Сложные проценты

Капитализация процентов — причисление процентов к сумме вклада, позволяет в дальнейшем осуществлять начисление процентов на проценты путем выполнения двойной операции — выплата процентов и пополнение. Начисление процентов на проценты, используемое в некоторых видах банковских вкладов, или, при наличии долга, проценты, которые включаются в сумму основного долга, и на них также начисляются проценты. То же, что и сложный процент. Вид геометрической прогрессии.

Проценты по вкладу с капитализацией могут начисляться ежедневно, ежемесячно, ежеквартально и ежегодно. Если их не выплачивают, то прибавляют к сумме вклада. И в следующем периоде проценты будут начислены уже на большую сумму.

Общая сумма, которую получит вкладчик, при расчёте по сложному проценту будет равна ${\displaystyle x\cdot (1+{\frac {a}{100}})^{n}}$, где ${\displaystyle x}$ — начальная сумма вложенных средств, ${\displaystyle a>-1}$ — годовая процентная ставка, ${\displaystyle n}$ — срок вклада в годах. При вкладе по ставке s% годовых, после первого года хранения капитал составил бы x плюс s% от неё, то есть возрос бы в ${\displaystyle (1+{\frac {s}{100}})}$ раза. На второй год s% рассчитывались бы уже не от одной копейки, а от величины, большей её в ${\displaystyle (1+{\frac {s}{100}})}$ раза. И, в свою очередь, данная величина увеличилась бы тоже за год в ${\displaystyle (1+{\frac {s}{100}})}$ раза. Значит, по сравнению с первичной суммой вклад за два года возрос бы в ${\displaystyle (1+{\frac {s}{100}})^{2}}$ раз. За три года — в ${\displaystyle (1+{\frac {s}{100}})^{3}}$ раз.

К году N первичный вклад вырос бы до величины в ${\displaystyle (1+{\frac {s}{100}})^{N}}$ раз больше первоначальной.

В применении к ежемесячной капитализации формула сложного процента имеет вид:

${\displaystyle x\cdot (1+{\frac {s}{12\cdot 100}})^{m}}$

где x — начальная сумма вклада, s — годовая ставка в процентах, m — срок вклада в месяцах.

Хорошей иллюстрацией является «лепта вдовицы» из евангельского рассказа о бедной вдове, на которую обратил внимание учеников Иисус Христос: она оставила в качестве пожертвования на иерусалимский храм последнее, что у неё было, — две самых мелких монеты, лепты. Если представить себе, что некий банк существует с того времени по сей день, всё это время обеспечивая капитализацию процентов по вкладам в сумме, скажем, пять процентов годовых, и лепта этой вдовы была внесена на счёт в этом банке, то какая сумма накопилась бы на этом счёте к сегодняшнему дню?

Последующие расчёты как раз и иллюстрируют применение сложных процентов. Для наглядности будем говорить не о лепте, а о копейке. Если ставка составляет 5 % годовых, то после первого года хранения капитал составил бы копейку плюс 5 % от неё, то есть возрос бы в (1 + 0,05) раза. На второй год 5 % рассчитывались бы уже не от одной копейки, а от величины, большей её в (1 + 0,05) раза. И, в свою очередь, данная величина увеличилась бы тоже за год в (1 + 0,05) раза. Значит, по сравнению с первичной суммой вклад за два года возрос бы в ${\displaystyle (1+0,05)^{2}}$ раз. За три года — в ${\displaystyle (1+0,05)^{3}}$ раз.

К 2022 году первичный вклад вырос бы до величины в ${\displaystyle (1+0,05)^{2022}}$ раз больше первоначальной. Величина ${\displaystyle (1+0,05)^{2022}}$ составляет ${\displaystyle 6,99\cdot 10^{42}}$. При первоначальном вкладе в одну копейку к 2021 году сумма составит ${\displaystyle 6,99\cdot 10^{42}}$ копеек, то есть около 7 тредециллионов рублей.

Первоначальная идея подобного примера принадлежит польскому математику Станиславу Ковалю и опубликована им в начале семидесятых годов в книге «500 математических загадок»^[1].

Точная формула для ежемесячного платежа

${\displaystyle C={\frac {Pr}{1-{\frac {1}{(1+r)^{n}}}}}}$

с = ежемесячный платёж, P = начальная сумма, r = ежемесячная процентная ставка, n = количество периодов выплат.

Функция суммы сложных процентов является экспоненциальной функцией с точки зрения времени.

${\displaystyle P(t)=P_{0}(1+{r \over n})^{nt}}$

t = общее время в годах

n = число периодов наращения в год

г = номинальная годовая процентная ставка, выражается в виде десятичной дроби. 6 т.д .:% = 0,06

Пределом ${\displaystyle (1+{r \over n})^{nt}}$ при ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ является ${\displaystyle e^{rt}}$ (см. E (число)), таким образом, для непрерывного начисления формула принимает вид:

${\displaystyle P(t)=P_{0}e^{rt}}$

Известный американский инвестор Уоррен Баффет считает сложные проценты неотъемлемой частью любой стратегии долгосрочного инвестирования^[2].

• Джон К. Халл. Глава 4. Процентные ставки // Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты = Options, Futures and Other Derivatives. — 6-е изд. — М.: «Вильямс», 2007. — С. 133—165. — ISBN 0-13-149908-4.
• Джереми Миллер. Правила инвестирования Уоррена Баффетта = Jeremy Miller: Warren Buffett's Ground Rules: Words of Wisdom from the Partnership Letters of the World's Greatest Investor. — М.: Альпина Паблишер, 2017. — 374 с. — ISBN 978-5-9614-6212-8.
• Нечаев В. М., Яроцкий В. Г. Процент, в экономике и с юридической точки зрения // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.