Ортогональное преобразование

Ортогональное преобразование — линейное преобразование $A$ евклидова пространства $L$ , сохраняющее длины или (что эквивалентно) скалярное произведение векторов. Это означает, что для любых двух векторов $x,y\in L$ выполняется равенство

\langle A(x),\,A(y)\rangle =\langle x,\,y\rangle ,

где треугольными скобками обозначено скалярное произведение $\langle x,\,y\rangle$ в пространстве $L$ .

Свойства

Ортогональные преобразования (и только они) переводят один ортонормированный базис евклидова пространства в другой ортонормированный.
Необходимым и достаточным условием ортогональности линейного преобразования $A$ является равенство
$A^{*}=A^{-1},\qquad (*)$

где

A^{*}

— сопряжённое, а

A^{-1}

— обратное преобразования.

В ортонормированном базисе ортогональным преобразованиям (и только им) соответствуют ортогональные матрицы. Таким образом, критерием ортогональности матрицы $A$ является равенство (*), где $A^{*}$ — транспонированная, а $A^{-1}$ — обратная матрицы.
Собственные значения ортогональных преобразований по модулю равны $1$ , а собственные векторы (вообще говоря, комплексные), отвечающие различным собственным значениям, ортогональны. Например, собственные значения матрицы ${\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}$ равны $\cos \varphi \pm i\cdot \sin \varphi$ , а собственные векторы равны ${\begin{pmatrix}1\\\mp i\end{pmatrix}}$ .
Определитель ортогонального преобразования равен $1$ (собственное ортогональное преобразование) или $-1$ (несобственное ортогональное преобразование).
В произвольном $n$ -мерном евклидовом пространстве ортогональное преобразование является композицией конечного числа отражений.
Множество всех ортогональных преобразований евклидова пространства образует группу относительно операции композиции — ортогональную группу данного евклидова пространства. Собственные ортогональные преобразования образуют нормальную подгруппу в этой группе (специальную ортогональную группу).

Размерность 2

В случае евклидовой плоскости всякое собственное ортогональное преобразование является поворотом на некоторый угол $\varphi$ , и его матрица в любом ортонормированном базисе имеет вид

{\begin{pmatrix}\ \ \ \cos \varphi &\sin \varphi \\-\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}.

Матрица несобственного ортогонального преобразования имеет вид

{\begin{pmatrix}\ \cos \varphi &\ \ \sin \varphi \\\sin \varphi &-\cos \varphi \end{pmatrix}}.

Она симметрична, имеет собственными числами 1 и −1 и, следовательно, является инволюцией. В подходящем ортонормированном базисе матрица несобственного ортогонального преобразования имеет вид

{\begin{pmatrix}1&\ \ 0\\0&-1\end{pmatrix}},

то есть оно является отражением относительно некоторой прямой. Собственное ортогональное преобразование есть произведение двух отражений:

{\begin{pmatrix}\ \ \ \cos \varphi &\sin \varphi \\-\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&\ \ 0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\ \cos \varphi &\ \ \sin \varphi \\\sin \varphi &-\cos \varphi \end{pmatrix}}.

Размерность 3

В трёхмерном пространстве всякое собственное ортогональное преобразование есть поворот вокруг некоторой оси, а всякое несобственное — композиция поворота вокруг оси и отражения в перпендикулярной плоскости.

Размерность n

Имеет место следующая общая теорема:

Для каждого ортогонального преобразования $A\colon L\to L$ евклидова $n$ -мерного пространства $L$ справедливо такое разложение

L=L_{1}\oplus L_{-1}\oplus M_{\varphi _{1}}\oplus \ldots \oplus M_{\varphi _{k}},

где все подпространства $L_{1},$ $L_{-1}$ и $M_{\varphi _{i}}$ попарно ортогональны и являются инвариантными подпространствами преобразования $A$ , причём:

ограничение $A$ на $L_{1}$ есть $E$ (тождественное преобразование),
ограничение $A$ на $L_{-1}$ есть $-E$ ,
все пространства $M_{\varphi _{i}}$ двумерны (плоскости), и ограничение $A$ на $M_{\varphi _{i}}$ есть поворот плоскости $M_{\varphi _{i}}$ на угол $\varphi _{i}$ .

В терминах матрицы преобразования эту теорему можно сформулировать следующим образом:

Для всякого ортогонального преобразования существует такой ортонормированный базис, в котором его матрица $A$ имеет блочно-диагональный вид:

A=\left({\begin{matrix}\,1&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\\,{}&\ddots &{}&{}&{}&{}&0&{}&{}\\\,{}&{}&1&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\\,{}&{}&{}&-1&{}&{}&{}&{}&{}\\\,{}&{}&{}&{}&\ddots &{}&{}&{}&{}\\\,{}&{}&{}&{}&{}&-1&{}&{}&{}\\\,{}&{}&{}&{}&{}&{}&A_{\varphi _{1}}&{}&{}\\\,{}&{}&0&{}&{}&{}&{}&\ddots &{}\\\,{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&A_{\varphi _{k}}\\\end{matrix}}\right),

где $A_{\varphi _{i}}$ — матрица поворота на угол ${\varphi _{i}}$ (см. формулу выше), число единиц равно размерности подпространства $L_{1}$ и число минус единиц равно размерности подпространства $L_{-1}$ .

Такая запись матрицы $A$ ортогонального преобразования иногда называется приведением к каноническому виду.

См. также

Литература

Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.
Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Линейная алгебра. — Физматлит, Москва, 1999.
Гантмахер Ф. Р. Теория матриц, — М.: Наука, 1966.
Гельфанд И. М., Линейная алгебра. Курс лекций.
Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия, — М.: Наука, 1986.
Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.