Отношение эквивалентности

Отношение эквивалентности — бинарное отношение между элементами данного множества, свойства которого сходны со свойствами отношения равенства.

Определение

[править | править код]

Отношение эквивалентности () на множестве  — это бинарное отношение, для которого при любых из выполнены следующие условия:

  1. рефлексивность: ;
  2. симметричность: если , то ;
  3. транзитивность: если и , то .

Запись вида «» читается как « эквивалентно ».

Связанные определения

[править | править код]

Классом эквивалентности элемента называется подмножество элементов, эквивалентных ; то есть,

.

Из вышеприведённого определения немедленно следует, что если , то .

Фактормножество — множество всех классов эквивалентности заданного множества по заданному отношению , обозначается .

Для класса эквивалентности элемента используются следующие обозначения: , , .

Множество классов эквивалентности по отношению является разбиением множества.

Классы эквивалентности

[править | править код]

Множество всех классов эквивалентности, отвечающее отношению эквивалентности , обозначается символом и называется фактормножеством относительно . При этом сюръективное отображение

называется естественным отображением (или канонической проекцией) на фактормножество .

Пусть и  — множества,  — отображение, тогда бинарное отношение , определённое правилом

,

является отношением эквивалентности на . При этом отображение индуцирует отображение , определяемое правилом

или, что то же самое,

.

При этом получается факторизация отображения на сюръективное отображение и инъективное отображение .

Литература

[править | править код]
  • А. И. Кострикин, Введение в алгебру. М.: Наука, 1977, 47—51.
  • А. И. Мальцев, Алгебраические системы, М.: Наука, 1970, 23—30.
  • Отношение типа равенства (отношение эквивалентности) // Большая Советская энциклопедия (в 30 т.) / А. М. Прохоров (гл. ред.). — 3-е изд. — М.: Советская энциклопедия, 1974. — Т. XVIII. — С. 629. — 632 с.