Математическое ожидание

Математи́ческое ожида́ние — понятие в теории вероятностей, означающее среднее (взвешенное по вероятностям возможных значений) значение случайной величины[1]. В случае непрерывной случайной величины подразумевается взвешивание по плотности распределения (более строгие определения см. ниже). Математическое ожидание случайного вектора равно вектору, компоненты которого равны математическим ожиданиям компонентов случайного вектора.

Обозначается через [2] (например, от англ. Expected value или нем. Erwartungswert); в русскоязычной литературе также встречается обозначение (возможно, от англ. Mean value или нем. Mittelwert, а возможно от «Математическое ожидание»). В статистике часто используют обозначение .

Для случайной величины, принимающей значения только 0 или 1, математическое ожидание равно p — вероятности «единицы». Математическое ожидание суммы таких случайных величин равно np, где n — количество таких случайных величин. При этом вероятности появления определённого количества единиц рассчитываются по биномиальному распределению. Поэтому в литературе, скорее всего, легче найти запись, что мат. ожидание биномиального распределения равно np[3].

Некоторые случайные величины не имеют математического ожидания, например, случайные величины, имеющие распределение Коши.

На практике математическое ожидание обычно оценивается как среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины (выборочное среднее, среднее по выборке). Доказано, что при соблюдении определённых особых условий (в частности, если выборка является случайной, то есть наблюдения являются независимыми) выборочное среднее стремится к истинному значению математического ожидания случайной величины при стремлении объёма выборки (количества наблюдений, испытаний, измерений) к бесконечности.

Определение

[править | править код]

Общее определение через интеграл Лебега

[править | править код]

Пусть задано вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина . То есть, по определению,  — измеримая функция. Если существует интеграл Лебега от по пространству , то он называется математическим ожиданием, или средним (ожидаемым) значением и обозначается или .

Определение через функцию распределения случайной величины

[править | править код]

Если  — функция распределения случайной величины, то её математическое ожидание задаётся интегралом Лебега — Стилтьеса:

, .

Определение для абсолютно непрерывной случайной величины (через плотность распределения)

[править | править код]

Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины, распределение которой задаётся плотностью , равно

.

Определение для дискретной случайной величины

[править | править код]

Если  — дискретная случайная величина, имеющая распределение

, ,

то прямо из определения интеграла Лебега следует, что

.

Математическое ожидание целочисленной величины

[править | править код]
  • Если  — положительная целочисленная случайная величина (частный случай дискретной), имеющая распределение вероятностей
, , ,

то её математическое ожидание может быть выражено через производящую функцию последовательности

как значение первой производной в единице: . Если математическое ожидание бесконечно, то и мы будем писать

Теперь возьмём производящую функцию последовательности «хвостов» распределения

,

Эта производящая функция связана с определённой ранее функцией свойством: при . Из этого по теореме о среднем следует, что математическое ожидание равно просто значению этой функции в единице:

Математическое ожидание случайного вектора

[править | править код]

Пусть  — случайный вектор. Тогда по определению

,

то есть математическое ожидание вектора определяется покомпонентно.

Математическое ожидание преобразования случайной величины

[править | править код]

Пусть  — борелевская функция, такая что случайная величина имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула

если имеет дискретное распределение;

если имеет абсолютно непрерывное распределение.

Если распределение случайной величины общего вида, то

В специальном случае, когда , математическое ожидание называется -м моментом случайной величины.

Свойства математического ожидания

[править | править код]
  • Математическое ожидание числа (не случайной, фиксированной величины, константы) есть само число.
 — константа;
  • Математическое ожидание линейно[4], то есть
,
где  — случайные величины с конечным математическим ожиданием, а  — произвольные константы;

В частности, математическое ожидание суммы (разности) случайных величин равно сумме (соответственно — разности) их математических ожиданий.

  • Математическое ожидание сохраняет неравенства, то есть если почти наверняка, и  — случайная величина с конечным математическим ожиданием, то математическое ожидание случайной величины также конечно, и более того
.
  • Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль, то есть если почти наверняка, то
.
.

Неравенства, связанные с математическим ожиданием

[править | править код]

Неравенство Маркова — для неотрицательной случайной величины определённой на вероятностном пространстве с конечным математическим ожиданием выполняется неравенство:

, где .

Неравенство Йенсена для математического ожидания выпуклой функции от случайной величины. Пусть  — вероятностное пространство,  — определённая на нём случайная величина,  — выпуклая борелевская функция, такие, что , то

.

Теоремы, связанные с математическим ожиданием

[править | править код]
.
  • Тождество Вальда: для независимых одинаково распределённых случайных величин , где является положительной целочисленной случайной величиной, независимой от , при условии, что и имеют конечное математическое ожидание, будет выполняться следующее равенство:
.

равно среднему арифметическому всех принимаемых значений.

  • Пусть случайная величина имеет непрерывное равномерное распределение на интервале , где . Тогда её плотность имеет вид и математическое ожидание равно
.
,

то есть математическое ожидание не определено.

Примечания

[править | править код]
  1. «Математическая энциклопедия» / Главный редактор И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1979. — 1104 с. — (51[03] М34). — 148 800 экз.
  2. А. Н. Ширяев. 1 // «Вероятность». — М.: МЦНМО, 2007. — 968 с. — ISBN 978-5-94057-036-3, 978-5-94057-106-3, 978-5-94057-105-6.
  3. В.Е.Гмурман. Часть вторая. Случайные величины. -> Глава 4. Дискретные случайные величины. -> Параграф 3. // [http://elenagavrile.narod.ru/ms/gmurman.pdf РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ]. — 1979. — С. 63. — 400 с. Архивировано 21 января 2022 года.
  4. Пытьев Ю. П., Шишмарёв И. А., Теория вероятностей, математическая статистика и элементы теории возможностей для физиков. — М.: Физический факультет МГУ, 2010.
  5. Теория вероятностей: 10.2. Теоремы о числовых характеристиках. sernam.ru. Дата обращения: 10 января 2018. Архивировано 10 января 2018 года.

Литература

[править | править код]
  • Феллер В. Глава XI. Целочисленные величины. Производящие функции // Введение в теорию вероятностей и её приложения = An introduction to probability theory and its applicatons, Volume I second edition / Перевод с англ. Р. Л. Добрушина, А. А. Юшкевича, С. А. Молчанова Под ред. Е. Б. Дынкина с предисловием А. Н. Колмогорова. — 2-е изд. — М.: Мир, 1964. — С. 270—272.