Определитель Грама |
Определяющая формула | ![{\displaystyle \operatorname {Gram} (A)=\det(A^{T}A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4b24d36734d29d36e7c2a0e564903e2cb964aa9) |
Определителем Грама (грамианом) системы векторов
в евклидовом пространстве называется определитель матрицы Грама этой системы:
![{\displaystyle {\begin{vmatrix}\langle e_{1},\;e_{1}\rangle &\langle e_{1},\;e_{2}\rangle &\ldots &\langle e_{1},\;e_{n}\rangle \\\langle e_{2},\;e_{1}\rangle &\langle e_{2},\;e_{2}\rangle &\ldots &\langle e_{2},\;e_{n}\rangle \\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\\langle e_{n},\;e_{1}\rangle &\langle e_{n},\;e_{2}\rangle &\ldots &\langle e_{n},\;e_{n}\rangle \\\end{vmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4b73d00020735423d1a7e0baa8e6521bd07a546)
где
— скалярное произведение векторов
и
.
Матрица Грама возникает из следующей задачи линейной алгебры:
Пусть в евклидовом пространстве
система векторов
порождает подпространство
. Зная, чему равны скалярные произведения вектора
из
с каждым из этих векторов, найти коэффициенты разложения вектора
по векторам
.
Исходя из разложения
![{\displaystyle \mathbf {x} =x_{1}\mathbf {e} _{1}+x_{2}\mathbf {e} _{2}+\ldots +x_{n}\mathbf {e} _{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b34627f4f8ae83909d018d6c61e856b44211251)
получается линейная система уравнений с матрицей Грама:
![{\displaystyle {\begin{cases}\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{1}\rangle x_{1}+\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{2}\rangle x_{2}+\ldots +\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{n}\rangle x_{n}=\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {x} \rangle ;\\\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {e} _{1}\rangle x_{1}+\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {e} _{2}\rangle x_{2}+\ldots +\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {e} _{n}\rangle x_{n}=\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {x} \rangle ;\\\quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \\\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {e} _{1}\rangle x_{1}+\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {e} _{2}\rangle x_{2}+\ldots +\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {e} _{n}\rangle x_{n}=\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {x} \rangle .\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/201bed39cecb94b76d55e61aaa7eb577d2b8a00c)
Эта задача однозначно разрешима тогда и только тогда, когда векторы
линейно независимы. Поэтому обращение в ноль определителя Грама системы векторов — это критерий их линейной зависимости.
Геометрический смысл определителя Грама раскрывается при решении следующей задачи:
Пусть в евклидовом пространстве
система векторов
порождает подпространство
. Зная скалярные произведения вектора
из
с каждым из этих векторов, найти расстояние от
до
.
Минимум расстояний
по всем векторам
из
достигается на ортогональной проекции вектора
на
. При этом
, где вектор
перпендикулярен всем векторам из
, и расстояние от
до
равно модулю вектора
. Для вектора
решается задача о разложении (см. выше) по векторам
, и решение получившейся системы выписывается по правилу Крамера:
![{\displaystyle \mathbf {u} =-{\frac {1}{\Gamma }}{\begin{vmatrix}\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{1}\rangle &\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{2}\rangle &\ldots &\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{n}\rangle &\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {x} \rangle \\\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {e} _{1}\rangle &\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {e} _{2}\rangle &\ldots &\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {e} _{n}\rangle &\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {x} \rangle \\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {e} _{1}\rangle &\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {e} _{2}\rangle &\ldots &\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {e} _{n}\rangle &\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {x} \rangle \\\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\ldots &\mathbf {e} _{n}&\mathbf {0} \end{vmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ade20939be7699f34823376d5e7a9133e756bb9)
где
— определитель Грама системы. Вектор
равен:
![{\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {x} -\mathbf {u} ={\frac {1}{\Gamma }}{\begin{vmatrix}\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{1}\rangle &\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{2}\rangle &\ldots &\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{n}\rangle &\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {x} \rangle \\\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {e} _{1}\rangle &\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {e} _{2}\rangle &\ldots &\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {e} _{n}\rangle &\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {x} \rangle \\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {e} _{1}\rangle &\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {e} _{2}\rangle &\ldots &\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {e} _{n}\rangle &\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {x} \rangle \\\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\ldots &\mathbf {e} _{n}&\mathbf {x} \end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/267a17a0d02b39ea698e0d95a83492d278bf4b62)
и квадрат его модуля равен
![{\displaystyle |\mathbf {n} |^{2}=\langle \mathbf {n} ,\;\mathbf {x} \rangle ={\frac {\Gamma (\mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{2},\;\ldots ,\;\mathbf {e} _{n},\;\mathbf {x} )}{\Gamma (\mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{2},\;\ldots ,\;\mathbf {e} _{n})}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eff15678390c4b69f97e17707526cb65d6d4331)
Из этой формулы индукцией по
получается следующее утверждение:
- Определитель Грама системы
векторов равен квадрату объёма
-мерного параллелепипеда, натянутого на эти векторы. Отсюда видно, что в случае трёхмерного пространства определитель Грама трёх векторов равен квадрату их смешанного произведения.