Тривиальный узел

Тривиальный узел
Обозначения
Александера–Бриггса[англ.]	01
Многочлены
Александера	${\displaystyle 1}$
Джонса	${\displaystyle 1}$
Кауфмана	${\displaystyle 1}$
Конвея	${\displaystyle 1}$
HOMFLY	${\displaystyle 1}$
Инварианты
Инвариант Арфа[англ.]	0
Число нитей	1
Число мостов	0
Число пересечений	0
Род	0
Число отрезков	3
Число туннелей[англ.]	0
Число развязывания	0
Свойства
Простой, торический, расслоенный, полностью амфихиральный, срезанный
Медиафайлы на Викискладе

Тривиальный узел (или незаузлённый узел, англ. unknot) — геометрический узел, объемлюще-изотопный стандартному вложению окружности в трёхмерную сферу, а также объемлюще-изотопический класс такого геометрического узла.

Под окружностью здесь подразумевается подмножество ${\displaystyle S^{1}=\{(x,y)\,|\,x^{2}+y^{2}=1\}}$ евклидовой плоскости, а под стандартным вложением окружности в трёхмерную сферу – вложение ${\displaystyle {\textrm {U}}\colon S^{1}\hookrightarrow \mathbb {R^{2}} \xrightarrow {h} \mathbb {R} ^{3}\cup \{\infty \}\cong S^{3}}$, где ${\displaystyle h(x,y)=(x,y,0)}$ или любое аналогичное отображение, отправляющее плоскость в одну из координатных плоскостей трёхмерного пространства.^[1]

Эквивалентно можно определить тривиальный узел как геометрический узел, который продолжается до гладкого вложения двумерного диска в трёхмерную сферу, а также объемлюще-изотопический класс такого геометрического узла. Иными словами, любой геометрический узел, для которого существует гладко вложенный в трёхмерную сферу двумерный диск, границей которого является этот геометрический узел, называется тривиальным узлом и все тривиальные узлы являются объемлюще-изотопными.^[2]

Узел, не являющийся тривиальным, принято называть нетривиальным узлом.^[3]

Тривиальный узел играет существенную роль в различных задачах теории узлов и обладает рядом уникальных свойств.

• Тривиальный узел – единственный узел, который допускает диаграмму без перекрёстков, иными словами число перекрёстков тривиального узла равняется нулю. Стоит отметить, что иногда^[4] наличие диаграммы без перекрёстков принимается за определение тривиального узла.

• Ориентированный тривиальный узел является единичным элементом в моноиде узлов.
• Большинство численных мер сложности принимают (иногда по соглашению, как в случае с числом мостов) минимальные значения на тривиальном узле, иными словами, тривиальный узел оказывается «самым простым» во многих разумных смыслах. Так, например,
  • число перекрёстков, число развязывания, род и тоннельное число^[англ.] тривиального узла равняются ${\displaystyle 0}$,
  • число мостов и индекс косы тривиального узла равняются ${\displaystyle 1}$,
  • дуговое число тривиального узла равняется ${\displaystyle 2}$,
  • число отрезков тривиального узла равняется ${\displaystyle 3}$,

и это единственный для каждого перечисленного выше инварианта узел, на котором достигается соответствующее значение.

• Все классические полиномиальные инварианты узлов, такие как многочлен Александера, многочлен Джонса, многочлен Кауффмана и многочлен HOMFLY-PT, принимают на тривиальном узле значение ${\displaystyle 1}$. Но в отличие от мер сложности вопрос о единственности тривиального узла как принимающего единичное значение не так однозначен. Так, существует бесконечное количество нетривиальных узлов, значение многочлена Александера на которых равно ${\displaystyle 1}$ (например, любое дублирование Уайтхеда удовлетворяет этому условию), а существование нетривиального узла с равным единице многочленом Джонса или многочленом HOMFLY-PT до сих пор является открытым вопросом.

• Теорема: Тривиальный узел является простым узлом, то есть не допускает представления в виде связной суммы двух нетривиальных узлов.

Эквивалентная переформулировка теоремы о простоте тривиального узла вносит ясность в устройство моноида узлов, а именно, утверждает, что ни один нетривиальный элемент этого моноида не имеет обратного. Этот элементарный, но нетривиальный результат имеет несколько независимых доказательств.

• Дополнение любого узла как трёхмерное многообразие имеет в качестве края тор, однако, по теореме Александера о торе, только тривиальный узел обладает дополнением, гомеоморфным полноторию. Кроме того, тривиальный узел это единственный узел, чья группа узла изоморфна ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.
• Теорема Шарльманна: любой узел, смежный тривиальному в гордиевом графе переключения перекрёстков, является простым узлом. Иными словами, нельзя получить из составного узла тривиальный узел с помощью однократного применения переключения перекрёстков, то есть число развязывания любого составного узла строго больше единицы.^[6]
• Тривиальный узел является расслоенным узлом.
• Тривиальный узел является срезанным узлом.

• Тривиальный узел является торическим узлом.
• Теорема Фари — Милнора: Если вариация поворота геометрического узла ${\displaystyle K}$ не превосходит ${\displaystyle 4\pi }$, то узел ${\displaystyle K}$ является тривиальным.

Классический вопрос алгоритмической теории узлов — задача распознавания тривиального узла. Задача состоит в том, чтобы создать алгоритм, который по поданной на вход диаграмме узла выводил бы ответ, является ли данный узел тривиальным. Существует ряд алгоритмов, решающих эту задачу, однако основной вопрос на данный момент остаётся открытым, а именно, существует ли полиномиальный алгоритм распознавания тривиального узла. Стоит отметить, что диаграммы тривиального узла могут быть очень сложными как к визуальному, так и к машинному распознаванию. Классическим примером «трудной» диаграммы тривиального узла является так называемый «Гордиев узел Хакена».

С тривиальным узлом связан ряд инвариантов, обобщённо называемых числа развязывания. Исторически первым подобным инвариантом было классическое число развязывания узла, то есть минимальное количество применений преобразования переключения перекрёстков, необходимое для превращения данного узла в тривиальный. Несколько позже, с развитием теории преобразований узлов, появились соответствующие инварианты и для других преобразований, например, число H(2)-развязываний или число Δ-развязываний.^[7][8]

• Мантуров В. О. Теория узлов (рус.). — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. — 512 с. — ISBN 5-93972-404-3.

• Прасолов В. В., Сосинский А. Б. Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия (рус.). — Москва: МЦНМО, 1997. — Т. 352. — 351 с. — ISBN 5-900916-10-3.

• Kanenobu T., Miyazawa Y. ${\displaystyle {\textrm {H}}(2)}$-unknotting number of a knot (англ.) // Communications in Mathematical Research. — 2009. — Vol. 25. — P. 433-460.

• Lickorish W. B. R. An introduction to knot theory (англ.). — Springer Science & Business Media, 1997. — Vol. 175. — 214 p. — ISBN 978-0387982540.

• Okada M. Delta-unknotting operation and the second coefficient of the Conway polynomial (англ.) // Journal of the Mathematical Society of Japan. — 1990. — Vol. 42, no. 4. — P. 713-717. — doi:10.2969/jmsj/04240713.

• Rolfsen D. Knots and links (англ.). — American Mathematical Society, 2003. — Vol. 346. — 439 p. — ISBN 978-0821834367.

• Scharlemann M. G. Unknotting number one knots are prime (англ.) // Inventiones mathematicae. — 1985. — Vol. 82, no. 1. — P. 37-55. — doi:10.1007/BF01394778.