Полилинейная алгебра

Полилине́йная а́лгебра — раздел алгебры, обобщающий понятия линейной алгебры на функции нескольких переменных, линейные по каждому из аргументов.

Основным объектом полилинейной алгебры является полилинейное (${\displaystyle n}$-линейное) отображение:

${\displaystyle f:V_{1}\times \dots \times V_{n}\rightarrow W}$,

где ${\displaystyle V_{1},\dots ,V_{n}}$ и ${\displaystyle W}$ – векторные пространства над определённым полем ${\displaystyle K}$. Условие ${\displaystyle n}$-линейности означает, строго говоря, что для каждого ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$ семейство отображений

${\displaystyle (\pi _{i}f)_{\{x_{k}|k\neq i\}}:V_{i}\rightarrow W;\quad (\pi _{i}f)_{\{x_{k}|k\neq i\}}(x_{i})=f(x_{1},\dots ,x_{n})}$,

зависящее от ${\displaystyle n-1}$ переменных ${\displaystyle \{x_{k}|k\neq i\}}$ как от параметров, состоит из линейных отображений. Можно также определить ${\displaystyle n}$-линейное отображение рекурсивно (по индукции), как линейное отображение из ${\displaystyle V_{n}}$ в векторное пространство ${\displaystyle (n-1)}$-линейных отображений.

• 2-линейное отображение называется билинейным, 3-линейное — трилинейным. Если ${\displaystyle W}$ совпадает с полем ${\displaystyle K,}$ то отображение называется полилинейной формой.

• Полилинейная форма называется симметричной, если её значение не изменятся при перестановке любых двух аргументов, и следовательно, при любой перестановке всех аргументов.
• Полилинейная форма называется кососимметричной (антисимметричной), если её значение изменятся на противоположное при перестановке любых двух аргументов. Следовательно, при перестановке всех аргументов ей значение не изменятся, если перестановка чётная, и изменятся на противоположное, если перестановка нечётная.
• Теорема:^[1] для каждого ${\displaystyle n>1}$ существует единственная (с точностью до умножения на константу — элемент поля ${\displaystyle K}$) кососимметричная ${\displaystyle n}$-линейная форма ${\displaystyle f:V_{1}\times \dots \times V_{n}\rightarrow K}$. Это — определитель матрицы, составленной из векторов ${\displaystyle V_{1},\dots ,V_{n}}$.

• Возможно обобщение отображений с векторных пространств (над полями) на модули над кольцами.

Алгебраические формы (однородные многочлены на векторных пространствах, задаваемые однородными многочленами от координат вектора) являются важными объектами изучения в линейной алгебре. Наибольший интерес из них представляют квадратичные формы и билинейные формы, но также изучаются и формы высших степеней, полилинейные формы, поликвадратичные формы, некоторые специальные виды форм (полуторалинейные, эрмитовы). Основными вопросами при изучении алгебраических форм являются законы изменения коэффициентов при линейных преобразованиях (заменах координат), способы приведения к каноническому виду посредством линейных преобразований и взаимопредставление форм.^[2]

Квадратичная форма — объект линейной алгебры, фигурирующий во многих разделах математики, в частности, в теории чисел, теории групп (ортогональная группа), дифференциальной геометрии, алгебрах Ли (киллингова форма^[англ.]), определяемый как однородный многочлен второй степени в основном поле от ${\displaystyle n}$ переменных (${\displaystyle n}$ — размерность рассматриваемого пространства). Квадратичная форма может быть представлена как матрица ${\displaystyle n\times n}$, которая (при основном поле характеристики, отличной от 2) является симметрической, а каждой симметрической матрице соответствует квадратичная форма, соответственно, над квадратичными формами вводятся те же операции, что и над матрицами (умножение на скаляр, сложение), квадратичные формы могут быть приведены к каноническому виду — диагональной форме:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}^{2}=a_{1}x_{1}^{2}+a_{2}x_{2}^{2}+\cdots +a_{n}x_{n}^{2}}$,

(одним из практических способов приведения является метод Лагранжа) и рассматривается ${\displaystyle [a_{1},\dots ,a_{n}]}$ как класс эквивалентности всех квадратичных форм, приводимых к диагональной форме с соответствующими коэффициентами, внутри таких классов эквивалентности сохраняются ранг и сигнатура.^[3]

Рассмотрение пары линейных форм (однородных многочленов первой степени) как единой функции от двух систем переменных (в терминах линейных пространств — над декартовым произведением двух векторных пространств, в наиболее общем случае — над произведением левого и правого унитарных модулей над одним кольцом с единицей) приводит к понятию билинейной формы (с точки зрения тензорной алгебры, билинейная форма рассматривается как тензор ранга ${\displaystyle (0,2)}$). Как и квадратичная форма, билинейная может быть выражена матрицей, притом всякая билинейная форма ${\displaystyle B}$ может быть представлена квадратичной:

${\displaystyle Q_{b}(x)=B(x,y)+B(y,x)}$

притом, в случае, когда векторное пространство определено над полем характеристики отличной от 2, взаимно единственным образом^[4].

Ввиду особой важности (как для самой линейной алгебры, так и для приложений) наиболее детально изучены свойства симметричных ${\displaystyle (B(x,y)=B(y,x))}$ и кососимметричных ${\displaystyle (B(x,y)=-B(y,x))}$ билинейных форм.

Формализма

• Тензорное исчисление
• Алгебра Клиффорда

Объектов

• Поливектор
• Грассманиан

Операций

• Тензорное произведение — создаёт линейное пространство, но отображения, линейные на произведении, соответствуют полилинейным отображениям на исходных пространствах

Полилинейная алгебра — статья из Математической энциклопедии. А. Л. Онищик

• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — 3-е. — М.: Наука, 1970. — 400 с.