Силовые линии векторного поля

Силова́я ли́ния, или ли́ния по́ля, или интегра́льная крива́я, — кривая, касательная к которой в любой точке сонаправлена с вектором поля в данной точке^[1][2][3]. Служит для графического представления векторных полей.

Кривая задаётся параметрически как ${\displaystyle \mathbf {r} (s)}$ (${\displaystyle \mathbf {r} }$ − радиус-вектор, ${\displaystyle s}$ − параметр) и удовлетворяет дифференциальному уравнению

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} (s)}{ds}}={\mathbf {F} (\mathbf {r} (s)) \over |\mathbf {F} (\mathbf {r} (s))|}}$

с условием ${\displaystyle \mathbf {r} (0)=\mathbf {r} _{\text{0}}}$, где ${\displaystyle \mathbf {F} }$ — рассматриваемое поле.

Рисунок, показывающий совокупность интегральных линий, иногда называют диаграммой или изображением векторного поля. Подобные изображения используются в электродинамике, гидродинамике, в анализе гравитационных полей и других сферах. Если векторное поле описывает течение некоторой среды, скажем, жидкости, газа, электрического тока, то интегральные кривые такого поля принято называть линиями тока.

Построение семейства силовых линий является способом визуализации векторных полей, которые сложно наглядно изобразить каким-либо другим образом. При корректном построении плотность числа линий вблизи конкретной точки пропорциональна величине поля. Вопрос о количестве линий лишён смысла — их столько, сколько нанесёт автор чертежа. В области сравнительно больших полей соседние линии приближаются друг к другу (происходит «сгущение»), а в области слабых полей отдаляются.

Иногда наносятся стрелки, помечающие направление вектора поля. Если силовая линия перпендикулярна плоскости рисунка, то её направление изображается либо крестиком в кружочке (если поле направлено за рисунок), либо точкой в кружочке (если оно направлено к читателю) — как вид стрелы лука со стороны оперения и со стороны наконечника. Вектор физического силового поля обычно называется напряжённостью поля.

Так как поле — однозначная функция координат, через каждую точку может проходить только одна силовая линия, за исключением особых точек, где направление вектора поля неопределённо. Некоторые физические поля имеют свои особые точки, проявляющиеся в изображении интегральных кривых. В частности, точечный электрический заряд является центром, в котором сходятся или из которого расходятся силовые линии. Примером иного типа особой точки служит точка, лежащая посередине между двумя равными зарядами.

Электрическое поле описывается уравнениями Максвелла

${\displaystyle \mathrm {rot} ~\mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}},\quad \mathrm {div} ~\mathbf {D} =\rho }$,

где ${\displaystyle \mathbf {E} }$ — вектор напряжённости электрического поля, ${\displaystyle \mathbf {B} }$ — вектор магнитной индукции, ${\displaystyle \mathbf {D} }$ — вектор индукции электрического поля, ${\displaystyle \rho }$ — плотность электрического заряда.

Электрическое поле может быть как потенциальным, так и вихревым (возникающим за счёт явления электромагнитной индукции), или комбинацией этих двух случаев.

Потенциальное электрическое поле имеет интегральные кривые, которые начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных зарядах или уходят в бесконечность. Согласно закону Кулона сила, действующая на пробный заряд, будет направлена по касательной к интегральной кривой^[4][5]. Силовые линии вихревого поля всегда замкнуты, их густота в точке пространства определена значением производной по времени магнитной индукции в этой точке, а направление определяется правилом буравчика.

В опытах силовые линии электрического поля могут быть наглядно визуализированы при помощи суспензий диэлектрических порошков в диэлектрических жидкостях.

Согласно уравнениям Максвелла,

${\displaystyle \mathrm {div} ~\mathbf {B} =0,\quad \mathrm {rot} ~\mathbf {H} ={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {j} }$,

где ${\displaystyle \mathbf {H} }$ — напряжённость магнитного поля, ${\displaystyle \mathbf {j} }$ — вектор плотности электрического тока.

В природе неизвестны магнитные монополи, поэтому магнитное поле может возникать лишь в результате изменения вектора электрической индукции (первое слагаемое в правой части 2-го уравнения) и протекания электрического тока (второе слагаемое в правой части 2-го уравнения).

Первое уравнение гласит, что дивергенция магнитного поля всегда равна нулю, то есть поле является вихревым и поэтому его силовые линии (линии магнитной индукции) всегда замкнуты, или иными словами магнитное поле не имеет ни источников, ни стоков.

В опытах силовые линии магнитного поля могут быть наглядно визуализированы при помощи ферромагнитных порошков либо суспензий их в жидкости.

В гравитационном поле силовые линии начинаются в бесконечности и заканчиваются на обладающих массой телах.

Гравитационное поле неподвижной системы тел в ньютоновском приближении является потенциальным. Но если тела совершают движение, например, вращаются друг вокруг друга как кратные звёзды, то гравитационное поле в инерциальной системе отсчёта перестаёт быть потенциальным.

Силовые линии векторного поля, описывающие мгновенное поле скоростей частиц жидкости или газа, называют линиями тока. Совокупность линий тока изображает картину течения в некоторый момент времени. Для случая стационарного течения линии тока совпадают с траекториями частиц.

Система дифференциальных уравнений, описывающих линию тока:

${\displaystyle {\frac {dx}{F_{x}}}={\frac {dy}{F_{y}}}={\frac {dz}{F_{z}}}}$,

где ${\displaystyle F_{x},\ F_{y},\ F_{z}}$ — компоненты вектора поля скоростей, ${\displaystyle x,\ y,\ z}$ — координаты. (Эта система^[6] согласуется с уравнением из преамбулы, если последнее расписать в проекциях: ${\displaystyle dx/ds=F_{x}/|\mathbf {F} |}$, откуда ${\displaystyle dx/F_{x}=ds/|\mathbf {F} |}$, и то же самое для ${\displaystyle y}$- и ${\displaystyle z}$- составляющих.)

Линии тока течения жидкостей и газов могут быть визуализированы с помощью взвешенных частиц, внесённых в поток, например, алюминиевой пудры в жидкости или пыли в газе^[7].

Пучок линий тока, выходящих из замкнутой кривой, не лежащей ни одной своей частью вдоль любой линии тока, образует трубку тока.

Также линии тока описывают в сплошной среде перемещение электрических зарядов — токи в электрических проводах и потоки энергии в полях вектора Умова — Пойнтинга.

По известному векторному полю ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}$ можно построить силовую (интегральную) линию, проходящую через заданную точку с радиус-вектором ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$. Единичный вектор ${\displaystyle \mathbf {\tau } }$, касательный к линии и сонаправленный с вектором поля, выражается в этой точке как ${\displaystyle \mathbf {\tau } =\mathbf {F} (\mathbf {r} _{\text{0}})/|\mathbf {F} (\mathbf {r} _{\text{0}})|}$.

При перемещении на небольшое расстояние ${\displaystyle \Delta s}$ вдоль направления поля можно найти новую точку на линии:

${\displaystyle \mathbf {r} _{\text{1}}=\mathbf {r} _{\text{0}}+{\mathbf {F} (\mathbf {r} _{\text{0}}) \over |\mathbf {F} (\mathbf {r} _{\text{0}})|}\Delta s}$.

Продолжая подобный процесс, получаем итерационную формулу для точек, принадлежащих линии:

${\displaystyle \mathbf {r} _{\text{i+1}}=\mathbf {r} _{\text{i}}+{\mathbf {F} (\mathbf {r} _{\text{i}}) \over |\mathbf {F} (\mathbf {r} _{\text{i}})|}\Delta s}$.

Проведение кривой через полученные точки даст приближённое изображение искомой линии. Если уменьшать приращение длины ${\displaystyle \Delta s}$ и увеличивать число шагов итерации, то точность нахождения линии будет увеличиваться. Назначая приращение ${\displaystyle \Delta s}$ отрицательным, можно построить линию в обратную сторону от заданной точки. По сути, выше описан алгоритм численного решения уравнения из преамбулы.

Нередко требуется не вычислить одну интегральную кривую, а представить совокупность кривых.

Так как поле трёхмерно, а рисунок выполняется на листе бумаги, картину линий поля можно расчертить не во всех случаях, а только если вектор ${\displaystyle \mathbf {F} }$ в выбранном сечении всюду лежит в нём. Скажем, можно изобразить линии поля двух точечных зарядов в содержащей их плоскости, но нельзя в плоскости, проходящей «мимо». Наносить много силовых линий неудобно и бессмысленно. Их либо рисуют в представляющей наибольший интерес области, либо (если цель в общей демонстрации) изображают таким образом, чтобы густота линий была пропорциональна полю. В последнем случае возникает вопрос выбора стартовых точек ${\displaystyle \mathbf {r} _{\text{0}}}$ для запуска алгоритма. Единого подхода нет, но в простых случаях можно «расставить» эти точки вблизи источника поля. Так, возможна расстановка равноплотно на небольшом расстоянии от точечного заряда в проходящей через заряд плоскости, или вдоль диаметра кольца с током с учётом значений магнитного поля в содержащей этот диаметр плоскости симметрии кольца^[8].

Как правило, расчёт силовых линий требует применения численных методов. Но в ряде специально подобранных в учебных целях примеров^[6] линии поля можно получить путём решения системы дифференциальных уравнений, упоминавшейся в разделе о линиях тока➤.

• Силовые линии — Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.
• Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). — Prentice Hall, 1998. — P. 65–67 and 232. — ISBN 978-0-13-805326-0.

• Метод силовых линий