Остановленное броуновское движение как пример мартингала Мартинга́л (также мартинге́йл в теории вероятности) в теории случайных процессов — такой случайный процесс , что наилучшим (среднеквадратичным) предсказанием поведения процесса в будущем является его настоящее состояние.
Последовательность случайных величин { X n } n ∈ N {\displaystyle \{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} называется мартинга́лом с дискре́тным вре́менем , если E | X n | < ∞ , n ∈ N {\displaystyle {\mathsf {E}}|X_{n}|<\infty ,\quad n\in \mathbb {N} } ; E [ X n + 1 ∣ X 1 , … , X n ] = X n , n ∈ N {\displaystyle {\mathsf {E}}[X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}]=X_{n},\quad n\in \mathbb {N} } . Пусть дана другая последовательность случайных величин { Y n } n ∈ N {\displaystyle \{Y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} . Тогда последовательность случайных величин { X n } n ∈ N {\displaystyle \{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} называется мартингалом относительно { Y n } {\displaystyle \{Y_{n}\}} или { Y n } {\displaystyle \{Y_{n}\}} -мартингалом, если E | X n | < ∞ , n ∈ N {\displaystyle {\mathsf {E}}|X_{n}|<\infty ,\quad n\in \mathbb {N} } ; E [ X n + 1 ∣ Y 1 , … , Y n ] = X n , n ∈ N {\displaystyle {\mathsf {E}}[X_{n+1}\mid Y_{1},\ldots ,Y_{n}]=X_{n},\quad n\in \mathbb {N} } . Пусть есть вероятностное пространство ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )} с заданной на нём фильтрацией { F t } t ∈ T {\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\in T}} , где T ⊂ R {\displaystyle T\subset \mathbb {R} } . Тогда случайный процесс { X t } t ∈ T {\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in T}} называется мартингалом относительно { F t } {\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}} , если
X t {\displaystyle X_{t}} измерима относительно F t {\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}} для любого t ∈ T {\displaystyle t\in T} . E | X t | < ∞ , t ∈ T {\displaystyle {\mathsf {E}}|X_{t}|<\infty ,\quad t\in T} . E [ X t ∣ F s ] = X s {\displaystyle {\mathsf {E}}[X_{t}\mid {\mathcal {F}}_{s}]=X_{s}} почти наверное , ∀ s , t ∈ T , s ≤ t {\displaystyle \quad \forall s,t\in T,\;s\leq t} .[1] Если в качестве { F t } {\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}} взята естественная фильтрация F t = σ { X s ∣ s ≤ t } {\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}=\sigma \{X_{s}\mid s\leq t\}} , то { X t } {\displaystyle \{X_{t}\}} называют просто мартингалом.
Пусть дана последовательность случайных величин { Y n } n ∈ N {\displaystyle \{Y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} . Тогда последовательность случайных величин { X n } n ∈ N {\displaystyle \{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} называется су́б(су́пер)мартингалом относительно { Y n } {\displaystyle \{Y_{n}\}} , если E | X n | < ∞ , n ∈ N ; {\displaystyle {\mathsf {E}}|X_{n}|<\infty ,\quad n\in \mathbb {N} ;} E [ X n + 1 ∣ Y 1 , … , Y n ] ≥ ( ≤ ) X n , n ∈ N . {\displaystyle {\mathsf {E}}[X_{n+1}\mid Y_{1},\ldots ,Y_{n}]\geq (\leq )X_{n},\quad n\in \mathbb {N} .} Случайный процесс { X t } t ∈ T , T ⊂ R {\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in T},\;T\subset \mathbb {R} } называется суб(супер)мартингалом относительно { F t } {\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}} , если X t {\displaystyle X_{t}} измерима относительно F t {\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}} для любого t ∈ T {\displaystyle t\in T} . E | X t | < ∞ , t ∈ T {\displaystyle {\mathsf {E}}|X_{t}|<\infty ,\quad t\in T} . E [ X t ∣ F s ] ≥ ( ≤ ) X s , ∀ s , t ∈ T , s ≤ t {\displaystyle {\mathsf {E}}[X_{t}\mid {\mathcal {F}}_{s}]\geq (\leq )X_{s},\quad \forall s,t\in T,\;s\leq t} . Если в качестве { F t } {\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}} взята естественная фильтрация F t = σ { X s ∣ s ≤ t } {\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}=\sigma \{X_{s}\mid s\leq t\}} , то { X t } {\displaystyle \{X_{t}\}} называют просто суб(супер)мартингалом.
Случайный процесс является мартингалом тогда и только тогда, когда он является одновременно субмартингалом и супермартингалом. Если { X t } {\displaystyle \{X_{t}\}} — мартингал, то E X t = c o n s t {\displaystyle {\mathsf {E}}X_{t}=\mathrm {const} } . Если { X t } {\displaystyle \{X_{t}\}} — субмартингал, то { − X t } {\displaystyle \{-X_{t}\}} — супермартингал. Если { X t } {\displaystyle \{X_{t}\}} является мартингалом, а f : R → R {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } — выпуклая функция , то { f ( X t ) } {\displaystyle \{f(X_{t})\}} — субмартингал. Если f {\displaystyle f} — вогнутая функция , то { f ( X t ) } {\displaystyle \{f(X_{t})\}} — супермартингал. Вообще говоря, мартингал не является марковским процессом . Верно и обратное: марковский процесс не обязан быть мартингалом. Верна теорема [англ.] о сходимости мартингалов Рассмотрим игру, при которой подбрасывается монета, и при выпадении «орла» игрок выигрывает 1 руб. , а при выпадении «решки» проигрывает 1 руб. Тогда: если монета уравновешена, то состояние игрока как функция количества игр является мартингалом; если выпадение «орла» более вероятно, то состояние игрока — субмартингал; если выпадение «решки» более вероятно, то состояние игрока — супермартингал.
Ссылки на внешние ресурсы
Словари и энциклопедии В библиографических каталогах