Моноид (теория категорий)

В теории категорий моноид ${\displaystyle (M,\mu ,\eta )}$ в моноидальной категории ${\displaystyle (\mathbf {C} ,\otimes ,I)}$ — это объект M вместе с двумя морфизмами

• ${\displaystyle \mu :M\otimes M\to M}$ (называемый умножением),
• и ${\displaystyle \eta :I\to M}$ (называемый единицей),

такими что следующая пятиугольная диаграмма

а также диаграмма

коммутативны. Обозначения те же, что и в статье Моноидальная категория: I — единица категории, ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \lambda }$ и ${\displaystyle \rho }$ — ассоциатор и морфизмы, соответствующие левому и правому умножению на единицу.

Двойственно, комоноид в моноидальной категории C — это моноид в двойственной категории ${\displaystyle \mathbf {C} ^{\mathrm {op} }}$.

Пусть категория C имеет также преобразование симметрии ${\displaystyle \gamma }$. Тогда моноид ${\displaystyle M}$ называется симметричным, если

${\displaystyle \mu \circ \gamma =\mu }$.

• Моноида в категории Set (рассматриваемой, как моноидальная категория относительно прямого произведения) — это моноид в общеалгебраическом смысле.
• Моноид в категории абелевых групп (с тензорным произведением как ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-модулей) — это кольцо.
• Из теоремы Экманна — Хилтона^[англ.] следует, что моноид в категории колец (с единицей) — это коммутативное кольцо.
• Моноид в категории модулей над коммутативным кольцом R — это R-алгебра.
• Моноид в категории векторных пространств над полем k — k-алгебра, соответственно, комоноид — k-коалгебра.
• Для любой категории C, категория [C,C] эндофункторов (функторов в себя) [C,C] имеет моноидальную структуру, индуцированную операцией композиции. Моноид в категории эндофункторов [C,C] — это монада в C.

Пусть ${\displaystyle (M,\mu ,\eta )}$ и ${\displaystyle (M',\mu ',\eta ')}$ — два моноида в моноидальной категории C, морфизм ${\displaystyle f:M\to M'}$ является морфизмом моноидов, если

• ${\displaystyle f\circ \mu =\mu '\circ (f\otimes f)}$,
• ${\displaystyle f\circ \eta =\eta '}$.

Категория моноидов в C с морфизмами, определёнными выше, записывается как ${\displaystyle \mathbf {Mon} _{\mathbf {C} }}$.

• Маклейн С. Категории для работающего математика — М.: Физматлит, 2004.
• Mati Kilp, Ulrich Knauer, Alexander V. Mikhalov, Monoids, Acts and Categories (2000), Walter de Gruyter, Berlin — ISBN 3-11-015248-7