Показательная функция

Показательная функция — математическая функция , где называется основанием степени, а  — показателем степени.

  • В вещественном случае основание степени  — некоторое неотрицательное вещественное число (для отрицательных чисел возведение в вещественную нецелочисленную степень не определено), а аргументом функции является вещественный показатель степени.
  • В теории комплексных функций рассматривается более общий случай, когда аргументом и показателем степени может быть произвольное комплексное число.
  • В самом общем виде — , введена Лейбницем в 1695 г.
График экспоненты

Особо выделяется случай, когда в качестве основания степени выступает число e. Такая функция называется экспонентой (вещественной или комплексной). При этом из-за того, что любое положительное основание может быть представлено в виде степени числа е (), понятие «экспонента» часто употребляют как синоним «показательной функции».

Вещественная функция

[править | править код]

Определение показательной функции

[править | править код]

Пусть  — неотрицательное вещественное число,  — рациональное число: . Тогда определяется, исходя из свойств степени с рациональным показателем, по следующим правилам.

  • Если , то .
  • Если и , то .
  • Если и , то .
    • Значение при не определено.

Для произвольного вещественного показателя значение можно определить как предел последовательности

где  — последовательность рациональных чисел, сходящихся к . То есть

Свойства возведения в степень:

  • / =

Промежутки монотонности:

Показательная функция с основаниями 2 и 1/2

При показательная функция всюду возрастает, причём:

  • (для всякого )

При функция, соответственно, убывает, причём:

  • (для всякого )

То есть показательная функция растёт на бесконечности быстрее любой полиномиальной. Большая скорость роста может быть проиллюстрирована, например, задачей о складывании бумаги.

Обратная функция:

По аналогии с введением функции корня для степенной введём логарифмическую функцию, обратную показательной:

(логарифм по основанию )

Число е:

Отметим уникальное свойство показательной функции, найдём (такое число , производная показательной функции которого равна самой функции):

Возможность определения легко увидеть после сокращения на :

Выбирая , окончательно получим число Эйлера:

Отметим, что функцию можно иначе представить в виде ряда: (справедливость легко установить почленным дифференцированием):

Откуда имеем более точное приближение:

Единственность числа легко показать, варьируя . Действительно, если пройдёт где-то выше, чем , то на том же промежутке найдётся область, где .

Дифференцирование:

Используя функцию натурального логарифма , можно выразить показательную функцию с произвольным положительным основанием через экспоненту. По свойству степени: , откуда по свойству экспоненты и по правилу дифференцирования сложной функции:

Неопределённый интеграл:

Потенцирование и антилогарифм

[править | править код]
Изображение функции нахождения десятичного (10x) и натурального (ex) антилогарифмов в микрокалькуляторе «Электроника МК-51»

Потенцирование (от нем. potenzieren[К 1]) — нахождение числа по известному значению его логарифма[1], то есть решение уравнения . Из определения логарифма вытекает, что , таким образом, возведение в степень может быть названо другими словами «потенцированием по основанию », или вычислением показательной функции от .

Антилогарифм[2] числа x — результат потенцирования, то есть число, логарифм которого (при заданном основании ) равен числу [2][3]:

Термин «антилогарифм» введен Валлисом в 1693 году[4]. Как самостоятельное понятие антилогарифм используется в логарифмических таблицах[5], логарифмических линейках, микрокалькуляторах. Например, для извлечения кубического корня из числа по логарифмическим таблицам следует найти логарифм числа разделить его на 3 и затем (по таблице антилогарифмов) найти антилогарифм результата.

Аналогично логарифмам, антилогарифм по основанию или 10 называется натуральным[6] или десятичным, соответственно.

Антилогарифм также называют обращённым логарифмом[3].

В инженерных калькуляторах потенцирование стандартно представлено в виде двух функций: и .

Комплексная функция

[править | править код]

Для расширения экспоненты на комплексную плоскость определим её с помощью того же ряда, заменив вещественный аргумент на комплексный:

Эта функция имеет те же основные алгебраические и аналитические свойства, что и вещественная. Отделив в ряде для вещественную часть от мнимой, мы получаем знаменитую формулу Эйлера:

Отсюда вытекает, что комплексная экспонента периодична вдоль мнимой оси:

Показательная функция с произвольным комплексным основанием и показателем степени легко вычисляется с помощью комплексной экспоненты и комплексного логарифма.

Пример: ; поскольку (главное значение логарифма), окончательно получаем: .

Примечания

[править | править код]
  1. Потенцирование / Математический энциклопедический словарь, М.: Советская энциклопедия, 1988, стр. 479.
  2. 1 2 Антилогарифм / Математический энциклопедический словарь, М.: Советская энциклопедия, 1988, стр. 73.
  3. 1 2 Антилогарифм / Виноградов, Математическая энциклопедия, том 1.
  4. Математика XVII столетия // История математики, в трёх томах / Под редакцией А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970. — Т. II. — С. 56.
  5. Логарифмические таблицы / Математический энциклопедический словарь, М.: Советская энциклопедия, 1988, стр. 330.
  6. Финансовые инструменты - Коллектив авторов - Google Книги. Дата обращения: 8 июля 2021. Архивировано 9 июля 2021 года.

Комментарии

[править | править код]
  1. Термин впервые встречается у швейцарского математика Иоганна Рана (1659 год).

Литература

[править | править код]