Коприсоединённое представление
группы Ли
— это представление, сопряжённое[англ.] к присоединённому. Если
— алгебра Ли группы
, соответствующее действие
на пространстве
, сопряжённом к
, называется коприсоединённым действием. С геометрической точки зрения оно представляет собой действие левыми сдвигами на пространстве правоинвариантных 1-форм на
.
Важность коприсоединённого представления была подчёркнута в работах А. А. Кириллова, показавшего, что ключевую роль в теории представлений нильпотентных групп Ли
играет понятие орбиты коприсоединённого представления (К-орбиты). В методе орбит[англ.] Кириллова представления
строятся геометрически, отталкиваясь от К-орбит. В некотором смысле последние заменяют собой классы сопряжённости
, которые могут быть устроены сложным образом, в то время как работать с орбитами сравнительно просто.
Пусть
— группа Ли и
— её алгебра Ли,
— присоединённое представление
. Тогда коприсоединённое представление
определяется как
. Более точно,
![{\displaystyle \langle \mathrm {Ad} _{g}^{*}f,\,X\rangle =\langle f,\,\mathrm {Ad} _{g^{-1}}X\rangle ,\qquad g\in G,\quad X\in {\mathfrak {g}},\quad f\in {\mathfrak {g}}^{*},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d76b190fd1b274cd029dad655a47f4d7c04e194)
где
— значение линейного функционала
на векторе
.
Пусть
— представление алгебры Ли
в
, индуцированное коприсоединённым представлением группы Ли
. Тогда для
справедливо равенство
, где
— присоединённое представление алгебры Ли
. Это заключение может быть сделано исходя из инфинитезимальной формы приведённого выше определяющего уравнения для
:
![{\displaystyle \langle \mathrm {ad} _{X}^{*}f,\,Y\rangle :=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle \mathrm {Ad} _{\exp(tX)}^{*}f,\,Y\rangle \right|_{t=0}=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle f,\,\mathrm {Ad} _{\exp(-tX)}Y\rangle \right|_{t=0}=\langle f,\,-\mathrm {ad} _{X}Y\rangle ,\qquad X,Y\in {\mathfrak {g}},\quad f\in {\mathfrak {g}}^{*},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88a619412f45b7f4c3fa7543140d6e12318eda0d)
где
— экспоненциальное отображение[англ.] из
в
.
Пусть
— дифференцируемая функция на
. Рассмотрим изменение функции
при коприсоединённом действии однопараметрической подгруппы
в направлении вектора
и продифференцируем его в единице группы:
| (1) |
Здесь
— градиент функции
, который естественным образом отождествляется с элементом алгебры
. Выберем некоторый базис
в алгебре
и пусть
— взаимный ему базис в
, то есть
,
, где
— символ Кронекера. Выберем в качестве
базисный вектор
. Тогда равенство (1) приобретает вид
![{\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} \varphi (\mathrm {Ad} _{\exp(-te_{i})}^{*}f)}{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}=C_{ij}^{k}f_{k}{\frac {\partial \varphi (f)}{\partial f_{j}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f60486d53fb3ca60d8bf1d38533d0eae0f17f71)
(по дважды повторяющимся индексам здесь и ниже подразумевается суммирование), откуда видно, что в качестве базиса генераторов коприсоединённого действия можно выбрать набор векторных полей
,
где
— структурные константы[англ.] алгебры
.
Инварианты[англ.]
коприсоединённого действия удовлетворяют системе дифференциальных уравнений
| (2) |
Определим антисимметричную билинейную форму
на
посредством равенства
.
Количество независимых уравнений в системе (2) равно
. Её решения в окрестности точки общего положения (то есть точки, в которой ранг формы
максимален) называются функциями Казимира алгебры
. Число функционально независимых нетривиальных (не тождественно постоянных) функций Казимира называется индексом алгебры
и равно
.
Так как ранг антисимметричной формы чётен, то чётности индекса и размерности алгебры всегда совпадают.
Помимо функций Казимира
,
, определённых в точках общего положения пространства
, могут существовать инварианты, заданные на особых подмногообразиях коприсоединённого действия, на которых ранг формы
ниже максимального. Если на особом инвариантном побмногообразии
ранг формы
равен
,
, то непостоянные решения
системы (2), ограниченной на подмногообразие
, называются функциями Казимира типа
. Совокупность независимых функций
образует базис инвариантов коприсоединённого действия: любой инвариант может быть выражен как функция от элементов этого набора. Из вида системы (2) следует, что базис инвариантов всегда может быть составлен из однородных функций от компонент ковектора
.
Орбита коприсоединённого представления, или, коротко, К-орбита,
, проходящая через точку
в сопряжённом пространстве
к алгебре Ли
, может быть определена как орбита
, или, эквивалентно, как однородное пространство
, где
— стабилизатор точки
относительно коприсоединённого действия группы
.
Орбиты общего положения имеют максимально возможную размерность, равную
, и называются невырожденными, или регулярными. Такие орбиты определяются через произвольный набор независимых функций Казимира уравнениями
![{\displaystyle K_{\mu }(f)=\kappa _{\mu },\qquad \mu =1,...,\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cddf976c27bbc6ecf66002bb6cb88cf40235a2ad)
Аналогично вырожденные, или сингулярные, орбиты размерности
, составляющие особые инвариантные подмногообразия
, определяются уравнениями
![{\displaystyle K_{\mu }^{(s)}(f)=\kappa _{\mu }^{(s)},\qquad \mu =1,...,r_{s},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84b16efa2c87dd2f516feb250c2fee8e74067bd6)
где
— количество независимых функций Казимира типа
. Если функции Казимира однозначны, каждому набору постоянных
соответствует счётное (как правило, конечное) число орбит. Ковекторы, принадлежащие (не)вырожденной орбите, также называют (не)вырожденными.
Орбиты коприсоединённого представления являются подмногообразиями чётной размерности в
и обладают естественной симплектической структурой. На каждой орбите
существует замкнутая невырожденная
-инвариантная 2-форма
, которая строится следующим образом. Пусть
— определённая выше антисимметричная билинейная форма на
. Тогда можно определить
посредством равенства
.
Существование, невырожденность и
-инвариантность
вытекают из следующих фактов:
- Касательное пространство
может быть отождествлено с
, где
— алгебра Ли группы
.
- Ядро отображения
есть в точности
.
инвариантно относительно действия
.
Кроме того, форма
замкнута. Каноническую 2-форму
называют формой Кириллова, Кириллова — Костанта[англ.] или Кириллова — Костанта — Сурио.
К-орбита
называется целочисленной, если форма Кириллова принадлежит целочисленному классу когомологий, то есть её интеграл по любому двумерному циклу
в
равен целому числу:
.
Целочисленные орбиты играют центральную роль при построении неприводимых представлений групп Ли методом орбит.
Форма
снабжает пространство
структурой Пуассонова многообразия[англ.] со скобкой Ли — Пуассона
,
являющейся вырожденной скобкой Пуассона: из вида генераторов коприсоединённого действия очевидно, что функции Казимира (и только они) коммутируют относительно неё с любой функцией на
. Ограничение этой скобки на орбиты коприсоединённого представления, называемое скобкой Березина[1], невырожденно и совпадает со скобкой Пуассона
, порождаемой формой Кириллова:
.
Здесь
— гамильтоново векторное поле с гамильтонианом
.
- Коприсоединённое действие на К-орбите
являетсяa гамильтоновым
-действием[англ.] с отображением момента[англ.]
. - Если для орбиты
существует поляризация, то вложение
может быть реализовано функциями
, линейными по
переменным
, где
— канонические координаты для формы Кириллова на орбите
.[2][3]
Алгебра Ли
группы
движений евклидовой плоскости определяется коммутационными соотношениями
![{\displaystyle [e_{1},\,e_{2}]=0,\qquad [e_{1},\,e_{3}]=e_{2},\qquad [e_{2},\,e_{3}]=-e_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f28f658dbd587d35038f24903e4bf5131d1373f1)
(коммутирующие элементы
и
соответствуют трансляциям плоскости в направлении двух координатных осей, а элемент
— вращению вокруг некоторой точки; таким образом, группа
трёхмерна). Соответственно, матрица формы
имеет вид
![{\displaystyle (B_{f})={\begin{pmatrix}0&0&f_{2}\\0&0&-f_{1}\\-f_{2}&f_{1}&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c297d8402d1c8cdbbfd0dba3fb06f3867b88da7)
Её ранг равен двум всюду, кроме прямой
, представляющей собой особое инвариантное подмногообразие
коприсоединённого действия группы
на
, поэтому невырожденные К-орбиты двумерны. По генераторам этого действия
![{\displaystyle {\hat {X}}_{1}=f_{2}{\frac {\partial }{\partial f_{3}}},\qquad {\hat {X}}_{2}=-f_{1}{\frac {\partial }{\partial f_{3}}},\qquad {\hat {X}}_{3}=-f_{2}{\frac {\partial }{\partial f_{1}}}+f_{1}{\frac {\partial }{\partial f_{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/643378ec78945e093a1f97e5fd7871c69736a033)
выписываются два независимых уравнения
,
определяющие единственную функцию Казимира. Неособые многообразия её уровня
,
каждое из которых состоит из одной орбиты, представляют собой цилиндры с общей осью
. Особое многообразие уровня (
) совпадает с
и состоит из (нульмерных) сингулярных орбит
,
. Форма Кириллова
![{\displaystyle \omega _{\mathcal {O}}={\frac {\mathrm {d} f_{3}\wedge \mathrm {d} f_{2}}{f_{1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee2be3dfcba65c149578bc414d80f022c75004f0)
приводится к каноническому виду
в цилиндрических координатах, ограниченных на фиксированную орбиту
:
.
Заметим, что переход к каноническим переменным в данном случае линеен по
. Возможность линейного по «импульсу»
-
-перехода гарантируется наличием в
двумерной подалгебры трансляций, натянутой на векторы
,
, являющейся в силу своей коммутативности поляризацией для любой невырожденной К-орбиты.
— (трёхмерная) группа вращений трёхмерного евклидова пространства. Коммутационные соотношения в её алгебре Ли
![{\displaystyle [e_{1},\,e_{2}]=e_{3},\qquad [e_{1},\,e_{3}]=-e_{2},\qquad [e_{2},\,e_{3}]=e_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eae7981e70eb2cf860471c3368d3534d7cdd344a)
(каждый базисный вектор соответствует генератору вращения в одной из трёх взаимно перпендикулярных плоскостей) определяют вид матрицы формы
:
.
Из трёх генераторов коприсоединённого представления в каждой точке
линейно независимы только два, поэтому несингулярные орбиты двумерны. Они представляют собой концентрические сферы
,
с центром в начале координат. Особое подмногообразие
состоит из одной точки
, так как только в ней все три генератора становятся нулевыми.
Поскольку в алгебре
нет двумерных подалгебр, то регулярные ковекторы не имеют поляризаций, соответственно, вложение регулярных орбит в пространство
не может быть реализовано функциями, линейными по каноническим
-переменным для формы Кириллова
.
Однако (комплексные) двумерные подалгебры, подчинённые невырожденным ковекторам, имеются в
, комплексификации алгебры
. Например, для ковектора
таковой является подалгебра
, поэтому такое вложение оказывается возможным посредством переменных, принимающих комплексные значения:
.
Легко проверить, что этим преобразованием форма
действительно приводится к каноническому виду.