращение (матрица поворота) и v — вектор-столбец, определяющий положение точки в пространстве, произведение Rv даёт другой вектор, который определяет положение точки после вращения. Если v — вектор-строка, такое же преобразование можно получить, используя vR^T, где R^T — транспонированная к R матрица.

Элементы a_ii (i = 1, …, n) образуют главную диагональ квадратной матрицы. Эти элементы лежат на воображаемой прямой, проходящей из левого верхнего угла в правый нижний угол матрицы^[1]. Например, главная диагональ 4х4 матрицы на рисунке содержит элементы a₁₁ = 9, a₂₂ = 11, a₃₃ = 4, a₄₄ = 10.

Диагональ квадратной матрицы, проходящая через нижний левый и верхний правый углы, называется побочной.

Название	Пример с n = 3
Диагональная матрица	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}}$
Нижняя треугольная матрица	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}}$
Верхняя треугольная матрица	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}}$

Если все элементы вне главной диагонали нулевые, A называется диагональной. Если все элементы над (под) главной диагональю нулевые, A называется нижней (верхней) треугольной матрицей. Треугольная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, называется унитреугольной^[2][3].

Единичная матрица E_n размера n — это n×n матрица, в которой все элементы на главной диагонали равны 1, а остальные элементы равны 0 (часто вместо буквы E используют букву I^[4])^[1]. Таким образом,

${\displaystyle E_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ E_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ E_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}$

Умножение на единичную матрицу оставляет матрицу неизменной:

AE_n = E_nA = A для любой n×n матрицы A.

Квадратная матрица A, совпадающая со своей транспонированной, то есть A = A^T, называется симметричной. Если же A отличается от транспонированной матрицы знаком, то есть A = −A^T, то A называется антисимметричной (или кососимметричной)^[4][5]. В случае комплексных матриц понятие симметрии часто заменяют понятием самосопряжённости, а матрицу, удовлетворяющую равенству A^∗ = A, называют эрмитовой (или самосопряжённой); здесь звёздочкой обозначена операция эрмитова сопряжения, смысл которой — в замене каждого элемента исходной матрицы комплексно сопряжённым числом с последующим транспонированием полученной матрицы^[6][7].

По спектральной теореме для вещественных симметричных матриц и комплексных эрмитовых матриц существуют базисы, состоящие из собственных векторов; таким образом, любой вектор пространства можно представить в виде линейной комбинации собственных векторов. В обоих случаях все собственные значения вещественны^[8]. Эту теорему можно распространить на бесконечномерный случай, когда матрицы имеют бесконечно много строк и столбцов.

Квадратная матрица A называется обратимой или невырожденной, если существует матрица B, такая, что

AB = BA = E^[9][10].

Если матрица B существует, она единственна и называется обратной к A и записывается как A⁻¹.

Положительно определённая	Неопределённая
${\displaystyle {\begin{bmatrix}1/4&0\\0&1/4\\\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1/4&0\\0&-1/4\end{bmatrix}}}$
Q(x,y) = 1/4 x2 + 1/4y2	Q(x,y) = 1/4 x2 − 1/4 y2
Точки, удовлетворяющие уравнению Q(x,y) = 1 (Эллипс).	Точки, удовлетворяющие уравнению Q(x,y) = 1 (Гипербола).

Симметричная n×n матрица называется положительно определённой (соответственно, отрицательно определённой или неопределённой), если для всех ненулевых векторов x ∈ Rⁿ соответствующая квадратичная форма

Q(x) = x^TAx

принимает только положительные значения (соответственно, отрицательные значения или и те, и другие). Если квадратичная форма принимает только неотрицательные (соответственно, только неположительные) значения, симметричная матрица называется положительно полуопределённой (соответственно, отрицательно полуопределённой). Матрица будет неопределённой, если она ни положительно, ни отрицательно полуопределена^[11].

Симметричная матрица положительно определена тогда и только тогда, когда все её собственные значения положительны^[12]. Таблица справа показывает два возможных случая для матриц 2×2.

Если использовать два различных вектора, получим билинейную форму, связанную с A:

B_A (x, y) = x^TAy^[13].

Ортогональная матрица — это квадратная матрица с вещественными элементами, столбцы и строки которой являются ортогональными единичными векторами (то есть ортонормальными). Можно также определить ортогональную матрицу как матрицу, обратная для которой равна транспонированной^[7]:

${\displaystyle A^{\mathrm {T} }=A^{-1},}$

откуда вытекает

${\displaystyle A^{T}A=AA^{T}=E}$,

где E — единичная матрица.

Ортогональная матрица A всегда обратима (A⁻¹ = A^T), унитарна (A⁻¹ = A*), и нормальна (A*A = AA*). Определитель любой ортогональной матрицы равен либо +1, либо −1^[14]. Умножение на ортогональную матрицу задаёт такое линейное преобразование арифметического пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, которое в случае матрицы с определителем +1 является простым поворотом, а в случае матрицы с определителем −1 является либо простым отражением, либо суперпозицией отражения и поворота.

Комплексным аналогом ортогональной матрицы является унитарная матрица.

Следом квадратной матрицы A (tr(A)) называется сумма элементов главной диагонали. В то время как умножение матриц, вообще говоря, не коммутативно, след произведения двух матриц не зависит от порядка сомножителей:

tr(AB) = tr(BA).

Это непосредственно вытекает из определения произведения матриц:

${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {tr} ({\mathsf {AB}})=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}A_{ij}B_{ji}=\operatorname {tr} ({\mathsf {BA}}).}$

Также след матрицы равен следу транспонированной к ней, то есть

tr(A) = tr(A^T).

Определитель det(A) или |A| квадратной матрицы A — это число, определяющее некоторые свойства матрицы. Матрица обратима тогда и только тогда, когда её определитель ненулевой. Абсолютная величина определителя равна площади (в R²) или объёму (в R³) образа единичного квадрата (или куба), в то время как знак определителя соответствует ориентации соответствующего отображения — определитель положителен в том и только в том случае, когда ориентация сохраняется.

Определитель 2×2 матриц вычисляется по формуле

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.}$

Определитель матриц 3×3 использует 6 произведений (правило Сарруса). Более длинная формула Лейбница обобщает эти две формулы на все размерности^[15].

Определитель произведения матриц равен произведению определителей сомножителей:

det(AB) = det(A) • det(B)^[16].

Добавление любой строки с коэффициентом к другой строке, или любого столбца с коэффициентом к другому столбцу не изменяет определителя. Обмен местами двух строк или столбцов приводит к изменению знака определителя^[17]. Используя эти операции, любую матрицу можно привести к нижней (или верхней) треугольной матрице, а для таких матриц определитель равен произведению элементов главной диагонали, что даёт способ вычисления определителя любой матрицы. Наконец, теорема Лапласа выражает определитель в терминах миноров, то есть определителей меньших матриц^[18]. Эта теорема даёт возможность рекурсивного вычисления определителей (начав с определителя матрицы 1×1, или даже с определителя матрицы 0×0, который равен 1), что можно рассматривать как эквивалент формуле Лейбница. Определители можно использовать для решения линейных систем с помощью метода Крамера^[19].

Число λ и ненулевой вектор v, удовлетворяющие уравнению

Av = λv,

называются собственным значением и собственным вектором матрицы A соответственно^[20]. Число λ является собственным числом n×n матрицы A в том и только в том случае, когда A−λE не имеет обратной, что эквивалентно

${\displaystyle \det({\mathsf {A}}-\lambda {\mathsf {E}})=0.\ }$^[20]

Многочлен p_A от неизвестного^[англ.] X, получаемый как определитель det(XE−A), называется характеристическим многочленом матрицы A. Это нормированный многочлен степени n. Таким образом, уравнение p_A(λ) = 0 имеет максимум n различных решений, то есть собственных значений матрицы^[21]. Эти значения могут быть комплексными, даже если все элементы матрицы A вещественны. Согласно теореме Гамильтона — Кэли, p_A(A) = 0, то есть при подстановке самой матрицы в характеристический многочлен, получим нулевую матрицу^[22].

• Беллман Р. . Введение в теорию матриц. 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 352 с.
• Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. . Матрицы и вычисления. — М.: Наука, 1984. — 320 с.
• Гантмахер Ф. Р. . Теория матриц. 4-е изд. — М.: Наука, 1988. — 552 с. — ISBN 5-02-013722-7.
• Икрамов Х. Д. . Несимметричная проблема собственных значений. Численные методы. — М.: Наука, 1991. — 240 с. — ISBN 5-02-014462-2.
• Победря Б. Е. . Лекции по тензорному анализу. 3-е изд. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986. — 264 с.
• Хорн Р., Джонсон Ч. . Матричный анализ. — М.: Мир, 1989. — 655 с. — ISBN 5-03-001042-4.
• Brown, William C. . Matrices and Vector Spaces. — New York: Marcel Dekker, 1991. — viii + 328 p. — ISBN 978-0-8247-8419-5.
• Mirsky, Leonid. . An Introduction to Linear Algebra. — New York: Dover Publications, 1990. — viii + 440 p. — ISBN 978-978-0-486-66434-7.