Метрическое пространство

Метри́ческое простра́нство — множество вместе со способом измерения расстояния между его элементами. Является центральным понятием геометрии и топологии.

Пара ${\displaystyle (M,\;d)}$, состоящая из множества ${\displaystyle M}$ и функции ${\displaystyle d\colon M\times M\to \mathbb {R} }$ из его декартова квадрата в множество вещественных чисел, называется метрическим пространством, если^[1]:

1. ${\displaystyle d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y}$ (аксиома тождества);
2. ${\displaystyle d(x,y)\geqslant 0}$ (аксиома положительности);
3. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$ (аксиома симметричности);
4. ${\displaystyle d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)}$ (аксиома треугольника или неравенство треугольника).

В этом случае:

• множество ${\displaystyle M}$ называется подлежащим множеством или носителем метрического пространства;
• функция ${\displaystyle d}$ называется метрикой или функцией расстояния;
• элементы множества ${\displaystyle M}$ называются точками метрического пространства.
• иногда дополнительно предполагается, что множество ${\displaystyle M}$ непусто.

• Требование неотрицательности значений метрики является избыточным, оно следует из аксиом:

  ${\displaystyle 0=d(x,x)\leqslant d(x,y)+d(y,x)=2\cdot d(x,y)}$.

• Аксиомы тождества и данного неравенства треугольника вместе взятые, эквивалентны следующему варианту неравенства треугольника:

  ${\displaystyle d(x,y)\leqslant d(x,z)+d(y,z).}$

• Эти условия выражают интуитивные понятия о концепции расстояния и поэтому называются аксиомами расстояния^[2]. Например, что расстояние между различными точками положительно и расстояние от ${\displaystyle x}$ до ${\displaystyle y}$ то же самое, что и расстояние от ${\displaystyle y}$ до ${\displaystyle x}$. Неравенство треугольника означает, что расстояние от ${\displaystyle x}$ до ${\displaystyle z}$ через ${\displaystyle y}$ не меньше, чем прямо от ${\displaystyle x}$ до ${\displaystyle z}$.

Обычно расстояние между точками ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ в метрическом пространстве ${\displaystyle M}$ обозначается ${\displaystyle d(x,y)}$ или ${\displaystyle \rho (x,y)}$.

• В метрической геометрии принято обозначение ${\displaystyle |xy|}$ или ${\displaystyle |xy|_{M}}$, если необходимо подчеркнуть, что речь идёт о ${\displaystyle M}$. Также употребляются обозначения ${\displaystyle |x-y|}$ и ${\displaystyle |x-y|_{M}}$ (несмотря на то, что выражение ${\displaystyle x-y}$ для точек ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ не имеет смысла).
• В классической геометрии приняты обозначения ${\displaystyle XY}$ или ${\displaystyle |XY|}$ (точки обычно обозначают заглавными латинскими буквами).

• Биекция между различными метрическими пространствами ${\displaystyle (X,d_{X})}$ и ${\displaystyle (Y,d_{Y})}$, сохраняющая расстояния, называется изометрией;
  • В этом случае пространства ${\displaystyle (X,d_{X})}$ и ${\displaystyle (Y,d_{Y})}$ называются изометричными.
• Если ${\displaystyle x_{n}\in X}$, ${\displaystyle x\in X}$ и ${\displaystyle d(x_{n},x)\to 0}$ при ${\displaystyle n\to \infty }$, то говорят, что ${\displaystyle x_{n}}$ сходится к ${\displaystyle x}$: ${\displaystyle x_{n}\to x}$^[3].
• Если ${\displaystyle M}$ подмножество множества ${\displaystyle X}$, то, рассматривая сужение ${\displaystyle d_{M}=d_{X}|_{M}}$ метрики ${\displaystyle d_{X}}$ на множество ${\displaystyle M}$, можно получить метрическое пространство ${\displaystyle (M,d_{M})}$, которое называется подпространством пространства ${\displaystyle (X,d)}$.
• Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нём сходится к некоторому элементу этого пространства.

• Метрика ${\displaystyle d}$ на ${\displaystyle M}$ называется внутренней, если любые две точки ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ в ${\displaystyle M}$ можно соединить кривой с длиной, произвольно близкой к ${\displaystyle d(x,y)}$.
  • Пространство называется геодезическим если любые две точки ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ в ${\displaystyle M}$ можно соединить кривой с длиной, равной ${\displaystyle d(x,y)}$.
• Любое метрическое пространство обладает естественной топологией, базой для которой служит множество открытых шаров, то есть множеств следующего типа:

${\displaystyle B(x;r)=\{y\in M\mid d(x,y)<r\},}$

где ${\displaystyle x}$ есть точка в ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle r}$ — положительное вещественное число, называемое радиусом шара. Иначе говоря, множество ${\displaystyle O}$ является открытым, если вместе с любой своей точкой оно содержит открытый шар с центром в этой точке.

• Две метрики, определяющие одну и ту же топологию, называются эквивалентными.
• Топологическое пространство, которое может быть получено таким образом, называется метризируемым.
• Расстояние ${\displaystyle d(x,S)}$ от точки ${\displaystyle x}$ до подмножества ${\displaystyle S}$ в ${\displaystyle M}$ определяется по формуле:

${\displaystyle d(x,S)=\inf\{d(x,s)\mid s\in S\}}$.

Тогда ${\displaystyle d(x,S)=0}$, только если ${\displaystyle x}$ принадлежит замыканию ${\displaystyle S}$.

• Дискретная метрика: ${\displaystyle d(x,y)=0}$, если ${\displaystyle x=y}$, и ${\displaystyle d(x,y)=1}$ во всех остальных случаях.
• Вещественные числа с функцией расстояния ${\displaystyle d(x,\;y)=|y-x|}$ и евклидово пространство являются полными метрическими пространствами.
• Расстояние городских кварталов: ${\displaystyle d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=\|\mathbf {p} -\mathbf {q} \|=\sum _{i=1}^{n}|p_{i}-q_{i}|}$, где ${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})}$, ${\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}$ — векторы.
• Пусть ${\displaystyle F(X,Y)}$ — пространство непрерывных и ограниченных отображений из топологического пространства ${\displaystyle X}$ в метрическое пространство ${\displaystyle Y}$. Расстояние между двумя отображениями ${\displaystyle f_{1}}$ и ${\displaystyle f_{2}}$ из этого пространства определяется как

  ${\displaystyle d_{F}(f_{1},f_{2})=\sup\{d_{Y}(f_{1}(x),f_{2}(x))\colon x\in X\}}$.

Сходимость отображений по этой метрике равнозначна их равномерной сходимости на всём пространстве ${\displaystyle X}$.

В частном случае, когда ${\displaystyle X}$ — компактное пространство, ${\displaystyle Y}$ — числовая прямая, получается пространство ${\displaystyle C(X)}$ всех непрерывных функций на пространстве ${\displaystyle X}$ с метрикой равномерной сходимости.

• Пусть ${\displaystyle L([a,b])}$, ${\displaystyle R([a,b])}$, ${\displaystyle C([a,b])}$ — пространства функций на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, соответственно интегрируемых по Лебегу, интегрируемых по Риману, и непрерывных. В них расстояние можно определить по формуле:

  ${\displaystyle d(f_{1},f_{2})=\int \limits _{a}^{b}|f_{1}(x)-f_{2}(x)|\,dx.}$

Для того, чтобы эта функция стала метрикой, в первых двух пространствах необходимо отождествить функции, отличающиеся на множестве меры 0. В противном случае эта функция будет всего лишь полуметрикой. (В пространстве функций, непрерывных на отрезке, функции, отличающиеся на множестве меры 0, и так совпадают.)

• В пространстве ${\displaystyle k}$ раз непрерывно дифференцируемых функций ${\displaystyle C^{k}([a,b])}$ метрика вводится по формуле:

  ${\displaystyle d_{k}(f_{1},f_{2})=\max\{d_{0}(f_{1},f_{2}),\;d_{0}(f'_{1},f'_{2}),\;\ldots ,\;d_{0}(f_{1}^{(k)},f_{2}^{(k)})\}}$,

где ${\displaystyle d_{0}}$ — метрика равномерной сходимости на ${\displaystyle C([a,b])}$ (см. выше).

• Любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, определив функцию расстояния

  ${\displaystyle d(x,y)=\|y-x\|}$.

  • Конечномерные пространства такого типа называются пространством Минковского;
  • В случае размерности, равной двум — плоскостью Минковского.
• Если ${\displaystyle (p_{n})_{n\in N}}$ является последовательностью полунорм, определяющих (локально выпуклое) топологическое векторное пространство ${\displaystyle E}$, то

${\displaystyle d(x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}{\frac {p_{n}(x-y)}{1+p_{n}(x-y)}}}$

является метрикой, определяющей ту же топологию. (Можно заменить ${\displaystyle {\frac {1}{2^{n}}}}$ на любую суммируемую последовательность ${\displaystyle (a_{n})}$ строго положительных чисел.)

• Любое связное риманово многообразие ${\displaystyle M}$ можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как точную нижнюю грань длин путей, соединяющих пару точек.
• Множество вершин любого связного графа ${\displaystyle G}$ можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как минимальное число рёбер в пути, соединяющем вершины. Более общо: если каждому ребру графа приписать положительное число (длину ребра), расстояние между вершинами можно определить как минимальную сумму длин рёбер вдоль любых путей из одной вершины в другую.
  • Частным случаем предыдущего примера является так называемая французская железнодорожная метрика, которую нередко приводят в качестве примера метрики, не порождённой нормой.
• Расстояние редактирования графа определяет функцию расстояния между графами.
• Расстояние Хэмминга в теории кодирования.
• Строковые метрики^[англ.], такие как расстояние Левенштейна и другие расстояния редактирования текста определяют расстояние над строками.
• Множество компактных подмножеств ${\displaystyle K(M)}$ любого метрического пространства ${\displaystyle M}$ можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Хаусдорфа. В этой метрике два подмножества близки друг к другу, если для любой точки одного множества можно найти близкую точку в другом подмножестве. Вот точное определение:

${\displaystyle D(X,Y)=\inf \left\{r\;\left|\;{\begin{matrix}\forall x\in X\;\exists y\in Y\colon d(x,y)<r\\\forall y\in Y\;\exists x\in X\colon d(x,y)<r\end{matrix}}\right.\right\}}$.

• Множество всех компактных метрических пространств (с точностью до изометрии) можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Громова — Хаусдорфа.
• Метрика Васерштейна определяет расстояние между двумя распределениями вероятностей.

• Декартово произведение метрических пространств может быть наделено структурой метрического пространства многими способами, например:
  1. ${\displaystyle d_{X\times Y}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=d_{X}(x_{1},x_{2})+d_{Y}(y_{1},y_{2});}$
  2. ${\displaystyle d_{X\times Y}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))={\sqrt {d_{X}(x_{1},x_{2})^{2}+d_{Y}(y_{1},y_{2})^{2}}};}$
  3. ${\displaystyle d_{X\times Y}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=\max\{d_{X}(x_{1},x_{2}),d_{Y}(y_{1},y_{2})\}.}$

Эти метрики эквивалентны друг другу.

• Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда из любой последовательности точек можно выбрать сходящуюся подпоследовательность (секвенциальная компактность).
• Метрическое пространство может не иметь счётной базы, но всегда удовлетворяет первой аксиоме счётности — имеет счётную базу в каждой точке.
  • Более того, каждый компакт в метрическом пространстве имеет счётную базу окрестностей.
  • Сверх того, в каждом метрическом пространстве существует такая база, что каждая точка пространства принадлежит лишь счётному множеству её элементов — точечно-счётная база (но это свойство слабее метризуемости даже в присутствии паракомпактности и хаусдорфовости).
• метрические пространства с короткими отображениями образуют категорию, обычно обозначаемую Met.

• Для данного множества ${\displaystyle M}$, функция ${\displaystyle d\colon M\times M\to \mathbb {R} }$ называется псевдометрикой или полуметрикой на ${\displaystyle M}$ если для любых точек ${\displaystyle x,\;y,\;z}$ из ${\displaystyle M}$ она удовлетворяет следующим условиям:
  1. ${\displaystyle d(x,x)=0}$;
  2. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$ (симметрия);
  3. ${\displaystyle d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)}$ (неравенство треугольника).

То есть, в отличие от метрики, различные точки в ${\displaystyle M}$ могут находиться на нулевом расстоянии. Псевдометрика естественно определяет метрику на факторпространстве ${\displaystyle M/{\sim }}$, где ${\displaystyle x\sim y\iff d(x,y)=0}$.

• Для данного множества ${\displaystyle M}$ функция ${\displaystyle d\colon M\times M\to \mathbb {R} }$ называется квазиметрикой, если для любых точек ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$ из ${\displaystyle M}$ она удовлетворяет следующим условиям:
  1. ${\displaystyle d(x,x)=0}$;
  2. ${\displaystyle d(x,y)\leqslant c\cdot d(y,x)}$ (квазисимметрия);
  3. ${\displaystyle d(x,z)\leqslant c\cdot (d(x,y)+d(y,z))}$ (обобщённое неравенство треугольника).
• Метрика на пространстве называется ультраметрикой, если она удовлетворяет сильному неравенству треугольника:

  Для всех ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle z}$ в ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d(x,z)\leqslant \max(d(x,y),d(y,z))}$.

• Иногда удобно рассматривать ${\displaystyle \infty }$-метрики, то есть метрики со значениями ${\displaystyle [0;\infty ]}$. Для любой ${\displaystyle \infty }$-метрики можно построить конечную метрику, которая определяет ту же топологию. Например,

  ${\displaystyle d'(x,y)={\frac {d(x,y)}{1+d(x,y)}}}$ или ${\displaystyle d''(x,y)=\min {(1,d(x,y))}.}$

Также, для любой точки ${\displaystyle x}$ такого пространства, множество точек, находящихся от неё на конечном расстоянии, образует обычное метрическое пространство, называемое метрической компонентой ${\displaystyle x}$. В частности, любое пространство с ${\displaystyle \infty }$-метрикой можно рассматривать как набор обычных метрических пространств и определить расстояние между любой парой точек в разных пространствах равным ${\displaystyle \infty }$.

• Иногда квазиметрика определяется как функция, удовлетворяющая всем аксиомам для метрики за возможным исключением симметрии^[4][5]. Название этого обобщения не вполне устоялось^[6]. В своей книге Смит^[5] называет их «полуметриками». Тот же термин используется часто также для двух других обобщений метрик.
  1. ${\displaystyle d(x,y)\geqslant 0}$ (положительность)
  2. ${\displaystyle d(x,y)=0\iff x=y}$ (положительная определённость)
  3. d(x, y)=d(y, x) (симметрия вычеркнута)
  4. ${\displaystyle d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)}$ (неравенство треугольника)

Примеры квазиметрики встречаются в реальной жизни. Например, если дано множество ${\displaystyle X}$ горных сёл, время прогулки между элементами ${\displaystyle X}$ образует квазиметрику, поскольку восхождение вверх занимает больше времени, чем спуск вниз. Другим примером является топология городских кварталов, имеющих улицы с односторонним движением, когда путь из точки ${\displaystyle A}$ в точку ${\displaystyle B}$ состоит из различного набора улиц по сравнению с путём из ${\displaystyle B}$ в ${\displaystyle A}$.

• В метаметрике все аксиомы метрики выполняются, за исключением того, что расстояние между идентичными точками не обязательно равно нулю. Другими словами, аксиомами для метаметрики являются:
  1. ${\displaystyle d(x,y)\geqslant 0}$
  2. из ${\displaystyle d(x,y)=0}$ следует ${\displaystyle x=y}$ (но не наоборот.)
  3. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$
  4. ${\displaystyle d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)}$.

Метаметрики появляются при изучении гиперболических метрических пространств Громова и их границ. Визуальная метаметрика на таком пространстве удовлетворяет равенству ${\displaystyle d(x,x)=0}$ для точек ${\displaystyle x}$ на границе, но в противном случае ${\displaystyle d(x,x)}$ примерно равно расстоянию от ${\displaystyle x}$ до границы. Метаметрики первым определил Юсси Вяйсяля^[7].

• Ослабление последних трёх аксиом ведёт к понятию преметрики, то есть функции, удовлетворяющей условиям:
  1. ${\displaystyle d(x,y)\geqslant 0}$
  2. ${\displaystyle d(x,x)=0}$

Термин не устоялся, иногда он используется для обобщения других метрик, таких как псевдополуметрики^[8] или псевдометрики^[9]. В русскоязычной литературе (и в переводах с русского) этот термин иногда появляется как «праметрика»^[10][11].

Любая преметрика приводит к топологии следующим образом. Для положительного вещественного ${\displaystyle r}$ определяется ${\displaystyle r}$-шар с центром в точке ${\displaystyle p}$ как

${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\mid d(x,p)<r\}}$. Множество называется открытым, если для любой точки ${\displaystyle p}$ в множестве существует ${\displaystyle r}$-шар с центром в ${\displaystyle p}$, который содержится в множестве. Любое преметрическое пространство является топологическим пространством и, фактически, секвенциальным пространством. В общем случае сами ${\displaystyle r}$-шары не обязаны быть открытыми множествами согласно этой топологии. Как и для метрик, расстояние между двумя множествами ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ определяется как

${\displaystyle d(A,B)=\inf _{x\in A,\;y\in B}d(x,y)}$.

Это определяет преметрику на булеане преметрического пространства. Если мы начинаем с (псевдополу-)метрического пространства, мы получим псевдополуметрику, то есть, симметричную преметрику. Любая преметрика приводит к оператору предзамыкания^[англ.] ${\displaystyle \operatorname {cl} }$:

${\displaystyle \operatorname {cl} (A)=\{x\mid d(x,A)=0\}}$.

• Префиксы псевдо-, квази- и полу- могут комбинироваться, например, псевдоквазиметрика (иногда называемая гемиметрикой) ослабляет как аксиому неразличимости, так и аксиому симметрии, и является просто преметрикой, удовлетворяющей неравенству треугольника. Для псевдоквазиметрических пространств открытые ${\displaystyle r}$-шары образуют базис открытых множеств. Простейшим примером псевдоквазиметрического пространства служит множество ${\displaystyle \{0,1\}}$ с преметрикой, задаваемой функцией ${\displaystyle d}$, такой что ${\displaystyle d(0,1)=1}$ и ${\displaystyle d(1,0)=0}$. Ассоциированное топологическое пространство является пространством Серпинского.

Множества, оснащённые расширенной псевдоквазиметрикой, изучал Уильям Ловер как «обобщённые метрические пространства»^[12][13]. С категорной точки зрения расширенные псевдометрические пространства и расширенные псевдоквазиметрические пространства вместе с их соответствующими нерасширяющимися отображениями лучше всего ведут себя на категориях метрических пространств. Можно взять произвольные произведения и копроизведения и образовать фактор-объект с данной категорией. Если опустить слово «расширенная», можно взять только конечные произведения и копроизведения. Если опустить «псевдо», нельзя будет получить фактор-объекты. Пространства подходов^[англ.] являются обобщением метрических пространств, учитывающим эти хорошие категориальные свойства.

• Линейное пространство ${\displaystyle V(F)}$ называется линейным метрическим пространством, если в нём задано расстояние между его элементами и алгебраические операции непрерывны в его метрике, т. е.^[3]:
  1. ${\displaystyle x_{n}\to x,y_{n}\to y\Rightarrow x_{n}+y_{n}\to x+y}$
  2. ${\displaystyle x_{n}\to x,\lambda _{n}\to \lambda \Rightarrow \lambda _{n}x_{n}\to \lambda x}$
  • Пример: Линейное пространство всех комплексных последовательностей можно превратить в линейное метрическое пространство при помощи введения расстояния между его элементами с помощью формулы:

    ${\displaystyle d(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}{\frac {|x_{i}-y_{i}|}{1+|x_{i}-y_{i}|}}}$

• Гиперметрическое пространство — метрическое пространство в котором выполнены гиперметрические неравенства. То есть,

  ${\displaystyle \sum _{i<j}b_{i}\cdot b_{j}\cdot |x_{i}-x_{j}|\leq 0}$

для любых точек ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ и целых чисел ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$ таких, что ${\displaystyle \sum b_{i}=1}$.^[14]

• Заметим, что при ${\displaystyle b_{1}=b_{2}=1}$ и ${\displaystyle b_{3}=-1}$, гиперметрическое неравенство преврящается в обычное неравенство треугольника

${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|-|x_{1}-x_{3}|-|x_{2}-x_{3}|\leq 0.}$

• Пример гиперметрического пространства: ${\displaystyle \ell _{1}}$-пространство.

Морис Фреше впервые ввёл понятие метрического пространства^[15] в связи с рассмотрением функциональных пространств.

• Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии. — 2004. — ISBN 5-93972-300-4.
• Васильев Н. Метрические пространства. — Квант. — 1990. — № 1.
• Васильев Н. Метрические пространства. — Квант. — 1970. — № 10.
• Метрика // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — 1184 с.
• Скворцов В. А. Примеры метрических пространств // Библиотека «Математическое просвещение» Архивная копия от 12 января 2014 на Wayback Machine. — 2001. — Выпуск 9.
• Шрейдер Ю. А. Что такое расстояние? // «Популярные лекции по математике». — М.: Физматгиз, 1963 г. — Выпуск 38. — 76 с.
• Lawvere, F. William (2002), "Metric spaces, generalized logic, and closed categories" (PDF), Reprints in Theory and Applications of Categories (1): 1—37, MR 1925933; reprinted with added commentary from Lawvere, F. William (1973), "Metric spaces, generalized logic, and closed categories", Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano, 43: 135–166 (1974), doi:10.1007/BF02924844, MR 0352214
• Ruben Aldrovandi, J. G. Pereira. An introduction to geometrical physics : [англ.]. — Singapore : World Scientific, 1995. — 699 с. — ISBN 9810222327. — ISBN 9789810222321.
• Rolewicz, Stefan (1987), Functional Analysis and Control Theory: Linear Systems, Springer, ISBN 90-277-2186-6
• Smyth, M. (1987), "Quasi uniformities: reconciling domains with metric spaces", in Main, M.; Melton, A.; Mislove, M.; Schmidt, D. (eds.), 3rd Conference on Mathematical Foundations of Programming Language Semantics, Lecture Notes in Computer Science, vol. 298, Springer-Verlag, pp. 236—253, doi:10.1007/3-540-19020-1_12
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology, Dover, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446
• Väisälä, Jussi (2005), "Gromov hyperbolic spaces" (PDF), Expositiones Mathematicae, 23 (3): 187—231, doi:10.1016/j.exmath.2005.01.010, MR 2164775
• Vickers, Steven (2005), "Localic completion of generalized metric spaces, I", Theory and Applications of Categories, 14 (15): 328—356, MR 2182680 Архивная копия от 26 апреля 2021 на Wayback Machine
• Архангельский А. В., Федорчук В. В. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Том 17. — ВИНИТИ, 1988. — 232 с.
• Булдыгин В. В., Козаченко Ю. В. Метрические характеристики случайных величин и процессов. — К. : ТВіМС, 1998. — 290 с.
• Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу (рус.). — Москва: МЦНМО, 2004. — ISBN 5-94057-065-8.

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Metric space", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Far and near — several examples of distance functions at cut-the-knot.