Деформация тонкой пластины с выделенным смещением срединной поверхности (красный) и нормали к срединной поверхности (синий) Теория Кирхгофа — Лява или теория пластин Кирхгофа — Лява — двумерная математическая модель упругого тела, которая используется для определения напряжений и деформаций в тонких пластинах, подверженных действию сил и моментов при малых изгибах. Эта теория является расширением теории балок Эйлера — Бернулли и была разработана в 1888 году Лявом [1] с использованием постулатов, предложенных Кирхгофом . Теория предполагает, что срединная плоскость может использоваться для представления трёхмерной пластины в двухмерной форме.
В этой теории сделаны следующие кинематические допущения:[2]
прямые линии, перпендикулярные срединной поверхности, остаются прямыми после деформации; прямые линии, перпендикулярные средней поверхности, остаются нормальными к срединной поверхности после деформации; и толщина пластины не изменяется при деформации. Пусть вектор положения точки недеформированной пластины равен x {\displaystyle \mathbf {x} } . Тогда его можно разложить
x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 ≡ x i e i . {\displaystyle \mathbf {x} =x_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+x_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+x_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}\equiv x_{i}{\boldsymbol {e}}_{i}\,.} Векторы e i {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}} образуют базис декартовой системы координат с началом взятым на срединной поверхности пластины, x 1 {\displaystyle x_{1}} а также x 2 {\displaystyle x_{2}} — декартовы координаты на срединной поверхности недеформированной пластины, а x 3 {\displaystyle x_{3}} — координата направленная вдоль толщины.
Пусть смещение точки на пластине равно u ( x ) {\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} )} . Тогда
u = u 1 e 1 + u 2 e 2 + u 3 e 3 ≡ u i e i {\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+u_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+u_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}\equiv u_{i}{\boldsymbol {e}}_{i}} Это смещение можно разложить на векторную сумму смещения срединной поверхности u α 0 {\displaystyle u_{\alpha }^{0}} и смещение вне плоскости w 0 {\displaystyle w^{0}} в направлении x 3 {\displaystyle x_{3}} . Мы можем записать смещение срединной поверхности в плоскости как
u 0 = u 1 0 e 1 + u 2 0 e 2 ≡ u α 0 e α {\displaystyle \mathbf {u} ^{0}=u_{1}^{0}{\boldsymbol {e}}_{1}+u_{2}^{0}{\boldsymbol {e}}_{2}\equiv u_{\alpha }^{0}{\boldsymbol {e}}_{\alpha }} Обратите внимание, что индекс α {\displaystyle \alpha } пробегает значения 1 и 2, но не 3.
Тогда из гипотезы Кирхгофа следует, что
u α ( x ) = u α 0 ( x 1 , x 2 ) − x 3 ∂ w 0 ∂ x α ≡ u α 0 − x 3 w , α 0 ; α = 1 , 2 u 3 ( x ) = w 0 ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=u_{\alpha }^{0}(x_{1},x_{2})-x_{3}~{\frac {\partial w^{0}}{\partial x_{\alpha }}}\equiv u_{\alpha }^{0}-x_{3}~w_{,\alpha }^{0}~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}}
Если φ α {\displaystyle \varphi _{\alpha }} — углы поворота нормали к срединной поверхности, то в теории Кирхгофа — Лява φ α = w , α 0 {\displaystyle \varphi _{\alpha }=w_{,\alpha }^{0}} Обратите внимание, что выражение для u α {\displaystyle u_{\alpha }} представимо как разложение в ряд Тейлора первого порядка для смещения вокруг срединной поверхности.
Смещение срединной поверхности (слева) и нормали к ней (справа) Первоначальная теория, разработанная Лавом, применялась для бесконечно малых деформаций и вращений. Фон Карман расширил эту теорию на ситуации, в которых можно было ожидать умеренных вращений.
Когда деформации в пластине бесконечно малы и повороты нормалей средней поверхности меньше 10° соотношения деформация-смещение (то есть используется разложение до первого порядка малости) принимают вид
ε α β = 1 2 ( ∂ u α ∂ x β + ∂ u β ∂ x α ) ≡ 1 2 ( u α , β + u β , α ) ε α 3 = 1 2 ( ∂ u α ∂ x 3 + ∂ u 3 ∂ x α ) ≡ 1 2 ( u α , 3 + u 3 , α ) ε 33 = ∂ u 3 ∂ x 3 ≡ u 3 , 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial x_{\beta }}}+{\frac {\partial u_{\beta }}{\partial x_{\alpha }}}\right)\equiv {\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }+u_{\beta ,\alpha })\\\varepsilon _{\alpha 3}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{\alpha }}}\right)\equiv {\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,3}+u_{3,\alpha })\\\varepsilon _{33}&={\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\equiv u_{3,3}\end{aligned}}} где β = 1 , 2 {\displaystyle \beta =1,2} как и α {\displaystyle \alpha } .
Используя кинематические предположения, получим
ε α β = 1 2 ( u α , β 0 + u β , α 0 ) − x 3 w , α β 0 ε α 3 = − w , α 0 + w , α 0 = 0 ε 33 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\tfrac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0})-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=-w_{,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}
Следовательно, ненулевые деформации возникают только в плоскостях. Уравнения равновесия пластины выводятся из принципа виртуальной работы . Для тонкой пластины при квазистатической поперечной нагрузке q ( x ) {\displaystyle q(x)} эти уравнения имеют вид
∂ N 11 ∂ x 1 + ∂ N 21 ∂ x 2 = 0 ∂ N 12 ∂ x 1 + ∂ N 22 ∂ x 2 = 0 ∂ 2 M 11 ∂ x 1 2 + 2 ∂ 2 M 12 ∂ x 1 ∂ x 2 + ∂ 2 M 22 ∂ x 2 2 = q {\displaystyle {\begin{aligned}&{\cfrac {\partial N_{11}}{\partial x_{1}}}+{\cfrac {\partial N_{21}}{\partial x_{2}}}=0\\&{\cfrac {\partial N_{12}}{\partial x_{1}}}+{\cfrac {\partial N_{22}}{\partial x_{2}}}=0\\&{\cfrac {\partial ^{2}M_{11}}{\partial x_{1}^{2}}}+2{\cfrac {\partial ^{2}M_{12}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}M_{22}}{\partial x_{2}^{2}}}=q\end{aligned}}} где толщина пластины 2 h {\displaystyle 2h} . В индексной записи
N α β , α = 0 N α β := ∫ − h h σ α β d x 3 M α β , α β − q = 0 M α β := ∫ − h h x 3 σ α β d x 3 {\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\quad \quad N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q&=0\quad \quad M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}\end{aligned}}}
где σ α β {\displaystyle \sigma _{\alpha \beta }} — механические напряжения . Изгибающие моменты и нормальные напряжения Моменты и напряжения сдвига
Bending moments and normal stresses Torques and shear stresses
Вывод уравнения равновесия для малых вращений Для ситуации, когда напряжения и вращения пластины малы, вариация внутренняя энергия записывается в виде δ U = ∫ Ω 0 ∫ − h h σ : δ ϵ d x 3 d Ω = ∫ Ω 0 ∫ − h h σ α β δ ε α β d x 3 d Ω = ∫ Ω 0 ∫ − h h [ 1 2 σ α β ( δ u α , β 0 + δ u β , α 0 ) − x 3 σ α β δ w , α β 0 ] d x 3 d Ω = ∫ Ω 0 [ 1 2 N α β ( δ u α , β 0 + δ u β , α 0 ) − M α β δ w , α β 0 ] d Ω {\displaystyle {\begin{aligned}\delta U&=\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}{\boldsymbol {\sigma }}:\delta {\boldsymbol {\epsilon }}~dx_{3}~d\Omega =\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~\delta \varepsilon _{\alpha \beta }~dx_{3}~d\Omega \\&=\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}\left[{\frac {1}{2}}~\sigma _{\alpha \beta }~(\delta u_{\alpha ,\beta }^{0}+\delta u_{\beta ,\alpha }^{0})-x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~\delta w_{,\alpha \beta }^{0}\right]~dx_{3}~d\Omega \\&=\int _{\Omega ^{0}}\left[{\frac {1}{2}}~N_{\alpha \beta }~(\delta u_{\alpha ,\beta }^{0}+\delta u_{\beta ,\alpha }^{0})-M_{\alpha \beta }~\delta w_{,\alpha \beta }^{0}\right]~d\Omega \end{aligned}}} где толщина пластины 2 h {\displaystyle 2h} и усилия и моменты определяются как
N α β := ∫ − h h σ α β d x 3 ; M α β := ∫ − h h x 3 σ α β d x 3 {\displaystyle N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}~;~~M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}} Интегрирование по частям приводит к
δ U = ∫ Ω 0 [ − 1 2 ( N α β , β δ u α 0 + N α β , α δ u β 0 ) + M α β , β δ w , α 0 ] d Ω + ∫ Γ 0 [ 1 2 ( n β N α β δ u α 0 + n α N α β δ u β 0 ) − n β M α β δ w , α 0 ] d Γ {\displaystyle {\begin{aligned}\delta U&=\int _{\Omega ^{0}}\left[-{\frac {1}{2}}~(N_{\alpha \beta ,\beta }~\delta u_{\alpha }^{0}+N_{\alpha \beta ,\alpha }~\delta u_{\beta }^{0})+M_{\alpha \beta ,\beta }~\delta w_{,\alpha }^{0}\right]~d\Omega \\&+\int _{\Gamma ^{0}}\left[{\frac {1}{2}}~(n_{\beta }~N_{\alpha \beta }~\delta u_{\alpha }^{0}+n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }~\delta u_{\beta }^{0})-n_{\beta }~M_{\alpha \beta }~\delta w_{,\alpha }^{0}\right]~d\Gamma \end{aligned}}} Симметрия тентора напряжений подразумевает, что N α β = N β α {\displaystyle N_{\alpha \beta }=N_{\beta \alpha }} . Отсюда
δ U = ∫ Ω 0 [ − N α β , α δ u β 0 + M α β , β δ w , α 0 ] d Ω + ∫ Γ 0 [ n α N α β δ u β 0 − n β M α β δ w , α 0 ] d Γ {\displaystyle \delta U=\int _{\Omega ^{0}}\left[-N_{\alpha \beta ,\alpha }~\delta u_{\beta }^{0}+M_{\alpha \beta ,\beta }~\delta w_{,\alpha }^{0}\right]~d\Omega +\int _{\Gamma ^{0}}\left[n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }~\delta u_{\beta }^{0}-n_{\beta }~M_{\alpha \beta }~\delta w_{,\alpha }^{0}\right]~d\Gamma } Проинтегрируем по частям ещё раз
δ U = ∫ Ω 0 [ − N α β , α δ u β 0 − M α β , β α δ w 0 ] d Ω + ∫ Γ 0 [ n α N α β δ u β 0 + n α M α β , β δ w 0 − n β M α β δ w , α 0 ] d Γ {\displaystyle \delta U=\int _{\Omega ^{0}}\left[-N_{\alpha \beta ,\alpha }~\delta u_{\beta }^{0}-M_{\alpha \beta ,\beta \alpha }~\delta w^{0}\right]~d\Omega +\int _{\Gamma ^{0}}\left[n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }~\delta u_{\beta }^{0}+n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }~\delta w^{0}-n_{\beta }~M_{\alpha \beta }~\delta w_{,\alpha }^{0}\right]~d\Gamma } В случае, отсутствия внешних сил, принцип виртуальной работы подразумевает, что вариация δ U = 0 {\displaystyle \delta U=0} . Уравнения равновесия для пластины задаются
N α β , α = 0 M α β , α β = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }&=0\end{aligned}}} Если пластина испытывает внешнюю распределенную нагрузку q ( x ) {\displaystyle q(x)} , которая направлена по нормали к срединной плоскости и напрвлена вдоль направления x 3 {\displaystyle x_{3}} , то внешняя виртуальная работа из-за нагрузки
δ V e x t = ∫ Ω 0 q δ w 0 d Ω {\displaystyle \delta V_{\mathrm {ext} }=\int _{\Omega ^{0}}q~\delta w^{0}~d\Omega } Принцип виртуальной работы приводит к уравнениям равновесия
N α β , α = 0 M α β , α β − q = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q&=0\end{aligned}}}
Граничные условия, необходимые для решения уравнений равновесия в теории пластин, можно получить из граничных условий используемых в принципе виртуальной работы. В отсутствие внешних сил на границе граничные условия имеют вид
n α N α β o r u β 0 n α M α β , β o r w 0 n β M α β o r w , α 0 {\displaystyle {\begin{aligned}n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad u_{\beta }^{0}\\n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }&\quad \mathrm {or} \quad w^{0}\\n_{\beta }~M_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad w_{,\alpha }^{0}\end{aligned}}} Обратите внимание, что n α M α β , β {\displaystyle n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }} — это эффективная сила сдвига.
Соотношения между напряжениями и деформациями для линейной упругой среды имеют вид
σ α β = C α β γ θ ε γ θ σ α 3 = C α 3 γ θ ε γ θ σ 33 = C 33 γ θ ε γ θ {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\alpha \beta }&=C_{\alpha \beta \gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\\\sigma _{\alpha 3}&=C_{\alpha 3\gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\\\sigma _{33}&=C_{33\gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\end{aligned}}} поскольку σ α 3 {\displaystyle \sigma _{\alpha 3}} , а также σ 33 {\displaystyle \sigma _{33}} не фигурируют в уравнениях равновесия, то неявно предполагается, что эти величины не влияют на баланс импульса и ими можно пренебречь. Остальные соотношения напряжение-деформация в матричной имеют вид
[ σ 11 σ 22 σ 12 ] = [ C 11 C 12 C 13 C 12 C 22 C 23 C 13 C 23 C 33 ] [ ε 11 ε 22 ε 12 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}} Тогда
[ N 11 N 22 N 12 ] = ∫ − h h [ C 11 C 12 C 13 C 12 C 22 C 23 C 13 C 23 C 33 ] [ ε 11 ε 22 ε 12 ] d x 3 = { ∫ − h h [ C 11 C 12 C 13 C 12 C 22 C 23 C 13 C 23 C 33 ] d x 3 } [ u 1 , 1 0 u 2 , 2 0 1 2 ( u 1 , 2 0 + u 2 , 1 0 ) ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}=\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}dx_{3}=\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}} и
[ M 11 M 22 M 12 ] = ∫ − h h x 3 [ C 11 C 12 C 13 C 12 C 22 C 23 C 13 C 23 C 33 ] [ ε 11 ε 22 ε 12 ] d x 3 = − { ∫ − h h x 3 2 [ C 11 C 12 C 13 C 12 C 22 C 23 C 13 C 23 C 33 ] d x 3 } [ w , 11 0 w , 22 0 w , 12 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=\int _{-h}^{h}x_{3}~{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}dx_{3}=-\left\{\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}} Жесткости — это величины
A α β := ∫ − h h C α β d x 3 {\displaystyle A_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}C_{\alpha \beta }~dx_{3}} Изгибные жесткости (также называемая жесткостью на изгиб ) — это величины
D α β := ∫ − h h x 3 2 C α β d x 3 {\displaystyle D_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~C_{\alpha \beta }~dx_{3}} Основные предположения Кирхгофа — Лява приводят к нулевым поперечным силам. Тогда для определения поперечных сил в тонких пластинах Кирхгофа — Лява должны использоваться уравнения равновесия пластины. Для изотропных пластин эти уравнения приводят к выражению
Q α = − D ∂ ∂ x α ( ∇ 2 w 0 ) . {\displaystyle Q_{\alpha }=-D{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}(\nabla ^{2}w^{0})\,.} В качестве альтернативы эти поперечные силы можно записать как
Q α = M , α {\displaystyle Q_{\alpha }={\mathcal {M}}_{,\alpha }} где
M := − D ∇ 2 w 0 . {\displaystyle {\mathcal {M}}:=-D\nabla ^{2}w^{0}\,.} Если повороты нормалей к срединной поверхности находятся в диапазоне от 10 ∘ {\displaystyle ^{\circ }} до 15 ∘ {\displaystyle ^{\circ }} , то зависимости деформации от смещения можно аппроксимировать как
ε α β = 1 2 ( u α , β + u β , α + u 3 , α u 3 , β ) ε α 3 = 1 2 ( u α , 3 + u 3 , α ) ε 33 = u 3 , 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\tfrac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }+u_{\beta ,\alpha }+u_{3,\alpha }~u_{3,\beta })\\\varepsilon _{\alpha 3}&={\tfrac {1}{2}}(u_{\alpha ,3}+u_{3,\alpha })\\\varepsilon _{33}&=u_{3,3}\end{aligned}}} Тогда кинематические допущения теории Кирхгофа — Лява приводят к классической теории пластин с деформациями фон Кармана.
ε α β = 1 2 ( u α , β 0 + u β , α 0 + w , α 0 w , β 0 ) − x 3 w , α β 0 ε α 3 = − w , α 0 + w , α 0 = 0 ε 33 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}~w_{,\beta }^{0})-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=-w_{,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}} Эта теория нелинейна из-за квадратичных членов в соотношениях деформация-перемещение.
Если соотношения деформация-перемещение принимают форму фон Кармана, то уравнения равновесия перепишутся в виде
N α β , α = 0 M α β , α β + [ N α β w , β 0 ] , α − q = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+[N_{\alpha \beta }~w_{,\beta }^{0}]_{,\alpha }-q&=0\end{aligned}}} В матричной форме, для изотропной и однородной пластины зависимости напряжения от деформации имеют вид
[ σ 11 σ 22 σ 12 ] = E 1 − ν 2 [ 1 ν 0 ν 1 0 0 0 1 − ν ] [ ε 11 ε 22 ε 12 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,.} где ν {\displaystyle \nu } — коэффициент Пуассона и E {\displaystyle E} модуль Юнга . Моменты, соответствующие этим напряжениям примут вид
[ M 11 M 22 M 12 ] = − 2 h 3 E 3 ( 1 − ν 2 ) [ 1 ν 0 ν 1 0 0 0 1 − ν ] [ w , 11 0 w , 22 0 w , 12 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&{1-\nu }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}} или в развернутом виде
M 11 = − D ( ∂ 2 w 0 ∂ x 1 2 + ν ∂ 2 w 0 ∂ x 2 2 ) M 22 = − D ( ∂ 2 w 0 ∂ x 2 2 + ν ∂ 2 w 0 ∂ x 1 2 ) M 12 = − D ( 1 − ν ) ∂ 2 w 0 ∂ x 1 ∂ x 2 {\displaystyle {\begin{aligned}M_{11}&=-D\left({\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{1}^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{2}^{2}}}\right)\\M_{22}&=-D\left({\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{2}^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{1}^{2}}}\right)\\M_{12}&=-D(1-\nu ){\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\end{aligned}}} где D = 2 h 3 E / [ 3 ( 1 − ν 2 ) ] = H 3 E / [ 12 ( 1 − ν 2 ) ] {\displaystyle D=2h^{3}E/[3(1-\nu ^{2})]=H^{3}E/[12(1-\nu ^{2})]} для пластин толщиной H = 2 h {\displaystyle H=2h} . Используя соотношения напряжения-деформации для пластин, можно показать, что напряжения и моменты связаны соотношениями
σ 11 = 3 x 3 2 h 3 M 11 = 12 x 3 H 3 M 11 and σ 22 = 3 x 3 2 h 3 M 22 = 12 x 3 H 3 M 22 . {\displaystyle \sigma _{11}={\frac {3x_{3}}{2h^{3}}}\,M_{11}={\frac {12x_{3}}{H^{3}}}\,M_{11}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{22}={\frac {3x_{3}}{2h^{3}}}\,M_{22}={\frac {12x_{3}}{H^{3}}}\,M_{22}\,.} В верхней поверхности пластины, где x 3 = h = H / 2 {\displaystyle x_{3}=h=H/2} , напряжения
σ 11 = 3 2 h 2 M 11 = 6 H 2 M 11 and σ 22 = 3 2 h 2 M 22 = 6 H 2 M 22 . {\displaystyle \sigma _{11}={\frac {3}{2h^{2}}}\,M_{11}={\frac {6}{H^{2}}}\,M_{11}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{22}={\frac {3}{2h^{2}}}\,M_{22}={\frac {6}{H^{2}}}\,M_{22}\,.} Для изотропной и однородной пластины при чистом изгибе основные уравнения сводятся к (нет внешних сил)
∂ 4 w 0 ∂ x 1 4 + 2 ∂ 4 w 0 ∂ x 1 2 ∂ x 2 2 + ∂ 4 w 0 ∂ x 2 4 = 0 . {\displaystyle {\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{2}^{4}}}=0\,.} Здесь мы предположили, что смещения в плоскости не зависят от x 1 {\displaystyle x_{1}} и x 2 {\displaystyle x_{2}} . В индексной записи
w , 1111 0 + 2 w , 1212 0 + w , 2222 0 = 0 {\displaystyle w_{,1111}^{0}+2~w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=0} и в прямой записи
∇ 2 ∇ 2 w = 0 {\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=0}
которое известно как бигармоническое уравнение . Изгибающие моменты определяются выражением [ M 11 M 22 M 12 ] = − 2 h 3 E 3 ( 1 − ν 2 ) [ 1 ν 0 ν 1 0 0 0 1 − ν ] [ w , 11 0 w , 22 0 w , 12 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}} Вывод уравнений равновесия для чистого изгиба Для изотропных, однородных пластин под действием чистого изгиба основные уравнения N α β , α = 0 ⟹ N 11 , 1 + N 21 , 2 = 0 , N 12 , 1 + N 22 , 2 = 0 M α β , α β = 0 ⟹ M 11 , 11 + 2 M 12 , 12 + M 22 , 22 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\implies N_{11,1}+N_{21,2}=0~,~~N_{12,1}+N_{22,2}=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }&=0\implies M_{11,11}+2M_{12,12}+M_{22,22}=0\end{aligned}}} и соотношения напряжения-деформации
[ σ 11 σ 22 σ 12 ] = E 1 − ν 2 [ 1 ν 0 ν 1 0 0 0 1 − ν ] [ ε 11 ε 22 ε 12 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}} Тогда
[ N 11 N 22 N 12 ] = 2 h E ( 1 − ν 2 ) [ 1 ν 0 ν 1 0 0 0 1 − ν ] [ u 1 , 1 0 u 2 , 2 0 1 2 ( u 1 , 2 0 + u 2 , 1 0 ) ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {2hE}{(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}} и
[ M 11 M 22 M 12 ] = − 2 h 3 E 3 ( 1 − ν 2 ) [ 1 ν 0 ν 1 0 0 0 1 − ν ] [ w , 11 0 w , 22 0 w , 12 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}} Дифференцирование приводит к
N 11 , 1 = 2 h E ( 1 − ν 2 ) ( u 1 , 11 0 + ν u 2 , 21 0 ) ; N 22 , 2 = 2 h E ( 1 − ν 2 ) ( ν u 1 , 12 0 + u 2 , 22 0 ) N 12 , 1 = h E ( 1 − ν ) ( 1 − ν 2 ) ( u 1 , 21 0 + u 2 , 11 0 ) ; N 12 , 2 = h E ( 1 − ν ) ( 1 − ν 2 ) ( u 1 , 22 0 + u 2 , 12 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}N_{11,1}&={\cfrac {2hE}{(1-\nu ^{2})}}\left(u_{1,11}^{0}+\nu ~u_{2,21}^{0}\right)~;~~N_{22,2}={\cfrac {2hE}{(1-\nu ^{2})}}\left(\nu ~u_{1,12}^{0}+u_{2,22}^{0}\right)\\N_{12,1}&={\cfrac {hE(1-\nu )}{(1-\nu ^{2})}}\left(u_{1,21}^{0}+u_{2,11}^{0}\right)~;~~N_{12,2}={\cfrac {hE(1-\nu )}{(1-\nu ^{2})}}\left(u_{1,22}^{0}+u_{2,12}^{0}\right)\end{aligned}}} и
M 11 , 11 = − 2 h 3 E 3 ( 1 − ν 2 ) ( w , 1111 0 + ν w , 2211 0 ) M 22 , 22 = − 2 h 3 E 3 ( 1 − ν 2 ) ( ν w , 1122 0 + w , 2222 0 ) M 12 , 12 = − 2 h 3 E 3 ( 1 − ν 2 ) ( 1 − ν ) w , 1212 0 {\displaystyle {\begin{aligned}M_{11,11}&=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\left(w_{,1111}^{0}+\nu ~w_{,2211}^{0}\right)\\M_{22,22}&=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\left(\nu ~w_{,1122}^{0}+w_{,2222}^{0}\right)\\M_{12,12}&=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}(1-\nu )~w_{,1212}^{0}\end{aligned}}} Подставим результат в основные уравнение, получим
u 1 , 11 0 + ν u 2 , 21 0 + 1 2 ( 1 − ν ) ( u 1 , 22 0 + u 2 , 12 0 ) = 0 ν u 1 , 12 0 + u 2 , 22 0 + 1 2 ( 1 − ν ) ( u 1 , 21 0 + u 2 , 11 0 ) = 0 w , 1111 0 + ν w , 2211 0 + 2 ( 1 − ν ) w , 1212 0 + ν w , 1122 0 + w , 2222 0 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&u_{1,11}^{0}+\nu ~u_{2,21}^{0}+{\tfrac {1}{2}}(1-\nu )\left(u_{1,22}^{0}+u_{2,12}^{0}\right)=0\\&\nu ~u_{1,12}^{0}+u_{2,22}^{0}+{\tfrac {1}{2}}(1-\nu )\left(u_{1,21}^{0}+u_{2,11}^{0}\right)=0\\&w_{,1111}^{0}+\nu ~w_{,2211}^{0}+2(1-\nu )~w_{,1212}^{0}+\nu ~w_{,1122}^{0}+w_{,2222}^{0}=0\end{aligned}}} Поскольку порядок дифференциации не имеет значения, то u 1 , 12 0 = u 1 , 21 0 {\displaystyle u_{1,12}^{0}=u_{1,21}^{0}} , u 2 , 21 0 = u 2 , 12 0 {\displaystyle u_{2,21}^{0}=u_{2,12}^{0}} , и w , 2211 0 = w , 1212 0 = w , 1122 0 {\displaystyle w_{,2211}^{0}=w_{,1212}^{0}=w_{,1122}^{0}} . Отсюда
u 1 , 11 0 + 1 2 ( 1 − ν ) u 1 , 22 0 + 1 2 ( 1 + ν ) u 2 , 12 0 = 0 u 2 , 22 0 + 1 2 ( 1 − ν ) u 2 , 11 0 + 1 2 ( 1 + ν ) u 1 , 12 0 = 0 w , 1111 0 + 2 w , 1212 0 + w , 2222 0 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&u_{1,11}^{0}+{\tfrac {1}{2}}(1-\nu )~u_{1,22}^{0}+{\tfrac {1}{2}}(1+\nu )~u_{2,12}^{0}=0\\&u_{2,22}^{0}+{\tfrac {1}{2}}(1-\nu )~u_{2,11}^{0}+{\tfrac {1}{2}}(1+\nu )~u_{1,12}^{0}=0\\&w_{,1111}^{0}+2~w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=0\end{aligned}}} В прямой тензорной нотации, основное уравнение для пластины
∇ 2 ∇ 2 w = 0 {\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=0} где мы предположили, что перемещения u 1 0 , u 2 0 {\displaystyle u_{1}^{0},u_{2}^{0}} постоянны.
Если распределенная поперечная нагрузка − q ( x ) {\displaystyle -q(x)} применяется к пластине, то определяющее уравнение M α β , α β = − q {\displaystyle M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }=-q} . Следуя процедуре, из предыдущего раздела, получаем[3]
∇ 2 ∇ 2 w = q D ; D := 2 h 3 E 3 ( 1 − ν 2 ) {\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w={\cfrac {q}{D}}~;~~D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}}
В прямоугольных декартовых координатах основное уравнение примет вид w , 1111 0 + 2 w , 1212 0 + w , 2222 0 = − q D {\displaystyle w_{,1111}^{0}+2\,w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=-{\cfrac {q}{D}}} а в цилиндрических координатах принимает вид (для круглой пластинки с аксиально-симметричной нагрузкой)
1 r d d r [ r d d r { 1 r d d r ( r d w d r ) } ] = − q D . {\displaystyle {\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left[r{\cfrac {d}{dr}}\left\{{\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left(r{\cfrac {dw}{dr}}\right)\right\}\right]=-{\frac {q}{D}}\,.} Решения этого уравнения для различных геометрий и граничных условий можно найти в статье об изгибе пластин .
Вывод уравнений равновесия для поперечной нагрузки Для поперечно нагруженной пластины без аксиальных деформаций, основное уравнение примет вид M α β , α β = q ⟹ M 11 , 11 + 2 M 12 , 12 + M 22 , 22 = q {\displaystyle M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }=q\implies M_{11,11}+2M_{12,12}+M_{22,22}=q} где q {\displaystyle q} распределенная поперечная нагрузка (на единицу площади). Замена выражений на производные M α β {\displaystyle M_{\alpha \beta }} в основном уравнении приводит к
− 2 h 3 E 3 ( 1 − ν 2 ) [ w , 1111 0 + 2 w , 1212 0 + w , 2222 0 ] = q . {\displaystyle -{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\left[w_{,1111}^{0}+2\,w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}\right]=q\,.} Используя для изгибной жёсткости выражение
D := 2 h 3 E 3 ( 1 − ν 2 ) {\displaystyle D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}} запишем основное уравнение в виде
∇ 2 ∇ 2 w = − q D . {\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-{\frac {q}{D}}\,.}
В цилиндрических координатах ( r , θ , z ) {\displaystyle (r,\theta ,z)} ,
∇ 2 w ≡ 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ w ∂ r ) + 1 r 2 ∂ 2 w ∂ θ 2 + ∂ 2 w ∂ z 2 . {\displaystyle \nabla ^{2}w\equiv {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial w}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}\,.} Для аксиально-симметричной нагрузки и круглых пластин, w = w ( r ) {\displaystyle w=w(r)} , тогда
∇ 2 w ≡ 1 r d d r ( r d w d r ) . {\displaystyle \nabla ^{2}w\equiv {\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left(r{\cfrac {dw}{dr}}\right)\,.}
При определённых условиях нагружения плоская пластина может изгибаться, принимая форму поверхности цилиндра. Этот тип изгиба называется цилиндрическим изгибом и представляет собой особую ситуацию, когда u 1 = u 1 ( x 1 ) , u 2 = 0 , w = w ( x 1 ) {\displaystyle u_{1}=u_{1}(x_{1}),u_{2}=0,w=w(x_{1})} . В таком случае
[ N 11 N 22 N 12 ] = 2 h E ( 1 − ν 2 ) [ 1 ν 0 ν 1 0 0 0 1 − ν ] [ u 1 , 1 0 0 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {2hE}{(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\0\\0\end{bmatrix}}} а также
[ M 11 M 22 M 12 ] = − 2 h 3 E 3 ( 1 − ν 2 ) [ 1 ν 0 ν 1 0 0 0 1 − ν ] [ w , 11 0 0 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\0\\0\end{bmatrix}}} и определяющие уравнения становятся к[3]
N 11 = A d u d x 1 ⟹ d 2 u d x 1 2 = 0 M 11 = − D d 2 w d x 1 2 ⟹ d 4 w d x 1 4 = q D {\displaystyle {\begin{aligned}N_{11}&=A~{\cfrac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x_{1}}}\quad \implies \quad {\cfrac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} x_{1}^{2}}}=0\\M_{11}&=-D~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x_{1}^{2}}}\quad \implies \quad {\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x_{1}^{4}}}={\cfrac {q}{D}}\\\end{aligned}}} Динамическая теория тонких пластин ставит задачу о распространении упругих волн в пластинах, а также изучает стоячие волны и режимы колебаний.
Основные уравнения динамики пластины Кирхгофа — Лява:
N α β , β = J 1 u ¨ α 0 M α β , α β + q ( x , t ) = J 1 w ¨ 0 − J 3 w ¨ , α α 0 {\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\beta }&=J_{1}~{\ddot {u}}_{\alpha }^{0}\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+q(x,t)&=J_{1}~{\ddot {w}}^{0}-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}\end{aligned}}}
где для пластины с плотностью ρ = ρ ( x ) {\displaystyle \rho =\rho (x)} , J 1 := ∫ − h h ρ d x 3 = 2 ρ h ; J 3 := ∫ − h h x 3 2 ρ d x 3 = 2 3 ρ h 3 {\displaystyle J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}=2~\rho ~h~;~~J_{3}:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}={\frac {2}{3}}~\rho ~h^{3}} а также
u ˙ i = ∂ u i ∂ t ; u ¨ i = ∂ 2 u i ∂ t 2 ; u i , α = ∂ u i ∂ x α ; u i , α β = ∂ 2 u i ∂ x α ∂ x β {\displaystyle {\dot {u}}_{i}={\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}~;~~{\ddot {u}}_{i}={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}~;~~u_{i,\alpha }={\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{\alpha }}}~;~~u_{i,\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}} Вывод уравнений, регулирующих динамику пластин Кирхгофа — Лява Полная кинетическая энергия пластины
K = ∫ 0 T ∫ Ω 0 ∫ − h h ρ 2 [ ( ∂ u 1 ∂ t ) 2 + ( ∂ u 2 ∂ t ) 2 + ( ∂ u 3 ∂ t ) 2 ] d x 3 d A d t {\displaystyle K=\int _{0}^{T}\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}{\cfrac {\rho }{2}}\left[\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial t}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial t}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial t}}\right)^{2}\right]~\mathrm {d} x_{3}~\mathrm {d} A~\mathrm {d} t} Таким образом, вариация кинетической энергии
δ K = ∫ 0 T ∫ Ω 0 ∫ − h h ρ 2 [ 2 ( ∂ u 1 ∂ t ) ( ∂ δ u 1 ∂ t ) + 2 ( ∂ u 2 ∂ t ) ( ∂ δ u 2 ∂ t ) + 2 ( ∂ u 3 ∂ t ) ( ∂ δ u 3 ∂ t ) ] d x 3 d A d t {\displaystyle \delta K=\int _{0}^{T}\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}{\cfrac {\rho }{2}}\left[2\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial t}}\right)\left({\frac {\partial \delta u_{1}}{\partial t}}\right)+2\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial t}}\right)\left({\frac {\partial \delta u_{2}}{\partial t}}\right)+2\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial t}}\right)\left({\frac {\partial \delta u_{3}}{\partial t}}\right)\right]~\mathrm {d} x_{3}~\mathrm {d} A~\mathrm {d} t} Тут мы используем следующую нотацию
u ˙ i = ∂ u i ∂ t ; u ¨ i = ∂ 2 u i ∂ t 2 ; u i , α = ∂ u i ∂ x α ; u i , α β = ∂ 2 u i ∂ x α ∂ x β {\displaystyle {\dot {u}}_{i}={\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}~;~~{\ddot {u}}_{i}={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}~;~~u_{i,\alpha }={\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{\alpha }}}~;~~u_{i,\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}} Тогда
δ K = ∫ 0 T ∫ Ω 0 ∫ − h h ρ ( u ˙ α δ u ˙ α + u ˙ 3 δ u ˙ 3 ) d x 3 d A d t {\displaystyle \delta K=\int _{0}^{T}\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}\rho \left({\dot {u}}_{\alpha }~\delta {\dot {u}}_{\alpha }+{\dot {u}}_{3}~\delta {\dot {u}}_{3}\right)~\mathrm {d} x_{3}~\mathrm {d} A~\mathrm {d} t} Для пластин Кирхгофа — Лява
u α = u α 0 − x 3 w , α 0 ; u 3 = w 0 {\displaystyle u_{\alpha }=u_{\alpha }^{0}-x_{3}~w_{,\alpha }^{0}~;~~u_{3}=w^{0}} Отсюда
δ K = ∫ 0 T ∫ Ω 0 ∫ − h h ρ [ ( u ˙ α 0 − x 3 w ˙ , α 0 ) ( δ u ˙ α 0 − x 3 δ w ˙ , α 0 ) + w ˙ 0 δ w ˙ 0 ] d x 3 d A d t = ∫ 0 T ∫ Ω 0 ∫ − h h ρ ( u ˙ α 0 δ u ˙ α 0 − x 3 w ˙ , α 0 δ u ˙ α 0 − x 3 u ˙ α 0 δ w ˙ , α 0 + x 3 2 w ˙ , α 0 δ w ˙ , α 0 + w ˙ 0 δ w ˙ 0 ) d x 3 d A d t {\displaystyle {\begin{aligned}\delta K&=\int _{0}^{T}\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}\rho \left[\left({\dot {u}}_{\alpha }^{0}-x_{3}~{\dot {w}}_{,\alpha }^{0}\right)~\left(\delta {\dot {u}}_{\alpha }^{0}-x_{3}~\delta {\dot {w}}_{,\alpha }^{0}\right)+{\dot {w}}^{0}~\delta {\dot {w}}^{0}\right]~\mathrm {d} x_{3}~\mathrm {d} A~\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{T}\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}\rho \left({\dot {u}}_{\alpha }^{0}~\delta {\dot {u}}_{\alpha }^{0}-x_{3}~{\dot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta {\dot {u}}_{\alpha }^{0}-x_{3}~{\dot {u}}_{\alpha }^{0}~\delta {\dot {w}}_{,\alpha }^{0}+x_{3}^{2}~{\dot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta {\dot {w}}_{,\alpha }^{0}+{\dot {w}}^{0}~\delta {\dot {w}}^{0}\right)~\mathrm {d} x_{3}~\mathrm {d} A~\mathrm {d} t\end{aligned}}} Определим для постоянной по толщине ρ {\displaystyle \rho }
J 1 := ∫ − h h ρ d x 3 = 2 ρ h ; J 2 := ∫ − h h x 3 ρ d x 3 = 0 ; J 3 := ∫ − h h x 3 2 ρ d x 3 = 2 3 ρ h 3 {\displaystyle J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}=2~\rho ~h~;~~J_{2}:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\rho ~dx_{3}=0~;~~J_{3}:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}={\frac {2}{3}}~\rho ~h^{3}} Тогда
δ K = ∫ 0 T ∫ Ω 0 [ J 1 ( u ˙ α 0 δ u ˙ α 0 + w ˙ 0 δ w ˙ 0 ) + J 3 w ˙ , α 0 δ w ˙ , α 0 ] d A d t {\displaystyle \delta K=\int _{0}^{T}\int _{\Omega ^{0}}\left[J_{1}\left({\dot {u}}_{\alpha }^{0}~\delta {\dot {u}}_{\alpha }^{0}+{\dot {w}}^{0}~\delta {\dot {w}}^{0}\right)+J_{3}~{\dot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta {\dot {w}}_{,\alpha }^{0}\right]~\mathrm {d} A~\mathrm {d} t} Интегрирование по частям даёт
δ K = ∫ Ω 0 [ ∫ 0 T { − J 1 ( u ¨ α 0 δ u α 0 + w ¨ 0 δ w 0 ) − J 3 w ¨ , α 0 δ w , α 0 } d t + | J 1 ( u ˙ α 0 δ u α 0 + w ˙ 0 δ w 0 ) + J 3 w ˙ , α 0 δ w , α 0 | 0 T ] d A {\displaystyle \delta K=\int _{\Omega ^{0}}\left[\int _{0}^{T}\left\{-J_{1}\left({\ddot {u}}_{\alpha }^{0}~\delta u_{\alpha }^{0}+{\ddot {w}}^{0}~\delta w^{0}\right)-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta w_{,\alpha }^{0}\right\}~\mathrm {d} t+\left|J_{1}\left({\dot {u}}_{\alpha }^{0}~\delta u_{\alpha }^{0}+{\dot {w}}^{0}~\delta w^{0}\right)+J_{3}~{\dot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta w_{,\alpha }^{0}\right|_{0}^{T}\right]~\mathrm {d} A} Вариации δ u α 0 {\displaystyle \delta u_{\alpha }^{0}} и δ w 0 {\displaystyle \delta w^{0}} равны нулю при t = 0 {\displaystyle t=0} и t = T {\displaystyle t=T} . Таким образом, после перемены последовательности интегрирования
δ K = − ∫ 0 T { ∫ Ω 0 [ J 1 ( u ¨ α 0 δ u α 0 + w ¨ 0 δ w 0 ) + J 3 w ¨ , α 0 δ w , α 0 ] d A } d t + | ∫ Ω 0 J 3 w ˙ , α 0 δ w , α 0 d A | 0 T {\displaystyle \delta K=-\int _{0}^{T}\left\{\int _{\Omega ^{0}}\left[J_{1}\left({\ddot {u}}_{\alpha }^{0}~\delta u_{\alpha }^{0}+{\ddot {w}}^{0}~\delta w^{0}\right)+J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta w_{,\alpha }^{0}\right]~\mathrm {d} A\right\}~\mathrm {d} t+\left|\int _{\Omega ^{0}}J_{3}~{\dot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta w_{,\alpha }^{0}\mathrm {d} A\right|_{0}^{T}} Интеграция по частям в срединной поверхности даёт
δ K = − ∫ 0 T { ∫ Ω 0 [ J 1 ( u ¨ α 0 δ u α 0 + w ¨ 0 δ w 0 ) − J 3 w ¨ , α α 0 δ w 0 ] d A + ∫ Γ 0 J 3 n α w ¨ , α 0 δ w 0 d s } d t − | ∫ Ω 0 J 3 w ˙ , α α 0 δ w 0 d A − ∫ Γ 0 J 3 w ˙ , α 0 δ w 0 d s | 0 T {\displaystyle {\begin{aligned}\delta K&=-\int _{0}^{T}\left\{\int _{\Omega ^{0}}\left[J_{1}\left({\ddot {u}}_{\alpha }^{0}~\delta u_{\alpha }^{0}+{\ddot {w}}^{0}~\delta w^{0}\right)-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}~\delta w^{0}\right]~\mathrm {d} A+\int _{\Gamma ^{0}}J_{3}~n_{\alpha }~{\ddot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta w^{0}~\mathrm {d} s\right\}~\mathrm {d} t\\&\qquad -\left|\int _{\Omega ^{0}}J_{3}~{\dot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}~\delta w^{0}~\mathrm {d} A-\int _{\Gamma ^{0}}J_{3}~{\dot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta w^{0}~\mathrm {d} s\right|_{0}^{T}\end{aligned}}} Опять же, поскольку вариации остаются нулевыми в начале и в конце промежутка времени, то
δ K = − ∫ 0 T { ∫ Ω 0 [ J 1 ( u ¨ α 0 δ u α 0 + w ¨ 0 δ w 0 ) − J 3 w ¨ , α α 0 δ w 0 ] d A + ∫ Γ 0 J 3 n α w ¨ , α 0 δ w 0 d s } d t {\displaystyle \delta K=-\int _{0}^{T}\left\{\int _{\Omega ^{0}}\left[J_{1}\left({\ddot {u}}_{\alpha }^{0}~\delta u_{\alpha }^{0}+{\ddot {w}}^{0}~\delta w^{0}\right)-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}~\delta w^{0}\right]~\mathrm {d} A+\int _{\Gamma ^{0}}J_{3}~n_{\alpha }~{\ddot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta w^{0}~\mathrm {d} s\right\}~\mathrm {d} t} Для динамического случая вариация внутренней энергии
δ U = − ∫ 0 T { ∫ Ω 0 [ N α β , α δ u β 0 + M α β , β α δ w 0 ] d A − ∫ Γ 0 [ n α N α β δ u β 0 + n α M α β , β δ w 0 − n β M α β δ w , α 0 ] d s } d t {\displaystyle \delta U=-\int _{0}^{T}\left\{\int _{\Omega ^{0}}\left[N_{\alpha \beta ,\alpha }~\delta u_{\beta }^{0}+M_{\alpha \beta ,\beta \alpha }~\delta w^{0}\right]~\mathrm {d} A-\int _{\Gamma ^{0}}\left[n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }~\delta u_{\beta }^{0}+n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }~\delta w^{0}-n_{\beta }~M_{\alpha \beta }~\delta w_{,\alpha }^{0}\right]~\mathrm {d} s\right\}\mathrm {d} t} Интеграция по частям и предположение о нулевой вариации на границе срединной поверхности дает
δ U = − ∫ 0 T { ∫ Ω 0 [ N α β , α δ u β 0 + M α β , β α δ w 0 ] d A − ∫ Γ 0 [ n α N α β δ u β 0 + n α M α β , β δ w 0 + n β M α β , α δ w 0 ] d s } d t {\displaystyle \delta U=-\int _{0}^{T}\left\{\int _{\Omega ^{0}}\left[N_{\alpha \beta ,\alpha }~\delta u_{\beta }^{0}+M_{\alpha \beta ,\beta \alpha }~\delta w^{0}\right]~\mathrm {d} A-\int _{\Gamma ^{0}}\left[n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }~\delta u_{\beta }^{0}+n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }~\delta w^{0}+n_{\beta }~M_{\alpha \beta ,\alpha }~\delta w^{0}\right]~\mathrm {d} s\right\}\mathrm {d} t} Если имеется внешняя распределенная сила q ( x , t ) {\displaystyle q(x,t)} действуя по нормали к поверхности пластины, то виртуальная внешняя работа
δ V e x t = ∫ 0 T [ ∫ Ω 0 q ( x , t ) δ w 0 d A ] d t {\displaystyle \delta V_{\mathrm {ext} }=\int _{0}^{T}\left[\int _{\Omega ^{0}}q(x,t)~\delta w^{0}~\mathrm {d} A\right]\mathrm {d} t} Из принципа виртуальной работы δ U + δ V e x t = δ K {\displaystyle \delta U+\delta V_{\mathrm {ext} }=\delta K} . Таким образом, основные уравнения баланса для пластины
N α β , β = J 1 u ¨ α 0 M α β , α β − q ( x , t ) = J 1 w ¨ 0 − J 3 w ¨ , α α 0 {\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\beta }&=J_{1}~{\ddot {u}}_{\alpha }^{0}\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q(x,t)&=J_{1}~{\ddot {w}}^{0}-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}\end{aligned}}}
Решения этих уравнений для некоторых частных случаев можно найти в статье о колебаниях пластин. На рисунках ниже показаны некоторые колебательные моды для круглой пластины защемлённой по контуру.
режим k = 0, p = 1
режим k = 0, p = 2
режим k = 1, p = 2
Основные уравнения значительно упрощаются для изотропных и однородных пластин, для которых деформациями в срединной плоскости можно пренебречь. В этом случае остается одно уравнение следующего вида (в прямоугольных декартовых координатах):
D ( ∂ 4 w ∂ x 4 + 2 ∂ 4 w ∂ x 2 ∂ y 2 + ∂ 4 w ∂ y 4 ) = − q ( x , y , t ) − 2 ρ h ∂ 2 w ∂ t 2 . {\displaystyle D\,\left({\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}\right)=-q(x,y,t)-2\rho h\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}\,.} где D {\displaystyle D} — изгибная жесткость. Для однородной плиты толщиной 2 h {\displaystyle 2h} ,
D := 2 h 3 E 3 ( 1 − ν 2 ) . {\displaystyle D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\,.} В прямой записи
D ∇ 2 ∇ 2 w = − q ( x , y , t