Линейная функция

Линейная функция — функция вида

${\displaystyle y=kx+b}$ (для функций одной переменной).

Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. То есть функция является обобщением прямой пропорциональности.

Графиком линейной функции является прямая, с чем и связано её название. Это касается вещественной функции одной вещественной переменной.

• В случаях ${\displaystyle b=0}$ линейные функции называются однородными (это в сущности синоним прямой пропорциональности), в отличие от ${\displaystyle b\neq 0}$ — неоднородных линейных функций.

• ${\displaystyle k}$ (угловой коэффициент прямой) является тангенсом угла ${\displaystyle \alpha \in \left[0;{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2}};\pi \right),}$ который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс, и может быть найден по формуле ${\displaystyle k=\mathrm {tg} \,\alpha ={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}}$.
• При ${\displaystyle k>0}$, прямая образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс.
• При ${\displaystyle k<0}$, прямая образует тупой угол с положительным направлением оси абсцисс.
• При ${\displaystyle k=0}$, прямая параллельна оси абсцисс.

Угол между двумя прямыми, задаваемыми уравнениями ${\displaystyle y=k_{1}x+b_{1},}$ и ${\displaystyle y=k_{2}x+b_{2},}$ определяется равенством: ${\displaystyle \mathrm {tg} \,\alpha =\left|{\frac {k_{1}-k_{2}}{1+k_{1}k_{2}}}\right|,}$ где ${\displaystyle k_{1}k_{2}\neq -1,}$ то есть прямые не являются взаимно перпендикулярными; при ${\displaystyle k_{1}=k_{2},~\alpha =0}$ и прямые параллельны.

• ${\displaystyle b}$ является показателем ординаты точки пересечения прямой с осью ординат.
• При ${\displaystyle b=0}$, прямая проходит через начало координат.

Линейная функция монотонна и невыпукла на всей области определения ${\displaystyle (\mathbb {R} )}$, производная ${\displaystyle f'(x)}$ и первообразная ${\displaystyle F(x)}$ функции ${\displaystyle f(x)=kx+b}$ запишутся:

• ${\displaystyle f'(x)=k}$
• ${\displaystyle F(x)={\frac {kx^{2}}{2}}+bx+C}$

Обратная функция к ${\displaystyle f(x)}$ : ${\displaystyle f^{-1}(x)={\frac {1}{k}}\,x-{\frac {b}{k}}}$

Линейная функция ${\displaystyle n}$ переменных ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ — функция вида

${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}}$

где ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$ — некоторые фиксированные числа. Областью определения линейной функции является всё ${\displaystyle n}$-мерное пространство переменных ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ вещественных или комплексных. При ${\displaystyle a_{0}=0}$ линейная функция называется однородной, или линейной формой.

Если все переменные ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ и коэффициенты ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$ — вещественные числа, то графиком линейной функции в ${\displaystyle (n+1)}$-мерном пространстве переменных ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},y}$ является ${\displaystyle n}$-мерная гиперплоскость

${\displaystyle y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}}$

в частности при ${\displaystyle n=1}$ — прямая линия на плоскости.

Термин «линейная функция», или, точнее, «линейная однородная функция», часто применяется для линейного отображения векторного пространства ${\displaystyle X}$ над некоторым полем ${\displaystyle K}$ в это поле, то есть для такого отображения ${\displaystyle f:X\to K}$, что для любых элементов ${\displaystyle x,y\in X}$ и любых ${\displaystyle \alpha ,\beta \in K}$ справедливо равенство

${\displaystyle f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)}$

причём в этом случае вместо термина «линейная функция» используются также термины линейный функционал и линейная форма — также означающие линейную однородную функцию определённого класса.

Булева функция ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ называется линейной, если существуют такие ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$, где ${\displaystyle a_{i}\in \{0,1\},\forall i={\overline {1,n}}}$, что для любых ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ имеет место равенство:

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=a_{0}\oplus a_{1}\cdot x_{1}\oplus a_{2}\cdot x_{2}\oplus \dots \oplus a_{n}\cdot x_{n}}$.

Для функций, не являющихся линейными, употребляют термин нелинейные функции. То же относится и к употреблению слова нелинейные в отношении других объектов, не обладающих свойством линейности, например — нелинейные дифференциальные уравнения. Обычно термин используется, когда функциональную зависимость вначале приближают линейной, а потом переходят к изучению более общего случая, часто начиная с младших степеней, например рассматривая квадратичные поправки.

Нелинейные уравнения достаточно произвольны. К примеру, нелинейной является функция ${\displaystyle y=x^{2}}$.

В ряде случаев этот термин может применяться и к зависимостям ${\displaystyle f=kx+b}$, где ${\displaystyle b\neq 0}$, то есть к неоднородным линейным функциям, поскольку они не обладают свойством линейности, а именно в этом случае ${\displaystyle f(x_{1}+x_{2})\neq f(x_{1})+f(x_{2})}$ и ${\displaystyle f(cx)\neq cf(x)}$. Например, нелинейной зависимостью считают ${\displaystyle \sigma (\tau )}$ для материала с упрочнением (см. теория пластичности).

• Сублинейная функция
• Линейное уравнение
• Кусочно-линейная функция
• Целая рациональная функция