Сателлитный узел

Удвоение Уайтхеда восьмёрки — пример сателлитного узла.
Другой пример сателлитного узла для связной суммы вольмёрки и трилистника.

Сателлитный узел — конструкция, позволяющая построить новый узел из двух узлов с определёнными дополнительными структурами. Эта конструкция включает связную сумму узлов а также удвоение Уайтхеда как частные случаи.

Построение

[править | править код]

Сателлитный узел можно описать следующим образом: начните с нетривиального узла , лежащего внутри незаузленного полнотория . «Нетривиальный» означает, что не может лежать в шаре, вложенном в , и не изотопен центральной кривой полнотория. Затем завязать полноторие в нетривиальный узел. То есть применить нетривиальное вложение , такое, что и . При этом образ центральной кривой полнотория называется компаньёном .

Обычно дополнительно предполагают, что вложение раскрученно, то есть не меняют индекс зацепления двух окружностей в .

В 1949 году Хорст Шуберт[англ.] доказал[1], что каждый ориентированный узел в разлагается в связную сумму узлов и это разложение единственно с точностью до перестановки. Вскоре после этого, он понял, что может дать новое доказательство этой теоремы анализируя несжимаемые торы, в дополнении к связной сумме. Это привело его к исследованию общих несжимаемых торов в дополнении узла, и к определению сателлитного узла[2]

Примечания

[править | править код]
  1. Schubert, H. Die eindeutige Zerlegbarkeit eines Knotens in Primknoten. S.-B Heidelberger Akad. Wiss. Math.-Nat. Kl. 1949 (1949), 57-104.
  2. Schubert, H. Knoten und Vollringe. Acta Math. 90 (1953), 131—286.