Однородная функция

Однородная функция степени ${\displaystyle q}$ — числовая функция ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ такая, что для любого ${\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}}$из области определения функции ${\displaystyle f}$ и любого ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ выполняется равенство:

${\displaystyle f(\lambda \mathbf {v} )=\lambda ^{q}f(\mathbf {v} ).\qquad \qquad (*)}$

Параметр ${\displaystyle q}$ называется порядком однородности. Подразумевается, что если ${\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}}$входит в область определения функции, то все точки вида ${\displaystyle \lambda \mathbf {v} }$ тоже входят в область определения функции.

Различают также

• положительно однородные функции, для которых равенство ${\displaystyle (*)}$ выполняется только для положительных ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle (\lambda >0),}$
• абсолютно однородные функции для которых выполняется равенство
      ${\displaystyle f(\lambda \mathbf {v} )=|\lambda |^{q}f(\mathbf {v} ),}$
• ограниченно однородные функции, для которых равенство ${\displaystyle (*)}$ выполняется только для некоторых выделенных значений ${\displaystyle \lambda ,}$
• комплексные однородные функции ${\displaystyle f:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$ для которых равенство ${\displaystyle (*)}$ справедливо при ${\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}}$ и ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ или ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ (а также для комплексных показателей ${\displaystyle q\in \mathbb {C} }$).

В некоторых математических источниках однородными называются функции, являющиеся решением функционального уравнения $${\displaystyle f(\lambda \mathbf {v} )=g(\lambda )f(\mathbf {v} )}$$ с заранее неопределённой функцией ${\displaystyle g(\lambda )}$ и лишь потом доказывается, что ${\displaystyle g(\lambda )=\lambda ^{q}.}$ Для единственности решения ${\displaystyle g(\lambda )=\lambda ^{q}}$ нужно дополнительное условие, что функция ${\displaystyle f(\mathbf {v} )}$ не равна тождественно нулю и что функция ${\displaystyle g(\lambda )}$ принадлежит определённому классу функций (например, была непрерывной или была монотонной). Однако, если функция ${\displaystyle f(\mathbf {v} )}$ непрерывна хотя бы в одной точке с ненулевым значением функции, то ${\displaystyle g(\lambda )}$ должна быть непрерывной функцией при всех значениях ${\displaystyle \lambda ,}$ и тем самым для широкого класса функций ${\displaystyle f(\mathbf {v} )}$ случай ${\displaystyle g(\lambda )\equiv \lambda ^{q}}$ — единственно возможный.

Обоснование:

Функция, тождественно равная нулю, удовлетворяет функциональному уравнению ${\displaystyle f(\lambda \mathbf {v} )=g(\lambda )f(\mathbf {v} )}$ при любом выборе функции ${\displaystyle g(\lambda ),}$ однако этот вырожденный случай не представляет особого интереса.

Если же в какой-то точке ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$ значение ${\displaystyle f(\mathbf {v} _{0})\neq 0,}$ то:

1. ${\displaystyle g(\lambda _{1}\lambda _{2})f(\mathbf {v} _{0})=f(\lambda _{1}\lambda _{2}\mathbf {v} _{0})=g(\lambda _{1})f(\lambda _{2}\mathbf {v} _{0})=g(\lambda _{1})g(\lambda _{2})f(\mathbf {v} _{0})}$, откуда: $${\displaystyle \forall \lambda _{1},\lambda _{2}:g(\lambda _{1}\lambda _{2})=g(\lambda _{1})g(\lambda _{2});}$$
2. ${\displaystyle g(\lambda _{1}\lambda _{2})=g(\lambda _{1})g(\lambda _{2})\Leftrightarrow G(\mu _{1}+\mu _{2})=G(\mu _{1})+G(\mu _{2}),}$ где ${\displaystyle \mu =\log \lambda ,G(\mu )=\log g(\exp(\mu )).}$

Функциональное уравнение Коши ${\displaystyle G(\mu _{1}+\mu _{2})=G(\mu _{1})+G(\mu _{2})}$ имеет решение в виде линейной функции: ${\displaystyle G(t)=q\cdot t,}$ причём для класса непрерывных или класса монотонных функций это решение единственное. Поэтому если известно, что ${\displaystyle g(\lambda )}$ непрерывная или монотонная функция, то ${\displaystyle g(\lambda )\equiv \lambda ^{q}.}$

Доказательство непрерывности ${\displaystyle g(\lambda ),}$ если ${\displaystyle f(\mathbf {v} )}$ непрерывна хотя бы в одной точке

Пусть функция ${\displaystyle f(\mathbf {v} )}$ непрерывна в фиксированной точке ${\displaystyle \mathbf {v} _{0},}$ причём ${\displaystyle f(\mathbf {v} _{0})\neq 0.}$ Рассмотрим тождество

${\displaystyle f((1+\varepsilon )\lambda _{0}\mathbf {v} _{0})=g((1+\varepsilon )\lambda _{0})f(\mathbf {v} _{0})=g(\lambda _{0})f((1+\varepsilon )\mathbf {v} _{0}).}$

При ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$ значение ${\displaystyle f((1+\varepsilon )\mathbf {v} _{0})}$ стремится к ${\displaystyle f(\mathbf {v} _{0})}$ в силу непрерывности функции ${\displaystyle f(\mathbf {v} )}$ в точке ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}.}$ Поскольку ${\displaystyle f(\mathbf {v} _{0})\neq 0,}$ то это означает, что ${\displaystyle g((1+\varepsilon )\lambda _{0})}$ стремится к ${\displaystyle g(\lambda _{0}),}$ то есть что функция ${\displaystyle g(\lambda )}$ непрерывна в точке ${\displaystyle \lambda _{0}.}$ Поскольку ${\displaystyle \lambda _{0}}$ может быть выбрано любым, то ${\displaystyle g(\lambda )}$ непрерывна во всех точках.

Следствие: Если однородная функция ${\displaystyle f(\mathbf {v} )}$ непрерывна в точке ${\displaystyle \mathbf {v} _{0},}$ то ${\displaystyle f(\mathbf {v} )}$ будет непрерывной также во всех точках вида ${\displaystyle \lambda \mathbf {v} _{0}}$ (в том числе и тогда, когда ${\displaystyle f(\mathbf {v} _{0})=0}$).

1. Если ${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots }$ — однородные функции одного и того же порядка ${\displaystyle q,}$ то их линейная комбинация с постоянными коэффициентами будет однородной функцией того же порядка ${\displaystyle q.}$
2. Если ${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots }$ — однородные функции с порядками ${\displaystyle q_{1},q_{2},\dots ,}$ то их произведение будет однородной функцией с порядком ${\displaystyle q=q_{1}+q_{2}+\dots .}$
3. Если ${\displaystyle f}$ — однородная функция порядка ${\displaystyle q,}$ то её ${\displaystyle m}$-ая степень (не обязательно целочисленная), если она имеет смысл (то есть если ${\displaystyle m}$ — целое число, или если значение ${\displaystyle f}$ положительно), будет однородной функцией порядка ${\displaystyle mq}$ на соответствующей области определения. В частности, если ${\displaystyle f}$ — однородная функция порядка ${\displaystyle q}$, то ${\displaystyle 1/f}$ будет однородной функцией порядка ${\displaystyle (-q)}$ и областью определения в точках, где ${\displaystyle f}$ определена и не равна нулю.
4. Если ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)}$ — однородная функция порядка ${\displaystyle p,}$ а ${\displaystyle h_{k}\left(y_{1},y_{2},\dots ,y_{m}\right)}$ — однородные функции порядка ${\displaystyle q,}$ то суперпозиция функций ${\displaystyle F\left(y_{1},y_{2},\dots ,y_{m}\right)=f\left(h_{1},h_{2},\dots ,h_{n}\right)}$ будет однородной функцией порядка ${\displaystyle pq.}$
5. Если ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)}$ — однородная функция ${\displaystyle n}$ переменных степени ${\displaystyle p,}$ и гиперплоскость ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\dots =x_{j}=0}$ принадлежит её области определения, то функция ${\displaystyle \left(n-j\right)}$ переменных ${\displaystyle g\left(x_{j+1},x_{j+2},\dots ,x_{n}\right)=f\left(0,\dots ,0,x_{j+1},\dots ,x_{n}\right)}$ будет однородной функцией степени ${\displaystyle p.}$
6. Логарифм однородной функции нулевого порядка или логарифм модуля однородной функции нулевого порядка является однородной функцией нулевого порядка. Логарифм однородной функции или логарифм модуля однородной функции является однородной функцией тогда и только тогда, когда порядок однородности самой функции равен нулю.
7. Модуль однородной функции или модуль абсолютно-однородной функции является абсолютно-однородной функцией. Модуль однородной функции или модуль положительно однородной функции является положительно однородной функцией. Модуль однородной функции нулевого порядка является однородной функцией нулевого порядка. Абсолютно-однородная функция нулевого порядка является однородной функцией нулевого порядка, и наоборот.
8. Произвольная функция от однородной функции нулевого порядка является однородной функцией нулевого порядка.
9. Если ${\displaystyle h_{k}\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)}$ —— положительно однородные функции порядка ${\displaystyle p,}$ где ${\displaystyle p\neq 0,}$ а ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=g\left(h_{1},h_{2},\dots ,h_{m}\right)}$ —— положительно однородная функция порядка ${\displaystyle q,}$ то функция ${\displaystyle g\left(y_{1},y_{2},\dots ,y_{m}\right)}$ будет положительно однородной функцией порядка ${\displaystyle q/p}$ во всех точках ${\displaystyle y}$, в которых система уравнений ${\displaystyle y_{1}=h_{1}\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)}$, ..., ${\displaystyle y_{m}=h_{m}\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)}$ имеет решение. Если при этом ${\displaystyle p}$ —— нечётное целое число, то положительную однородность можно заменить на обычную однородность. Следствие: если имеется непрерывная или монотонная функция ${\displaystyle g(y)}$, причём ${\displaystyle g\left(f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)\right)}$ —— однородная или положительно однородная функция, где ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)}$ —— однородная или положительно однородная функция ненулевого порядка, то ${\displaystyle g(y)=cy^{m}}$ —— степенная функция во всех точках ${\displaystyle y}$, в которых уравнение ${\displaystyle y=f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)}$ имеет решение. В частности, ${\displaystyle f(x)=cx^{q}}$ —— единственная монотонная или непрерывная функция одного переменного, являющаяся однородной функцией порядка ${\displaystyle q}$ . (Доказательство дублирует рассуждения из раздела «Альтернативное определение однородной функции» этой статьи. При этом если снять ограничение, что функция ${\displaystyle g(y)}$ —— непрерывная или же монотонная, то могут иметься и другие, весьма экзотические решения для ${\displaystyle g(y)}$, см. статью «Базис Гамеля».)
10. Если функция  ${\displaystyle f}$  является многочленом от  ${\displaystyle n}$  переменных, то она будет однородной функцией степени  ${\displaystyle q}$  в том и только в том случае, когда  ${\displaystyle f}$ — однородный многочлен степени  ${\displaystyle q.}$  В частности, в этом случае порядок однородности ${\displaystyle q}$  должен быть натуральным числом или нулём. (Для доказательства надо сгруппировать вместе мономы многочлена ${\displaystyle cx_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}}$ с одинаковыми порядками однородности ${\displaystyle k_{j}=i_{1}+i_{2}+\dots +i_{n}}$, подставить результат в равенство ${\displaystyle (*)}$ и использовать тот факт, что степенные функции ${\displaystyle \lambda ^{k_{1}},\lambda ^{k_{2}},\dots }$ с разными показателями степени, в том числе и нецелочисленными, являются линейно независимыми.) Утверждение можно обобщить на случай линейных комбинаций мономов вида ${\displaystyle cx_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}}$ с нецелочисленными индексами.
11. Если конечное произведение многочленов является однородной функцией, то каждый сомножитель является однородным многочленом. (Для доказательства выберем в каждом сомножителе мономы ${\displaystyle cx_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}}$ с минимальным и максимальным порядками однородности ${\displaystyle k=i_{1}+i_{2}+\dots +i_{n}}$. Поскольку после перемножения получившийся многочлен должен состоять из мономов с одним и тем же порядком однородности, то для каждого сомножителя минимальный и максимальный порядок однородности должен быть одним и тем же числом.) Утверждение можно обобщить на случай линейных комбинаций мономов вида ${\displaystyle cx_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}}$ с нецелочисленными индексами.
12. Если числитель и знаменатель дробно-рациональной функции ${\displaystyle f={\frac {P_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})}{Q_{m}(x_{1},\dots ,x_{m})}}}$ являются однородными многочленами, функция будет однородной с порядком однородности, равным разности порядков однородности числителя и знаменателя. Если дробно-рациональная функция является однородной, её числитель и знаменатель с точностью до общего множителя — однородные многочлены. Утверждение можно обобщить на случай дробно-рационального отношения линейных комбинаций мономов вида ${\displaystyle cx_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}}$ с нецелочисленными индексами.
13. Однородная функция ненулевой степени в нуле равна нулю, если она там определена:  ${\displaystyle f(\mathbf {0} )=0.}$ (Получается при подстановке в равенство ${\displaystyle (*)}$ значения  ${\displaystyle \lambda =0}$  либо, в случае отрицательной степени однородности, значения ${\displaystyle \mathbf {v} =0.}$) Однородная функция нулевой степени, если она определена в нуле, может принимать в этой точке любое значение.
14. Если однородная функция нулевой степени непрерывна в нуле, то она является константой (произвольной). Если однородная функция отрицательной степени непрерывна в нуле, то она тождественный ноль. (Преобразованием ${\displaystyle \mathbf {v'} =\lambda \mathbf {v} }$ можно любую точку ${\displaystyle \mathbf {v} }$ сколь угодно близко приблизить к нулю. Поэтому если функция в нуле непрерывна, то можно выразить значение функции в точке ${\displaystyle \mathbf {v} }$ через её значение в точке ${\displaystyle \mathbf {0} }$ с помощью соотношения ${\displaystyle \lim _{\lambda \to 0}\lambda ^{q}f(\mathbf {v} )=f(\mathbf {0} ).}$)
15. Однородная функция положительной степени в нуле стремится к нулю по любому направлению, которое входит в её область определения, а однородная функция отрицательной степени —— к бесконечности, знак которой зависит от направления, если только функция не является тождественным нулём вдоль данного направления. Однородная функция положительной степени непрерывна в нуле или может быть доопределена до непрерывной в нуле, если в её область определения входит ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестность нуля. Однородная функция нулевой степени может быть как разрывна, так и непрерывна в нуле, и в случае разрывности является константой, зависящей от направления, вдоль каждого луча с вершиной в начале координат, если направление входит в её область определения. (Получается при подстановке в равенство ${\displaystyle (*)}$ значения  ${\displaystyle \lambda \to 0.}$)
16. Если однородная функция ${\displaystyle f}$ в нуле является аналитической (то есть, разлагается в сходящийся ряд Тейлора с ненулевым радиусом сходимости), то она является многочленом (однородным многочленом). В частности, в этом случае порядок однородности должен быть натуральным числом или нулём. (Для доказательства достаточно представить функцию в виде ряда Тейлора, сгруппировать вместе члены ряда Тейлора ${\displaystyle cx_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}}$ с одинаковыми порядками однородности ${\displaystyle k_{j}=i_{1}+i_{2}+\dots +i_{n}}$, подставить результат в равенство ${\displaystyle (*)}$ и использовать, что степенные функции ${\displaystyle \lambda ^{k_{1}},\lambda ^{k_{2}},\dots }$ с разными показателями степени, в том числе и нецелочисленными, являются линейно независимыми.)
17. Функция  ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},...,x_{n}/x_{1})}$ , где  ${\displaystyle h(t_{2},t_{3},...,t_{n})}$ — функция  ${\displaystyle (n-1)}$  переменных, является однородной функцией с порядком однородности  ${\displaystyle q.}$  Функция  ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=|x|^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},...,x_{n}/x_{1}),}$  где  ${\displaystyle h(t_{2},t_{3},...,t_{n})}$ — функция  ${\displaystyle (n-1)}$  переменных, является абсолютно-однородной функцией с порядком однородности  ${\displaystyle q.}$ 
18. Соотношение Эйлера: для дифференцируемых однородных функций скалярное произведение их градиента на вектор своих переменных пропорционально самой функции с коэффициентом, равным порядку однородности:  ${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \nabla f(\mathbf {v} )=qf(\mathbf {v} )}$  или, в эквивалентной записи,  ${\displaystyle \sum x_{k}f'_{x_{k}}=qf.}$  Получается при дифференцировании равенства ${\displaystyle (*)}$ по  ${\displaystyle \lambda }$  при  ${\displaystyle \lambda =1.}$ 
19. Если  ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ — дифференцируемая однородная функция c порядком однородности  ${\displaystyle q}$ , то её первые частные производные по каждой из независимых переменных ${\displaystyle f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ — это однородные функции c порядком однородности  ${\displaystyle q-1}$.  Для доказательства достаточно продифференцировать по  ${\displaystyle x_{k}}$  правую и левую части тождества  ${\displaystyle f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{q}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$  и получить тождество  ${\displaystyle f'_{x_{k}}(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{q-1}f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).}$ 
20. Если  ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ — однородная функция c порядком однородности  ${\displaystyle q}$ , то её интеграл (при условии существования такого интеграла) по любой независимой переменной начиная от нуля ${\displaystyle F(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\int _{0}^{x_{1}}f(t,x_{2},...,x_{n})dt}$  — это однородные функции c порядком однородности  ${\displaystyle q+1.}$ Доказательство: ${\displaystyle F(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=}$${\displaystyle \int _{0}^{\lambda x_{1}}f(t,\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})dt=}$${\displaystyle \lambda \int _{0}^{x_{1}}f(\lambda t',\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})dt'=}$${\displaystyle \lambda ^{q+1}\int _{0}^{x_{1}}f(t',x_{2},...,x_{n})dt'=}$${\displaystyle \lambda ^{q+1}F(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ (здесь сделана замена переменной интегрирования ${\displaystyle t=\lambda t'}$).
21. Если  ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ — однородная функция c порядком однородности  ${\displaystyle q}$ , то её дробная производная (дифферинтеграл) порядка ${\displaystyle \alpha }$, вычисляемая как ${\displaystyle G(x_{1},x_{2},...,x_{n})={\frac {1}{\Gamma (n-\alpha )}}{\frac {d^{n}}{dx_{1}^{n}}}\int _{0}^{x_{1}}(x_{1}-t)^{n-\alpha -1}f(t,x_{2},...,x_{n})\,dt}$ по любой независимой переменной начиная от нуля (при условии существования соответствующего интеграла, для чего требуется выбирать ${\displaystyle n>\alpha }$) — это однородные функции c порядком однородности  ${\displaystyle q-\alpha .}$ Рассмотрим функцию ${\displaystyle H(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\int _{0}^{x_{1}}(x_{1}-t)^{n-\alpha -1}f(t,x_{2},...,x_{n})\,dt}$ . Тогда ${\displaystyle H(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=}$${\displaystyle \int _{0}^{\lambda x_{1}}(\lambda x_{1}-t)^{n-\alpha -1}f(t,\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})\,dt=}$${\displaystyle \lambda \int _{0}^{x_{1}}(\lambda x_{1}-\lambda t')^{n-\alpha -1}f(\lambda t',\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})\,dt'=}$${\displaystyle \lambda ^{q+n-\alpha }\int _{0}^{x_{1}}(x_{1}-t')^{n-\alpha -1}f(t',x_{2},...,x_{n})dt'=}$${\displaystyle \lambda ^{q+n-\alpha }H(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ (здесь сделана замена переменной интегрирования ${\displaystyle t=\lambda t'}$). После ${\displaystyle n}$-кратного дифференцирования по переменной ${\displaystyle x_{1}}$ однородная функция ${\displaystyle H(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ порядка ${\displaystyle q+n-\alpha }$ становится однородной функцией c порядком однородности  ${\displaystyle q-\alpha }$ .
22. Если  ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ — однородная функция c порядком однородности  ${\displaystyle q}$ , то её ${\displaystyle n}$-мерная свёртка с обобщённым Абелевым ядром, вычисляемая как ${\displaystyle H(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\int _{0}^{x_{1}}\dots \int _{0}^{x_{n}}(x_{1}^{k_{1}}-t_{1}^{k_{1}})^{\left(\mu _{1}-1\right)/k_{1}}\dots (x_{n}^{k_{n}}-t_{n}^{k_{n}})^{\left(\mu _{n}-1\right)/k_{n}}f(t_{1},...,t_{n})\,dt_{1}\dots dt_{n}}$ (при условии существования соответствующего интеграла) — это однородная функция c порядком однородности  ${\displaystyle q+\mu _{1}+\dots +\mu _{n}}$ . Доказательство: ${\displaystyle H(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=}$${\displaystyle \int _{0}^{\lambda x_{1}}\dots \int _{0}^{\lambda x_{n}}(\lambda ^{k_{1}}x_{1}^{k_{1}}-t_{1}^{k_{1}})^{\left(\mu _{1}-1\right)/k_{1}}\dots (\lambda ^{k_{n}}x_{n}^{k_{n}}-t_{n}^{k_{n}})^{\left(\mu _{n}-1\right)/k_{n}}f(t_{1},...,t_{n})\,dt_{1}\dots dt_{n}=}$${\displaystyle \lambda ^{n}\int _{0}^{x_{1}}\dots \int _{0}^{x_{n}}(\lambda ^{k_{1}}x_{1}^{k_{1}}-\lambda ^{k_{1}}t_{1}'^{k_{1}})^{\left(\mu _{1}-1\right)/k_{1}}\dots (\lambda ^{k_{n}}x_{n}^{k_{n}}-\lambda ^{k_{n}}t_{n}'^{k_{n}})^{\left(\mu _{n}-1\right)/k_{n}}f(\lambda t_{1}',...,\lambda t_{n}')\,dt_{1}'\dots dt_{n}'=}$${\displaystyle \lambda ^{q+\mu _{1}+\dots +\mu _{n}}\int _{0}^{x_{1}}\dots \int _{0}^{x_{n}}(x_{1}^{k_{1}}-t_{1}'^{k_{1}})^{\left(\mu _{1}-1\right)/k_{1}}\dots (x_{n}^{k_{n}}-t_{n}'^{k_{n}})^{\left(\mu _{n}-1\right)/k_{n}}f(t_{1}',...,t_{n}')\,dt_{1}'\dots dt_{n}'=}$${\displaystyle \lambda ^{q+\mu _{1}+\dots +\mu _{n}}H(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ , где сделана замена переменных интегрирования ${\displaystyle t_{k}=\lambda t_{k}'}$ . (Примечание: возможно выполнение свёртки только по части переменных.)

Теорема. Любая однородная функция с порядком однородности ${\displaystyle q}$ может быть представлена в форме

     ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},...,x_{n}/x_{1}),}$ 

где  ${\displaystyle h(t_{2},t_{3},...,t_{n})}$ — некоторая функция  ${\displaystyle (n-1)}$  переменных. Любая абсолютно-однородная функция с порядком однородности  ${\displaystyle q}$  может быть представлена как

  ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=|x|^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},...,x_{n}/x_{1}),}$ 

где  ${\displaystyle h(t_{2},t_{3},...,t_{n})}$ — некоторая функция  ${\displaystyle (n-1)}$  переменных.

Следствие. Любая однородная функция степени ${\displaystyle q}$ (абсолютно-однородная функция степени ${\displaystyle q}$) может быть представлена в форме

     ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\phi (x_{1},x_{2},...,x_{n})\cdot h(\phi _{1}(x_{1},x_{2},...,x_{n}),\phi _{2}(x_{1},x_{2},...,x_{n}),...,\phi _{n-1}(x_{1},x_{2},...,x_{n})),}$ 

где  ${\displaystyle h(t_{1},t_{2},...,t_{n-1})}$ — некоторая подходящая функция  ${\displaystyle (n-1)}$  переменных, ${\displaystyle \phi (x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ — фиксированная однородная функция степени ${\displaystyle q}$ (фиксированная абсолютно-однородная функция степени ${\displaystyle q}$), а ${\displaystyle \phi _{1}(x_{1},x_{2},...,x_{n}),}$ ${\displaystyle \phi _{2}(x_{1},x_{2},...,x_{n}))}$, ..., ${\displaystyle \phi _{n-1}(x_{1},x_{2},...,x_{n}))}$ — фиксированные функционально-независимые однородные функции нулевой степени. При фиксированном выборе функций ${\displaystyle \phi ,\phi _{1},\phi _{2},...,\phi _{n-1}}$ это представление задаёт взаимно-однозначное соответствие между однородными функциями ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ степени ${\displaystyle q}$ от ${\displaystyle n}$ переменных и функциями ${\displaystyle h(t_{1},t_{2},...,t_{n-1})}$ от ${\displaystyle (n-1)}$ переменных.

Теорема Эйлера для однородных функций. Для того, чтобы дифференцируемая функция  ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$  была однородной функцией с порядком однородности  ${\displaystyle q,}$  необходимо и достаточно выполнение соотношения Эйлера

 ${\displaystyle \sum x_{k}f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})=qf(x_{1},x_{2},...,x_{n}).}$ 

Следствие. Если функция дифференцируема и в каждой точке пространства соотношение однородности ${\displaystyle (*)}$ справедливо в некотором интервале значений  ${\displaystyle \lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon \right]\subset \left[0,\infty \right),}$  то оно справедливо для всех  ${\displaystyle \lambda >0.}$ 

Пусть задан вектор  ${\displaystyle \mathbf {\lambda } =(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n}).}$  Функция ${\displaystyle n}$ переменных  ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$  называется ${\displaystyle \lambda }$-однородной c порядком однородности  ${\displaystyle q}$ , если при любых  ${\displaystyle t>0}$  и любых  ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},...,x_{n})\in {\mathbb {R} }^{n}}$  справедливо тождество

${\displaystyle f(t^{\lambda _{1}}x_{1},t^{\lambda _{2}}x_{2},...,t^{\lambda _{n}}x_{n})=t^{q}f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).}$

При  ${\displaystyle \lambda _{k}=1}$  ${\displaystyle \lambda }$-однородные функции переходят в обычные однородные функции. Иногда вместо порядка однородности  ${\displaystyle q}$  вводят степень однородности  ${\displaystyle m}$,  определяемую из соотношения

${\displaystyle f(t^{\lambda _{1}}x_{1},t^{\lambda _{2}}x_{2},...,t^{\lambda _{n}}x_{n})=t^{m{\frac {|\mathbf {\lambda } |}{n}}}f(x_{1},x_{2},...,x_{n}),}$

где  ${\displaystyle |\mathbf {\lambda } |=\sum |\lambda _{k}|.}$  Для обычных однородных функций порядок однородности  ${\displaystyle q}$  и степень однородности  ${\displaystyle m}$  совпадают.

Если частные производные  ${\displaystyle f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$  непрерывны в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, то для ${\displaystyle \lambda }$-однородных функций справедливо соотношение, обобщающее соотношение Эйлера и получающееся при дифференцировании тождества для  ${\displaystyle \lambda }$-однородности в точке  ${\displaystyle t=1}$: