Пифагоров строй

Пифагоров строй — музыкальный строй, теорию которого связывают с пифагорейской школой гармоники. Со времён поздней Античности видные теоретики музыки (Никомах, Ямвлих, Боэций и другие) приписывали его непосредственно Пифагору.

Абстрактно-математическое представление о пифагоровом строе (как квинтовой цепи) сложилось в эпоху западноевропейского барокко.

В некоторых научных статьях именуется также «пифагорейским строем»^{[источник не указан 4310 дней]}.

Обычно представляется в виде последовательности квинт (или кварт), например так (цепь из 6 квинт от звука фа):

F — C — G — D — A — E — H

или в виде диатонической гаммы:

В западной музыке пифагорову строю приписывается роль основы не только для античной монодии, но также и для полифонической музыки Средневековья. Музыкальные теоретики всё ещё продолжают описывать интервалы, опираясь на пифагоров строй^{[источник не указан 4409 дней]}, хотя певческая, а затем инструментальная многоголосная тональная музыка не позже XVI века начала осваивать чистый строй. В сравнении с последним, пифагоров является октавно-квинтовым строем, порождаемым натуральными интервалами чистой октавы (1:2) и чистой квинты (2:3)^[1]. У всех занятых в интервальных соотношениях пифагорова строя чисел факторизации основаны на простых числах величиной не более 3. По этой причине, преимущественно в англоязычной среде, пифагоров строй ещё называют настройка предела 3 (англ. 3-limit tuning).

В следующей таблице показаны интервалы пифагорова строя, не превосходящие октаву и получаемые не более чем 18 квинтовыми шагами. Диатонические интервалы (то есть возникающие в пифагоровой 7-ступенной диатонике и получаемые не более чем 6 квинтовыми шагами) выделены жирным шрифтом. Обычным шрифтом отмечены хроматические интервалы (возникающие, наряду с диатоническими интервалами, в 12-ступенном пифагоровом октавном звукоряде, и получаемые 7—11 квинтовыми шагами). Остальные, «дихроматические» (или «энармонические»), интервалы, получаемые 12—18 квинтовыми шагами, выделены курсивом. Эти последние (за исключением пифагоровой коммы, соответствующей увеличенной септиме без октавы, и уменьшённой ноны) соответствуют дважды увеличенным и уменьшенным интервалам диатоники.

Сокращения: «м.» — малая; «б.» — большая; «ум.» — уменьшённая; «ув.» — увеличенная.

В колонках Q и O таблицы показаны соответственно количества квинт и октав, откладыванием которых получается данный интервал (при этом положительным числам соответствует откладывание вверх, а отрицательным — вниз). Например, уменьшённой септиме соответствуют значения Q = −9 и O = 6, то есть уменьшенная септима получается откладыванием от данного звука (высоты) 9 квинт вниз и 6 октав вверх; таким образом, она имеет отношение частот звуков, равное

${\displaystyle \left({\frac {3}{2}}\right)^{-9}\times \left({\frac {2}{1}}\right)^{6}=2^{15}\cdot 3^{-9}={\frac {32768}{19683}}.}$

При этом число О (для интервалов, меньших октавы) однозначно определяется числом Q, находясь от него в функциональной зависимости, определяемой формулой:

${\displaystyle \mathrm {O} =-\lfloor \mathrm {Q} \times (\log _{2}{3}-1)\rfloor ,}$

где ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ — целая часть числа ${\displaystyle x}$^[2].

Далее, каждый из интервалов, указанных в таблице, однозначно представляется как сложенный из T целых тонов (указанных в колонке T), L лимм (колонка L) и K пифагоровых комм (колонка K), при ограничениях

${\displaystyle 0\leqslant T\leqslant 6,\qquad 0\leqslant L\leqslant 1,\qquad -2\leqslant K\leqslant 1}$.

Как видно из таблицы, для диатонических интервалов имеет место одно из трёх пар равенств: ${\displaystyle L=0}$ и ${\displaystyle K=0}$, либо ${\displaystyle L=1}$ и ${\displaystyle K=0}$, либо ${\displaystyle L=0}$ и ${\displaystyle K={-1}}$ (то есть диатонический интервал всегда равен либо целому числу тонов, либо целому числу тонов с прибавленной лиммой, либо меньше целого числа тонов на пифагорову комму). Для хроматических интервалов сверх того могут иметь место соотношения ${\displaystyle L=1}$ и ${\displaystyle K=1}$, либо ${\displaystyle L=1}$ и ${\displaystyle K={-1}}$, а «дихроматических» (выделенных курсивом) — также ${\displaystyle L=0}$ и ${\displaystyle K=1}$, либо ${\displaystyle L=0}$ и ${\displaystyle K={-2}}$.

• Звуковая система
• Квинтовый круг
• Волчья квинта

• Margo Schulter. Pythagorean Tuning and Medieval Polyphony Архивная копия от 12 августа 2013 на Wayback Machine
• [1]