Правильный 65537-угольник

Правильный 65537-угольник
Правильный 65537-угольник визуально неотличим от окружности (при разрешении в 1000 пикселей отличие от окружности будет меньше одной миллионной пикселя).

Правильный 65537-угольник (шестьдеся̀тпятьты̀сячпятисо̀ттридцатисемиуго́льник^[1]) — правильный многоугольник с 65 537 углами и 65 537 сторонами. Из-за того, что центральный угол мал, в графическом представлении правильный 65537-угольник почти не отличается от окружности (см. иллюстрацию).

Правильный 65537-угольник представляет интерес, поскольку 65 537 является простым числом Ферма, что делает возможным построение данного многоугольника с помощью циркуля и линейки. Эта задача была решена Иоганном Густавом Гермесом в 1894 году.

Построение

Отличительная особенность правильного 65537-угольника — это тот факт, что его возможно построить, используя только циркуль и линейку.

Число 65 537 — это самое большое известное простое число Ферма:

65~537=2^{2^{4}}+1

.

Гаусс в 1796 году доказал, что правильный n-угольник можно построить циркулем и линейкой, если нечётные простые делители числа n являются различными числами Ферма. В 1836 году П. Ванцель доказал необходимость этого условия для построения таких многоугольников. Ныне это утверждение известно как теорема Гаусса — Ванцеля.

В 1894 году Иоганн Густав Гермес после более чем десятилетних исследований нашёл способ построения правильного 65537-угольника и описал его в рукописи размером более 200 страниц^[2] (оригинал рукописи хранится в библиотеке Гёттингенского университета).

Один слишком навязчивый аспирант довёл своего руководителя до того, что тот сказал ему: «Идите и разработайте построение правильного многоугольника с 65 537 сторонами». Аспирант удалился, чтобы вернуться через 20 лет с соответствующим построением^[3].Дж. Литлвуд

Пропорции

Углы

Центральный угол равен ${\frac {360^{\circ }}{65~537}}\approx 0{,}0054930802447472424^{\circ }\approx 0^{\circ }0'19{,}77508888''$ .

Внутренний угол равен ${\frac {65~537-2}{65~537}}\cdot 180^{\circ }\approx 179{,}99450691975525^{\circ }=180^{\circ }-0{,}0054930802447472424^{\circ }$ .

Наглядное представление

Для иллюстрации пропорций практически непредставимой фигуры могут служить следующие соображения:

Отклонение центрального угла от 0°, а также отклонение внутреннего угла от 180° составляет всего лишь примерно 0,005°. Если приподнять за один конец лежащую на земле жердь длиной 104,3 метра только на один сантиметр, то она образует с землёй примерно этот угол.

Обоснование

Рассмотрим треугольник, одной стороной которого является указанная жердь, второй стороной — перпендикуляр, опущенный от приподнятого конца жерди на поверхность, где она лежала, а третьей стороной — отрезок от основания перпендикуляра до покоящегося конца жерди. Считая, что жердь подняли на один сантиметр, найдём, какой длины $L$ она должна быть, чтобы образовать с поверхностью угол $\alpha$ , равный центральному углу правильного 65537-угольника: его синус будет равен отношению высоты, на которую подняли один край жерди, к углу, который жердь образовала с поверхностью.

$L={\frac {1~{\text{cm}}}{\sin \left({\frac {360^{\circ }}{65~537}}\right)}}\approx 10430{,}541475816439~{\text{cm}}\approx 104{,}30541475816439~{\text{m}}$

Если нарисовать 65537-угольник с длиной одной стороны 1 см, то его наибольшая диагональ будет больше 200 м.
Если нарисовать 65537-угольник с длиной одной стороны 1 м, то радиусы его вписанной и описанной окружностей будут около 10 км, а разница между ними составит всего лишь около 0,024 мм.
Если нарисовать 65537-угольник диаметром 20 см, то длина одной его стороны окажется менее одной десятой толщины самого тонкого человеческого волоса.

Примечания

↑ «В сложных словах, начинающихся составным числительным свыше 1000, название первого числа в составе сложного слова остаётся неизменным, а все остальные названия чисел ставятся в род. п. в соответствии с правилами согласования: пятьтысячдевятисотдолларовый чек, четыретысячидевятисотдолларовый, дветысячивосьмисотдолларовый и т. д.» (Граудина Л. К., Ицкович В. А., Катлинская Л. П. Грамматическая правильность русской речи. Опыт частотно-стилистического словаря вариантов / Под ред. С. Г. Бархударова, И. Ф. Протченко, Л. И. Скворцова. — М.: Наука, 1976. — С. 269. — 456 с. Архивировано 3 июля 2019 года.).
↑ Johann Gustav Hermes. Über die Teilung des Kreises in 65 537 gleiche Teile (нем.) // Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse : magazin. — Göttingen, 1894. — Bd. 3. — S. 170—186. (нем.)
↑ Дж. Литлвуд. [techlibrary.ru/b/2t1j1t1m1c1u1e_2l1h._2u1a1t1f1n1a1t1j1y1f1s1l1a2g_1s1n1f1s2d._1990.djvu Математическая смесь]. — М.: Наука, 1990. — С. 43. — ISBN 5-02-014332-4.

Ссылки

Weisstein, Eric W. 65537-угольник (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

[1] «В сложных словах, начинающихся составным числительным свыше 1000, название первого числа в составе сложного слова остаётся неизменным, а все остальные названия чисел ставятся в род. п. в соответствии с правилами согласования: пятьтысячдевятисотдолларовый чек, четыретысячидевятисотдолларовый, дветысячивосьмисотдолларовый и т. д.» (Граудина Л. К., Ицкович В. А., Катлинская Л. П. Грамматическая правильность русской речи. Опыт частотно-стилистического словаря вариантов / Под ред. С. Г. Бархударова, И. Ф. Протченко, Л. И. Скворцова. — М.: Наука, 1976. — С. 269. — 456 с. Архивировано 3 июля 2019 года.).

[2] Johann Gustav Hermes. Über die Teilung des Kreises in 65 537 gleiche Teile (нем.) // Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse : magazin. — Göttingen, 1894. — Bd. 3. — S. 170—186. (нем.)

[3] Дж. Литлвуд. [techlibrary.ru/b/2t1j1t1m1c1u1e_2l1h._2u1a1t1f1n1a1t1j1y1f1s1l1a2g_1s1n1f1s2d._1990.djvu Математическая смесь]. — М.: Наука, 1990. — С. 43. — ISBN 5-02-014332-4.

[1]

[2]

[3]

Символ Шлефли
Многоугольники	{1} {2} {3} {4} {5} {6} {7} {8} {9} {10} {11} {12} {13} {14} {15} {16} {17} {18} {19} {20} {24} {30} {257} {65537} {1000000} {4294967295} {∞}
Звёздчатые многоугольники	{5/2} {6/2} {7/2} {7/3} {8/2} {8/3} {9/2} {9/3} {9/4}
Паркеты на плоскости	{3,6} {4,4} {6,3}
Правильные многогранники и сферические паркеты	{2,n} {3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5} {n,2}
Многогранники Кеплера — Пуансо	{5/2,5} {5,5/2} {5/2,3} {3,5/2}
Соты	{4,3,4}
Четырёхмерные многогранники	{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}