Резольвента интегрального уравнения

Резольвента интегрального уравнения

Рассмотрим интегральное уравнение:

${\displaystyle f(s)+\lambda \int \limits _{a}^{b}K(s,\;t)\varphi (t)\,dt=\varphi (s).\qquad (*)}$

Резольвентой интегрального уравнения, или его разрешающим ядром называется такая функция ${\displaystyle \Gamma (s,\;t,\;\lambda )}$ переменных ${\displaystyle s}$, ${\displaystyle t}$ и параметра ${\displaystyle \lambda }$, что решение уравнения (*) представляется в виде:

${\displaystyle u^{*}(s)=f(s)+\lambda \int \limits _{a}^{b}\Gamma (s,\;t,\;\lambda )f(t)\,dt.}$

При этом ${\displaystyle \lambda }$ не должна быть собственным числом уравнения (*).

Пусть уравнение (*) имеет ядро ${\displaystyle K(s,\;t)=s+t}$, то есть само уравнение имеет вид:

${\displaystyle \varphi (s)+\lambda \int \limits _{0}^{1}(s+t)\varphi (t)\,dt=f(s).}$

Тогда его резольвентой является функция

${\displaystyle \Gamma (s,\;t,\;\lambda )={\frac {s+t+\lambda \left({\dfrac {s+t}{2}}+st+{\dfrac {1}{3}}\right)}{1+\lambda -{\dfrac {\lambda ^{2}}{12}}}}.}$

Пусть ${\displaystyle A}$ — линейный оператор. Тогда его резольвентой называется операторнозначная функция^[1]

${\displaystyle R(z)=(A-zE)^{-1}}$,

где ${\displaystyle E}$ — тождественный оператор, а ${\displaystyle z}$ — комплексное число, из резольвентного множества, то есть такого множества, что ${\displaystyle R(z)}$ есть ограниченный оператор

Данное понятие используется для решения неоднородного уравнения Фредгольма второго рода.

• Спектр оператора

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.

Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её.