В данной статье приведен список различных квадратурных формул, для численного интегрирования .
В общем виде формула численного интегрирования записывается следующим образом:
∫ Ω x f ( x ) d x = ∑ i = 1 m g w i ~ f ( x i ) = ∑ i = 1 m g w i | d e t ( J ( ξ i ) ) | f ( x ( ξ i ) ) {\displaystyle \int \limits _{\Omega _{x}}f(x)dx=\sum _{i=1}^{m_{g}}{{\widetilde {w_{i}}}f(x_{i})}=\sum _{i=1}^{m_{g}}{w_{i}\mathrm {|det} (J(\xi _{i}))|f(x(\xi _{i}))}} , f ( x ) {\displaystyle f(x)} — интегрируемая функция; w i {\displaystyle w_{i}} — веса интегрирования; ξ {\displaystyle \xi } — система координат мастер-элемента; J ( ξ ) = ∂ ( x 1 , … , x n ) ∂ ( ξ 1 , … ξ n ) {\displaystyle J(\xi )={\frac {\partial (x_{1},\dots ,x_{n})}{\partial (\xi _{1},\dots \xi _{n})}}} — матрица Якоби для перехода на мастер-элемент. В силу аддитивности интеграла в качестве области интегрирования Ω {\displaystyle \Omega } будут рассматриваться простые области (треугольник , четырёхугольник , тетраэдр и так далее), при сложной геометрии область можно представить как объединение простых и посчитать интеграл по ним или представить с помощью сплайна отображение на мастер-элемент.
В статье для обозначения естественных координат будут использоваться переменные x , y , z {\displaystyle x,y,z} , для обозначения координат мастер-элемента — ξ , η , ζ {\displaystyle \xi ,\eta ,\zeta } .
Численное интегрирование на мастер-элементе функции x 5 + 6 x 2 + 1 {\displaystyle x^{5}+6x^{2}+1} методом гаусса-3 Одномерное интегрирование — это всегда интегрирование по отрезку.
Область интегрирования: отрезок [ x 0 , x 1 ] {\displaystyle [x_{0},x_{1}]} ; Мастер-элемент: отрезок [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} ; Переход на мастер-элемент: ξ ( x ) = 2 x − x 0 x 1 − x 0 − 1 {\displaystyle \xi (x)=2{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}-1} ; Переход с мастер-элемента: x ( ξ ) = ( x 1 − x 0 ) ( ξ + 1 ) 2 + x 0 {\displaystyle x(\xi )={\frac {(x_{1}-x_{0})(\xi +1)}{2}}+x_{0}} ; Якобиан: d e t ( J ( ξ ) ) = x 1 − x 0 2 {\displaystyle \mathrm {det} (J(\xi ))={\frac {x_{1}-x_{0}}{2}}} . Номер Число точек Порядок интегрирования ξ {\displaystyle \xi } w {\displaystyle w} Дополнительно 1 1 1 0 {\displaystyle 0} 2 {\displaystyle 2} Метод прямоугольников 2 2 1 − 1 {\displaystyle -1} 1 {\displaystyle 1} Метод трапеций 1 {\displaystyle 1} 1 {\displaystyle 1} 3 2 3 − 1 3 {\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}} 1 {\displaystyle 1} Метод Гаусса -2 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}} 1 {\displaystyle 1} 4 3 3 − 1 {\displaystyle -1} 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} Метод Симпсона 0 {\displaystyle 0} 4 3 {\displaystyle {\frac {4}{3}}} 1 {\displaystyle 1} 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} 5 3 5 − 3 5 {\displaystyle -{\sqrt {\frac {3}{5}}}} 5 9 {\displaystyle {\frac {5}{9}}} Метод Гаусса-3 0 {\displaystyle 0} 8 9 {\displaystyle {\frac {8}{9}}} 3 5 {\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{5}}}} 5 9 {\displaystyle {\frac {5}{9}}} 6 4 7 − 3 7 − 2 7 6 5 {\displaystyle -{\sqrt {{\frac {3}{7}}-{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}} 18 + 30 36 {\displaystyle {\frac {18+{\sqrt {30}}}{36}}} Метод Гаусса-4 3 7 − 2 7 6 5 {\displaystyle {\sqrt {{\frac {3}{7}}-{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}} 18 + 30 36 {\displaystyle {\frac {18+{\sqrt {30}}}{36}}} − 3 7 + 2 7 6 5 {\displaystyle -{\sqrt {{\frac {3}{7}}+{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}} 18 − 30 36 {\displaystyle {\frac {18-{\sqrt {30}}}{36}}} 3 7 + 2 7 6 5 {\displaystyle {\sqrt {{\frac {3}{7}}+{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}} 18 − 30 36 {\displaystyle {\frac {18-{\sqrt {30}}}{36}}} 7 5 9 0 {\displaystyle 0} 128 225 {\displaystyle {\frac {128}{225}}} Метод Гаусса-5 − 1 3 5 − 2 10 7 {\displaystyle -{\frac {1}{3}}{\sqrt {5-2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}} 322 + 13 70 900 {\displaystyle {\frac {322+13{\sqrt {70}}}{900}}} 1 3 5 − 2 10 7 {\displaystyle {\frac {1}{3}}{\sqrt {5-2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}} 322 + 13 70 900 {\displaystyle {\frac {322+13{\sqrt {70}}}{900}}} − 1 3 5 + 2 10 7 {\displaystyle -{\frac {1}{3}}{\sqrt {5+2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}} 322 − 13 70 900 {\displaystyle {\frac {322-13{\sqrt {70}}}{900}}} 1 3 5 + 2 10 7 {\displaystyle {\frac {1}{3}}{\sqrt {5+2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}} 322 − 13 70 900 {\displaystyle {\frac {322-13{\sqrt {70}}}{900}}}
Квадратный мастер-элемент с изображенной 12-и точечной формулой Область интегрирования: прямоугольник [ x 0 , x 1 ] × [ y 0 , y 1 ] {\displaystyle [x_{0},x_{1}]\times [y_{0},y_{1}]} Мастер-элемент: квадрат [ − 1 , 1 ] × [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]\times [-1,1]} Переход на мастер-элемент: ξ ( x , y ) = 2 x − x 0 x 1 − x 0 − 1 {\displaystyle \xi (x,y)=2{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}-1} η ( x , y ) = 2 y − y 0 y 1 − y 0 − 1 {\displaystyle \eta (x,y)=2{\frac {y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}-1} ; Переход с мастер-элемента: x ( ξ , η ) = ( x 1 − x 0 ) ( ξ + 1 ) 2 + x 0 {\displaystyle x(\xi ,\eta )={\frac {(x_{1}-x_{0})(\xi +1)}{2}}+x_{0}} y ( ξ , η ) = ( y 1 − y 0 ) ( η + 1 ) 2 + y 0 {\displaystyle y(\xi ,\eta )={\frac {(y_{1}-y_{0})(\eta +1)}{2}}+y_{0}} ; Якобиан: d e t ( J ( ξ , η ) ) = ( x 1 − x 0 ) ( y 1 − y 0 ) 4 {\displaystyle \mathrm {det} (J(\xi ,\eta ))={\frac {(x_{1}-x_{0})(y_{1}-y_{0})}{4}}} . Данные формулы интегрирования можно использовать и когда область интегрирования — выпуклый четырёхугольник, но тогда формулы перехода на мастер-элемент (и обратно) не будут иметь такой простой вид. Получить выражение для перехода можно используя интерполяционный полином . Многие из формул интегрирования по квадрату можно получить, как комбинацию формул по отрезку: в качестве точек интегрирования берутся все возможные пары одномерных точек, а в качестве весов — соответствующие произведения весов интегрирования. Примерами таких методов в таблице ниже являются метод прямоугольников, метод трапеций и метод Гаусса-2.
Номер Число точек Порядок интегрирования ξ {\displaystyle \xi } η {\displaystyle \eta } w {\displaystyle w} Дополнительно 1 1 1 0 {\displaystyle 0} 0 {\displaystyle 0} 4 {\displaystyle 4} Метод прямоугольников (метод среднего) 2 4 1 − 1 {\displaystyle -1} − 1 {\displaystyle -1} 1 {\displaystyle 1} Метод трапеций − 1 {\displaystyle -1} 1 {\displaystyle 1} 1 {\displaystyle 1} 1 {\displaystyle 1} − 1 {\displaystyle -1} 1 {\displaystyle 1} 1 {\displaystyle 1} 1 {\displaystyle 1} 1 {\displaystyle 1} 3 4 3 − 1 3 {\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}} − 1 3 {\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}} 1 {\displaystyle 1} Метод Гаусса-2 − 1 3 {\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}} 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}} 1 {\displaystyle 1} 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}} − 1 3 {\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}} 1 {\displaystyle 1} 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}} 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}} 1 {\displaystyle 1} 4 12 7 − c {\displaystyle -c} 0 {\displaystyle 0} w c {\displaystyle w_{c}} a = 114 − 3 583 287 {\displaystyle a={\sqrt {\frac {114-3{\sqrt {583}}}{287}}}} b = 114 + 3 583 287 {\displaystyle b={\sqrt {\frac {114+3{\sqrt {583}}}{287}}}} c = 6 7 {\displaystyle c={\sqrt {\frac {6}{7}}}} w a = 307 810 + 923 270 583 {\displaystyle w_{a}={\frac {307}{810}}+{\frac {923}{270{\sqrt {583}}}}} w b = 307 810 − 923 270 583 {\displaystyle w_{b}={\frac {307}{810}}-{\frac {923}{270{\sqrt {583}}}}} w c = 98 405 {\displaystyle w_{c}={\frac {98}{405}}} Число узлов минимально[1] . c {\displaystyle c} 0 {\displaystyle 0} w c {\displaystyle w_{c}} 0 {\displaystyle 0} − c {\displaystyle -c} w c {\displaystyle w_{c}} 0 {\displaystyle 0} c {\displaystyle c} w c {\displaystyle w_{c}} − a {\displaystyle -a} − a {\displaystyle -a} w a {\displaystyle w_{a}} a {\displaystyle a} − a {\displaystyle -a} w a {\displaystyle w_{a}} − a {\displaystyle -a} a {\displaystyle a} w a {\displaystyle w_{a}} a {\displaystyle a} a {\displaystyle a} w a {\displaystyle w_{a}} − b {\displaystyle -b} − b {\displaystyle -b} w b {\displaystyle w_{b}} b {\displaystyle b} − b {\displaystyle -b} w b {\displaystyle w_{b}} − b {\displaystyle -b} b {\displaystyle b} w b {\displaystyle w_{b}} b {\displaystyle b} b {\displaystyle b} w b {\displaystyle w_{b}}
Треугольный мастер-элемент, с точками Гаусса-4 Область интегрирования: треугольник, образованный вершинами ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , ( x 3 , y 3 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})} ; Мастер-элемент: треугольник, образованный вершинами ( 0 , 0 ) , ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,0),(1,0),(0,1)} . Для перехода на мастер-элемент используются барицентрические координаты (L-координаты), обозначим их λ 1 , λ 2 , λ 3 {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}} .
λ i ( x , y ) = α i 1 x + α i 2 y + α i 3 {\displaystyle \lambda _{i}(x,y)=\alpha _{i1}x+\alpha _{i2}y+\alpha _{i3}} Для вычисления коэффициентов L-координат используется матрица D {\displaystyle D} :
D = ( x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 1 1 1 ) {\displaystyle D={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\1&1&1\end{pmatrix}}} Матрица коэффициентов обратна к D {\displaystyle D} : A = D − 1 {\displaystyle \mathrm {A} =D^{-1}} .
Переход на мастер элемент: ξ ( x , y ) = λ 1 ( x , y ) {\displaystyle \xi (x,y)=\lambda _{1}(x,y)} η ( x , y ) = λ 2 ( x , y ) {\displaystyle \eta (x,y)=\lambda _{2}(x,y)} Переход с мастер элемента: ( x y 1 ) = D ( ξ η 1 − ξ − η ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}=D{\begin{pmatrix}\xi \\\eta \\1-\xi -\eta \end{pmatrix}}} Якобиан : d e t ( J ( ξ , η ) ) = d e t ( D ) {\displaystyle \mathrm {det} (J(\xi ,\eta ))=\mathrm {det} (D)} . Номер Число точек Порядок интегрирования ξ {\displaystyle \xi } η {\displaystyle \eta } w {\displaystyle w} Дополнительно 1 1 1 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} Метод среднего 2 3 2 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 0 {\displaystyle 0} 1 6 {\displaystyle {\frac {1}{6}}} - 0 {\displaystyle 0} 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 1 6 {\displaystyle {\frac {1}{6}}} 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 1 6 {\displaystyle {\frac {1}{6}}} 2 3 2 1 6 {\displaystyle {\frac {1}{6}}} 1 6 {\displaystyle {\frac {1}{6}}} 1 6 {\displaystyle {\frac {1}{6}}} Метод Гаусса-3 2 3 {\displaystyle {\frac {2}{3}}} 1 6 {\displaystyle {\frac {1}{6}}} 1 6 {\displaystyle {\frac {1}{6}}} 1 6 {\displaystyle {\frac {1}{6}}} 2 3 {\displaystyle {\frac {2}{3}}} 1 6 {\displaystyle {\frac {1}{6}}} 4 4 3 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} − 9 32 {\displaystyle -{\frac {9}{32}}} Метод Гаусса-4 3 5 {\displaystyle {\frac {3}{5}}} 1 5 {\displaystyle {\frac {1}{5}}} 25 96 {\displaystyle {\frac {25}{96}}} 1 5 {\displaystyle {\frac {1}{5}}} 3 5 {\displaystyle {\frac {3}{5}}} 25 96 {\displaystyle {\frac {25}{96}}} 1 5 {\displaystyle {\frac {1}{5}}} 1 5 {\displaystyle {\frac {1}{5}}} 25 96 {\displaystyle {\frac {25}{96}}} 5 7 3 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} 9 40 {\displaystyle {\frac {9}{40}}} Метод Ньютона-Котеса (англ. Newton-Cotes (англ.) ) 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 0 {\displaystyle 0} 1 15 {\displaystyle {\frac {1}{15}}} 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 1 15 {\displaystyle {\frac {1}{15}}} 0 {\displaystyle 0} 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 1 15 {\displaystyle {\frac {1}{15}}} 1 {\displaystyle 1} 0 {\displaystyle 0} 1 40 {\displaystyle {\frac {1}{40}}} 0 {\displaystyle 0} 1 {\displaystyle 1} 1 40 {\displaystyle {\frac {1}{40}}} 0 {\displaystyle 0} 0 {\displaystyle 0} 1 40 {\displaystyle {\frac {1}{40}}}
Кубический мастер-элемент, с изображенной 14-и точечной формулой Область интегрирования: параллелепипед [ x 0 , x 1 ] × [ y 0 , y 1 ] × [ z 0 , z 1 ] {\displaystyle [x_{0},x_{1}]\times [y_{0},y_{1}]\times [z_{0},z_{1}]} Мастер-элемент: куб [ − 1 , 1 ] × [ − 1 , 1 ] × [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]\times [-1,1]\times [-1,1]} Переход на мастер-элемент: ξ ( x , y , z ) = 2 x − x 0 x 1 − x 0 − 1 {\displaystyle \xi (x,y,z)=2{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}-1} η ( x , y , z ) = 2 y − y 0 y 1 − y 0 − 1 {\displaystyle \eta (x,y,z)=2{\frac {y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}-1} ζ ( x , y , z ) = 2 z − z 0 z 1 − z 0 − 1 {\displaystyle \zeta (x,y,z)=2{\frac {z-z_{0}}{z_{1}-z_{0}}}-1} Переход с мастер-элемента: x ( ξ , η , ζ ) = ( x 1 − x 0 ) ( ξ + 1 ) 2 + x 0 {\displaystyle x(\xi ,\eta ,\zeta )={\frac {(x_{1}-x_{0})(\xi +1)}{2}}+x_{0}} y ( ξ , η , ζ ) = ( y 1 − y 0 ) ( η + 1 ) 2 + y 0 {\displaystyle y(\xi ,\eta ,\zeta )={\frac {(y_{1}-y_{0})(\eta +1)}{2}}+y_{0}} ; z ( ξ , η , ζ ) = ( z 1 − z 0 ) ( ζ + 1 ) 2 + z 0 {\displaystyle z(\xi ,\eta ,\zeta )={\frac {(z_{1}-z_{0})(\zeta +1)}{2}}+z_{0}} ; Якобиан: d e t ( J ( ξ , η , ζ ) ) = ( x 1 − x 0 ) ( y 1 − y 0 ) ( z 1 − z 0 ) 8 {\displaystyle \mathrm {det} (J(\xi ,\eta ,\zeta ))={\frac {(x_{1}-x_{0})(y_{1}-y_{0})(z_{1}-z_{0})}{8}}} . Аналогично как и для квадрата, куб можно использовать как мастер-элемент для произвольного шестигранника [] , но тогда формулы перехода и якобиана усложнится. Так же, аналогично с квадратом, многие формулы интегрирования по кубу можно получить из формул интегрирования по отрезку, координаты узлов — это все возможные тройки координат одномерной формулы, а веса интегрирования — произведение соответствующих весов одномерной формулы.
Номер Число точек Порядок интегрирования ξ {\displaystyle \xi } η {\displaystyle \eta } ζ {\displaystyle \zeta } w {\displaystyle w} Дополнительно 1 1 1 0 {\displaystyle 0} 0 {\displaystyle 0} 0 {\displaystyle 0} 8 {\displaystyle 8} Метод прямоугольников (метод среднего) 2 8 3 − 1 3 {\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}} − 1 3 {\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}} − 1 3 {\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}} 1 {\displaystyle 1} Метод Гаусса-2 − 1 3 {\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}} − 1 3 {\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}} 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}} 1 {\displaystyle 1} − 1 3 {\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}} 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}} − 1 3 {\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}} 1 {\displaystyle 1} − 1 3 {\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}} 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}} 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}} 1 {\displaystyle 1} 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}} − 1 3 {\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}} − 1 3 {\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}} 1 {\displaystyle 1} 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}} − 1 3 {\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}} 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}} 1 {\displaystyle 1} 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}} 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}} − 1 3 {\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}} 1 {\displaystyle 1} 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}} 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}} 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}} 1 {\displaystyle 1} 3 14 5 − 19 30 {\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{30}}}} 0 {\displaystyle 0} 0 {\displaystyle 0} 320 361 {\displaystyle {\frac {320}{361}}} Число узлов в классе формул с порядком аппроксимации 5 и не содержащих начало координат минимально.[2] 19 30 {\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{30}}}} 0 {\displaystyle 0} 0 {\displaystyle 0} 320 361 {\displaystyle {\frac {320}{361}}} 0 {\displaystyle 0} − 19 30 {\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{30}}}} 0 {\displaystyle 0} 320 361 {\displaystyle {\frac {320}{361}}} 0 {\displaystyle 0} 19 30 {\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{30}}}} 0 {\displaystyle 0} 320 361 {\displaystyle {\frac {320}{361}}} 0 {\displaystyle 0} 0 {\displaystyle 0} − 19 30 {\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{30}}}} 320 361 {\displaystyle {\frac {320}{361}}} 0 {\displaystyle 0} 0 {\displaystyle 0} 19 30 {\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{30}}}} 320 361 {\displaystyle {\frac {320}{361}}} − 19 33 {\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}} − 19 33 {\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}} − 19 33 {\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}} 121 361 {\displaystyle {\frac {121}{361}}} − 19 33 {\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}} − 19 33 {\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}} 19 33 {\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}} 121 361 {\displaystyle {\frac {121}{361}}} − 19 33 {\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}} 19 33 {\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}} − 19 33 {\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}} 121 361 {\displaystyle {\frac {121}{361}}} − 19 33 {\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}} 19 33 {\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}} 19 33 {\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}} 121 361 {\displaystyle {\frac {121}{361}}} 19 33 {\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}} − 19 33 {\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}} − 19 33 {\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}} 121 361 {\displaystyle {\frac {121}{361}}} 19 33 {\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}} − 19 33 {\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}} 19 33 {\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}} 121 361 {\displaystyle {\frac {121}{361}}} 19 33 {\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}} 19 33 {\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}} − 19 33 {\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}} 121 361 {\displaystyle {\frac {121}{361}}} 19 33 {\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}} 19 33 {\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}} 19 33 {\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}} 121 361 {\displaystyle {\frac {121}{361}}}
Поскольку формулы интегрирования высоких порядков содержат много точек, то их приведём отдельно.
Порядок: 7, число точек: 34 Номер точки ξ {\displaystyle \xi } η {\displaystyle \eta } ζ {\displaystyle \zeta } w {\displaystyle w} Дополнительно 1 a {\displaystyle a} 0 {\displaystyle 0} 0 {\displaystyle 0} w 1 {\displaystyle w_{1}} a = 6 7 {\displaystyle a={\sqrt {\frac {6}{7}}}} , b = 960 − 33 238 2726 {\displaystyle b={\sqrt {\frac {960-33{\sqrt {238}}}{2726}}}} , c = 960 + 33 238 2726 {\displaystyle c={\sqrt {\frac {960+33{\sqrt {238}}}{2726}}}} , w 1 = 1078 3645 {\displaystyle w_{1}={\frac {1078}{3645}}} , w 2 = 343 3645 {\displaystyle w_{2}={\frac {343}{3645}}} , w 3 = 43 135 + 829 238 136323 {\displaystyle w_{3}={\frac {43}{135}}+{\frac {829{\sqrt {238}}}{136323}}} , w 4 = 43 135 − 829 238 136323 {\displaystyle w_{4}={\frac {43}{135}}-{\frac {829{\sqrt {238}}}{136323}}} 2 − a {\displaystyle -a} 0 {\displaystyle 0} 0 {\displaystyle 0} w 1 {\displaystyle w_{1}} 3 0 {\displaystyle 0} a {\displaystyle a} 0 {\displaystyle 0} w 1 {\displaystyle w_{1}} 4 0 {\displaystyle 0} − a {\displaystyle -a} 0 {\displaystyle 0} w 1 {\displaystyle w_{1}} 5 0 {\displaystyle 0} 0 {\displaystyle 0} a {\displaystyle a} w 1 {\displaystyle w_{1}} 6 0 {\displaystyle 0} 0 {\displaystyle 0} − a {\displaystyle -a} w 1 {\displaystyle w_{1}} 7 a {\displaystyle a} a {\displaystyle a} 0 {\displaystyle 0} w 2 {\displaystyle w_{2}} 8 a {\displaystyle a} − a {\displaystyle -a} 0 {\displaystyle 0} w 2 {\displaystyle w_{2}} 9 − a {\displaystyle -a} a {\displaystyle a} 0 {\displaystyle 0} w 2 {\displaystyle w_{2}} 10 − a {\displaystyle -a} − a {\displaystyle -a} 0 {\displaystyle 0} w 2 {\displaystyle w_{2}} 11 a {\displaystyle a} 0 {\displaystyle 0} a {\displaystyle a} w 2 {\displaystyle w_{2}} 12 a {\displaystyle a} 0 {\displaystyle 0} − a {\displaystyle -a} w 2 {\displaystyle w_{2}} 13 − a {\displaystyle -a} 0 {\displaystyle 0} a {\displaystyle a} w 2 {\displaystyle w_{2}} 14 − a {\displaystyle -a} 0 {\displaystyle 0} − a {\displaystyle -a} w 2 {\displaystyle w_{2}} 15 0 {\displaystyle 0} a {\displaystyle a} a {\displaystyle a} w 2 {\displaystyle w_{2}} 16 0 {\displaystyle 0} a {\displaystyle a} − a {\displaystyle -a} w 2 {\displaystyle w_{2}} 17 0 {\displaystyle 0} − a {\displaystyle -a} a {\displaystyle a} w 2 {\displaystyle w_{2}} 18 0 {\displaystyle 0} − a {\displaystyle -a} − a {\displaystyle -a} w 2 {\displaystyle w_{2}} 19 b {\displaystyle b} b {\displaystyle b} b {\displaystyle b} w 3 {\displaystyle w_{3}} 20 b {\displaystyle b} b {\displaystyle b} − b {\displaystyle -b} w 3 {\displaystyle w_{3}} 21 b {\displaystyle b} − b {\displaystyle -b} b {\displaystyle b} w 3 {\displaystyle w_{3}} 22 b {\displaystyle b} − b {\displaystyle -b} − b {\displaystyle -b} w 3 {\displaystyle w_{3}} 23 − b {\displaystyle -b} b {\displaystyle b} b {\displaystyle b} w 3 {\displaystyle w_{3}} 24 − b {\displaystyle -b} b {\displaystyle b} − b {\displaystyle -b} w 3 {\displaystyle w_{3}} 25 − b {\displaystyle -b} − b {\displaystyle -b} b {\displaystyle b} w 3 {\displaystyle w_{3}} 26 − b {\displaystyle -b} − b {\displaystyle -b} − b {\displaystyle -b} w 3 {\displaystyle w_{3}} 27 c {\displaystyle c} c {\displaystyle c} c {\displaystyle c} w 4 {\displaystyle w_{4}} 28 c {\displaystyle c} c {\displaystyle c} − c {\displaystyle -c} w 4 {\displaystyle w_{4}} 29 c {\displaystyle c} − c {\displaystyle -c} c {\displaystyle c} w 4 {\displaystyle w_{4}} 30 c {\displaystyle c} − c {\displaystyle -c} − c {\displaystyle -c} w 4 {\displaystyle w_{4}} 31 − c {\displaystyle -c} c {\displaystyle c} c {\displaystyle c} w 4 {\displaystyle w_{4}} 32 − c {\displaystyle -c} c {\displaystyle c} − c {\displaystyle -c} w 4 {\displaystyle w_{4}} 33 − c {\displaystyle -c} − c {\displaystyle -c} c {\displaystyle c} w 4 {\displaystyle w_{4}} 34 − c {\displaystyle -c} − c {\displaystyle -c} − c {\displaystyle -c} w 4 {\displaystyle w_{4}}
Тетраэдральный мастер-элемент с точками Гаусса-11 Область интегрирования: тетраэдр , образованный вершинами ( x 1 , y 1 , z 1 ) , ( x 2 , y 2 , z 2 ) , ( x 3 , y 3 , y 3 ) , ( x 4 , y 4 , z 4 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2}),(x_{3},y_{3},y_{3}),(x_{4},y_{4},z_{4})} . Мастер-элемент: тетраэдр , образованный вершинами ( 0 , 0 , 0 ) , ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) {\displaystyle (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} . Аналогично с треугольником для перехода на мастер-элемент используются L-координаты тетраэдра, обозначим их λ 1 , λ 2 , λ 3 , λ 4 {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3},\lambda _{4}} :
λ i ( x , y , z ) = α i 1 x + α i 2 y + α i 3 z + α i 4 {\displaystyle \lambda _{i}(x,y,z)=\alpha _{i1}x+\alpha _{i2}y+\alpha _{i3}z+\alpha _{i4}} Матрица коэффициентов определяется, как: A = D − 1 {\displaystyle \mathrm {A} =D^{-1}} , где
D = ( x 1 x 2 x 3 x 4 y 1 y 2 y 3 y 4 z 1 z 2 z 3 z 4 1 1 1 1 ) {\displaystyle D={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}&y_{4}\\z_{1}&z_{2}&z_{3}&z_{4}\\1&1&1&1\end{pmatrix}}} Переход на мастер-элемент: ξ ( x , y , z ) = λ 1 ( x , y , z ) {\displaystyle \xi (x,y,z)=\lambda _{1}(x,y,z)} η ( x , y , z ) = λ 2 ( x , y , z ) {\displaystyle \eta (x,y,z)=\lambda _{2}(x,y,z)} ζ ( x , y , z ) = λ 3 ( x , y , z ) {\displaystyle \zeta (x,y,z)=\lambda _{3}(x,y,z)} Переход с мастер-элемента: ( x y z 1 ) = D ( ξ η ζ 1 − ξ − η − ζ ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\\1\end{pmatrix}}=D{\begin{pmatrix}\xi \\\eta \\\zeta \\1-\xi -\eta -\zeta \end{pmatrix}}} Якобиан : d e t ( J ( ξ , η , ζ ) ) = d e t ( D ) {\displaystyle \mathrm {det} (J(\xi ,\eta ,\zeta ))=\mathrm {det} (D)} . Номер Число точек Порядок интегрирования ξ {\displaystyle \xi } η {\displaystyle \eta } ζ {\displaystyle \zeta } w {\displaystyle w} Дополнительно 1 1 1 1 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}} 1 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}} 1 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}} 1 6 {\displaystyle {\frac {1}{6}}} Метод среднего 2 4 2 5 + 3 5 20 {\displaystyle {\frac {5+3{\sqrt {5}}}{20}}} 5 − 5 20 {\displaystyle {\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}} 5 − 5 20 {\displaystyle {\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}} 1 24 {\displaystyle {\frac {1}{24}}} Метод Гаусса-4 5 − 5 20 {\displaystyle {\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}} 5 + 3 5 20 {\displaystyle {\frac {5+3{\sqrt {5}}}{20}}} 5 − 5 20 {\displaystyle {\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}} 1 24 {\displaystyle {\frac {1}{24}}} 5 − 5 20 {\displaystyle {\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}} 5 − 5 20 {\displaystyle {\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}} 5 + 3 5 20 {\displaystyle {\frac {5+3{\sqrt {5}}}{20}}} 1 24 {\displaystyle {\frac {1}{24}}} 5 − 5 20 {\displaystyle {\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}} 5 − 5 20 {\displaystyle {\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}} 5 − 5 20 {\displaystyle {\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}} 1 24 {\displaystyle {\frac {1}{24}}} 3 5 3 1 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}} 1 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}} 1 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}} − 2 15 {\displaystyle -{\frac {2}{15}}} 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 1 6 {\displaystyle {\frac {1}{6}}} 1 6 {\displaystyle {\frac {1}{6}}} 3 40 {\displaystyle {\frac {3}{40}}} 1 6 {\displaystyle {\frac {1}{6}}} 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 1 6 {\displaystyle {\frac {1}{6}}} 3 40 {\displaystyle {\frac {3}{40}}} 1 6 {\displaystyle {\frac {1}{6}}} 1 6 {\displaystyle {\frac {1}{6}}} 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 3 40 {\displaystyle {\frac {3}{40}}} 1 6 {\displaystyle {\frac {1}{6}}} 1 6 {\displaystyle {\frac {1}{6}}} 1 6 {\displaystyle {\frac {1}{6}}} 3 40 {\displaystyle {\frac {3}{40}}} 4 11 4 1 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}} 1 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}} 1 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}} − 74 5625 {\displaystyle -{\frac {74}{5625}}} Метод Гаусса-11 11 14 {\displaystyle {\frac {11}{14}}} 5 70 {\displaystyle {\frac {5}{70}}} 5 70 {\displaystyle {\frac {5}{70}}} 343 45000 {\displaystyle {\frac {343}{45000}}} 5 70 {\displaystyle {\frac {5}{70}}} 11 14 {\displaystyle {\frac {11}{14}}} 5 70 {\displaystyle {\frac {5}{70}}} 343 45000 {\displaystyle {\frac {343}{45000}}} 5 70 {\displaystyle {\frac {5}{70}}} 5 70 {\displaystyle {\frac {5}{70}}} 11 14 {\displaystyle {\frac {11}{14}}} 343 45000 {\displaystyle {\frac {343}{45000}}} 5 70 {\displaystyle {\frac {5}{70}}} 5 70 {\displaystyle {\frac {5}{70}}} 5 70 {\displaystyle {\frac {5}{70}}} 343 45000 {\displaystyle {\frac {343}{45000}}} 1 + 5 / 14 4 {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}} 1 − 5 / 14 4 {\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}} 1 − 5 / 14 4 {\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}} 56 2250 {\displaystyle {\frac {56}{2250}}} 1 − 5 / 14 4 {\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}} 1 + 5 / 14 4 {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}} 1 − 5 / 14 4 {\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}} 56 2250 {\displaystyle {\frac {56}{2250}}} 1 − 5 / 14 4 {\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}} 1 − 5 / 14 4 {\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}} 1 + 5 / 14 4 {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}} 56 2250 {\displaystyle {\frac {56}{2250}}} 1 − 5 / 14 4 {\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}} 1 + 5 / 14 4 {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}} 1 + 5 / 14 4 {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}} 56 2250 {\displaystyle {\frac {56}{2250}}} 1 + 5 / 14 4 {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}} 1 − 5 / 14 4 {\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}} 1 + 5 / 14 4 {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}} 56 2250 {\displaystyle {\frac {56}{2250}}} 1 + 5 / 14 4 {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}} 1 + 5 / 14 4 {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}} 1 − 5 / 14 4 {\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}} 56 2250 {\displaystyle {\frac {56}{2250}}} 5 14 5 a {\displaystyle a} a {\displaystyle a} a {\displaystyle a} A {\displaystyle A} A , B , C , a , b , c {\displaystyle A,\ B,\ C,\ a,\ b,\ c} определяются из следующих уравнений: { t = 4 27 ( 71 − 4 79 sin ( 1 3 [ π 2 + arctan ( 27 10815 67 ) ] ) ) a = 1 + α 4 , b = 1 + β 4 , c = 1 +