Логарифмический признак сходимости

Логарифмический признак сходимости — признак сходимости числовых рядов с положительными членами.

Фактически этот признак сходимости сводится к сравнению исследуемого на сходимость ряда с обобщённым гармоническим рядом (рядом Дирихле)

Ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ с положительными членами ${\displaystyle a_{n}>0}$ сходится, если существует ${\displaystyle N}$ такое, что для всякого ${\displaystyle n\geqslant N}$ выполняется неравенство:

${\displaystyle L_{n}={\frac {\ln {\frac {1}{a_{n}}}}{\ln n}}\geqslant 1+\delta ,}$

где ${\displaystyle \delta >0}$ не зависит от ${\displaystyle n}$.

Если же ${\displaystyle \exists N\colon \forall n\geqslant N\quad L_{n}\leqslant 1-\delta }$, где ${\displaystyle \delta >0}$, то ряд расходится.

А если же ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }L_{n}=1}$, то ничего определенного о сходимости или расходимости сказать нельзя^[1].

Если существует предел:

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }L_{n}}$

то при ${\displaystyle L>1}$ ряд сходится, а при ${\displaystyle L<1}$ — расходится.

• Логарифмичекский признак сходимости — статья из Математической энциклопедии

Для улучшения этой статьи желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное. Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение). После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.