Оператор эволюции (генератор эволюции во времени)— оператор в квантовой механике, заданный на гильбертовом пространстве, который переводит состояние системы из начального момента времени в любой другой.
Оператор эволюции связан с оператором Гамильтона следующими формулами:
|
|
где
— операторы упорядочивания и анти-упорядочивания по времени.
В частности, если гамильтониан не зависит от времени, то оператор эволюции имеет вид:
|
1.
[1] — унитарный оператор.
2.
.
3.
[2], где
— единичный оператор.
Согласно постулатам квантовой механики чистое состояние системы описывается вектором из гильбертова пространства
. Введём оператор
, который действует по правилу:
.
Введённый оператор должен быть унитарным, чтобы нормировка вектора состояния сохранялась во времени. В представлении Шрёдингера вектор состояния удовлетворяет уравнению Шрёдингера:
![{\displaystyle {\hat {H}}(t)\left|\Psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\Psi (t)\right\rangle ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e6d80357876d392d0257924273d684b244e4cda)
где
— оператор Гамильтона.
Если гамильтониан не зависит от времени, то
— является решением уравнения Шрёдингера. Отсюда следует, что оператор эволюции имеет вид:
.
Теперь пусть оператор Гамильтона зависит от времени и пусть
. Тогда разобьём рассматриваемый промежуток времени на интервалы
и будем считать, что в каждом из этих интервалов оператор Гамильтона постоянен
, при
. Тогда в любой момент времени, согласно предыдущим рассуждениям, вектор состояния имеет вид:
.
Теперь введём оператор упорядочивания по времени
, который действует по следующему правилу:
![{\displaystyle T\{{\hat {H}}(t_{P(m)}){\hat {H}}(t_{P(m-1)})\dots {\hat {H}}_{P(1)}\}={\hat {H}}(t_{m}){\hat {H}}(t_{m-1})\dots {\hat {H}}(t_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99d8231678f439c7ddffd97abea54089b0c34b5c)
при
, для любой перестановки
.
С учётом этого волновую функцию можно написать в виде:
.
Для коммутирующих операторов
справедливо, что
. Так как операторы под знаком T-упорядочивания коммутируют, то последнее переписывается в виде:
.
При
получаем, что
.
Поэтому
.
Теперь рассмотрим оператор
при
. Это то же самое, если рассмотреть
при
. Воспользуемся тем, что
,
где
— единичный оператор.
Тогда:
![{\displaystyle \lim _{n\rightarrow 0}{\hat {S}}(t_{0},t)e^{-i{\hat {H}}(t_{n})(t-t_{n})/\hbar }\dots e^{-i{\hat {H}}(t_{1})(t_{2}-t_{1})/\hbar }e^{-i{\hat {H}}(t_{0})(t_{1}-t_{0})/\hbar }={\hat {I}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed52b70360bd4ea139feb79b241b42f58a404f0b)
и непосредственной проверкой убеждаемся, что
,
где
— оператор анти-упорядочивания по времени.
- ↑ Оператор эволюции должен быть унитарным, чтобы нормировка вектора состояния сохранялась во времени
. - ↑ Свойство 3 является следствием свойства 2.