Теорема Ласкера — Нётер

Теорема Ласкера — Нётер утверждает, что каждый идеал нётерова кольца можно записать в виде конечного пересечения примарных идеалов. Такое представление идеала называется примарным разложением. В случае области главных идеалов это эквивалентно представлению в виде конечного пересечения (или произведения) степеней простых идеалов, то есть обобщает основную теорему арифметики. В 1905 теорема была доказана Эмануилом Ласкером в частном случае колец многочленов или сходящихся степенных рядов; общий случай теоремы доказала Эмми Нётер в 1921 году.

Теорема допускает обобщение на модули, в этом случае она утверждает, что любой подмодуль конечнопорождённого модуля над нётеровым кольцом можно представить в виде конечного пересечения примарных подмодулей. Это утверждение является обобщением разложения на примарные факторы из структурной теоремы для конечнопорождённых модулей над областями главных идеалов.

Первый алгоритм нахождения примарного разложения в кольце многочленов был опубликован Гретой Герман, студенткой Нётер.

Пусть R — коммутативное кольцо, M и N — модули над ним.

• Делитель нуля модуля M — это элемент x кольца R, такой что xm = 0 для некоторого ненулевого m из M.
• Элемент x кольца R называется нильпотентным в M, если xⁿM = 0 для некоторого натурального n.
• Модуль называется копримарным, если каждый его делитель нуля является нильпотентным. Пример: абелевы группы, порядок которых равен степени простого числа и свободные абелевы группы.
• Подмодуль M модуля N называется примарным, если N/M копримарен.
• Идеал I является примарным, если он является примарным подмодулем R как R-модуля, то есть когда в факторкольце R/I каждый делитель нуля нильпотентен.
• Подмодуль M модуля N называется неприводимым, если он не является пересечением двух не совпадающих с ним подмодулей.
• Простой идеал, ассоциированный с модулем M — это простой идеал, являющийся аннулятором некоторого элемента модуля.

Теорема Ласкера — Нётер для модулей утверждает, что каждый подмодуль конечнопорождённого модуля над нётеровым кольцом является конечным пересечением примарных подмодулей. В случае колец эта теорема утверждает, что каждый идеал нётерова кольца является конечным пересечением примарных идеалов.

Эквивалентная формулировка: каждый конечнопорождённый модуль над нётеровым кольцом является подмодулем конечного произведения копримарных модулей.

Теорема Ласкера — Нётер немедленно следует из следующих трёх фактов:

• Каждый подмодуль конечнопорождённого модуля над нётеровым кольцом является пересечением конечного числа неприводимых подмодулей.
• Если M — неприводимый подмодуль конечнопорождённого модуля N над нётеровым кольцом, то с N/M ассоциировано не более одного простого идеала.
• Конечнопорождённый модуль над нётеровым кольцом копримарен тогда и только тогда, когда с ним ассоциировано не более одного простого идеала.

В этом разделе под словом «модуль» подразумевается «конечнопорождённый модуль над нётеровым кольцом R».

Примарное разложение подмодуля M модуля N называется минимальным, если оно задействует наименьшее возможное число примарных подмодулей. Для любого минимального разложения, ассоциированные простые идеалы примарных компонент определены однозначно — это ассоциированные простые идеалы модуля N/M. Более того, примарные компоненты, соответствующие минимальным ассоциированным простым идеалам (то есть тем, которые не содержат других ассоциированных простых) также определены однозначно.

Пример: пусть N = R = k[x, y] для некоторого поля k, а M — идеал (xy, y²). Тогда M имеет два различных минимальных примарных разложения: M = (y) ∩ (x, y²) = (y) ∩ (x + y, y²). Минимальный ассоциированный простой идеал — (y), второй ассоциированный простой идеал (x, y) не минимален.

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М: Мир, 1972
• Зарисский О., Самюэль Р. Коммутативная алгебра, — М.: ИЛ, 1963.
• Ленг С. Алгебра, — М.: Мир, 1968.
• Lasker, E. (1905), "Zur Theorie der Moduln und Ideale", Math. Ann., 60: 19—116, doi:10.1007/BF01447495
• Noether, Emmy (1921), "Idealtheorie in Ringbereichen" (PDF), Mathematische Annalen, 83 (1): 24, doi:10.1007/BF01464225 (недоступная ссылка)
• Markov, V.T. (2001), Primary decomposition, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4