Уравнение Пуассона

Уравне́ние Пуассо́на — эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных, которое описывает

• электростатическое поле,
• гравитационное поле,
• стационарное поле температуры,
• поле давления,
• поле потенциала скорости в гидродинамике.

Оно названо в честь французского физика и математика Симеона Дени Пуассона.

Это уравнение имеет вид:

${\displaystyle \Delta \varphi =f,}$

где ${\displaystyle \varphi }$ — искомая функция, ${\displaystyle \Delta }$ — оператор Лапласа, или лапласиан, а ${\displaystyle f}$ — заданная вещественная или комплексная функция на некотором многообразии.

В трёхмерной декартовой системе координат уравнение принимает форму:

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z).}$

В декартовой системе координат оператор Лапласа записывается в форме ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ (${\displaystyle \nabla }$ — оператор набла) и уравнение Пуассона принимает вид:

${\displaystyle {\nabla }^{2}\varphi =f.}$

Уравнение Пуассона с ${\displaystyle f\equiv 0}$ называется уравнением Лапласа:

${\displaystyle \Delta \varphi =0.}$

Уравнение Пуассона может быть решено с использованием функции Грина; см., например, статью экранированное уравнение Пуассона. Есть различные методы для получения численных решений. Например, используется итерационный алгоритм — «релаксационный метод».

Уравнение Пуассона является одним из важнейших уравнений электростатики. Оно широко используется для нахождения электростатического потенциала ${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )}$ (${\displaystyle \mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} }$ — радиус-вектор) для известного распределения заряда.

В единицах системы СИ:

${\displaystyle {\nabla }^{2}\phi =-{\rho \over \varepsilon _{0}},}$

где ${\displaystyle \phi }$ — электростатический потенциал (в вольтах), ${\displaystyle \rho }$ — объёмная плотность заряда (в кулонах на кубический метр), а ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ — диэлектрическая проницаемость вакуума (в фарадах на метр). То есть в данном случае роль искомой функции ${\displaystyle \varphi }$ играет ${\displaystyle \phi }$, а роль функции ${\displaystyle f}$ перенимает ${\displaystyle -\rho (\mathbf {r} )/\varepsilon _{0}}$.

В единицах системы СГС то же электростатическое уравнение Пуассона записывается как ${\displaystyle {\nabla }^{2}\phi =-{4\pi \rho }}$. Ниже используется только СИ.

Уравнение выводится из закона Гаусса (${\displaystyle \mathrm {div} \,\mathbf {E} \equiv \nabla \cdot \mathbf {E} ={\rho \over \varepsilon _{0}})}$ и определения статического потенциала (${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi }$)^[1]:

${\displaystyle {\rho \over \varepsilon _{0}}=\nabla \cdot \mathbf {E} =\nabla \cdot (-\nabla \phi )=-\nabla \cdot \nabla \phi =-\nabla ^{2}\phi .}$

В области пространства, где нет «непарной» плотности заряда, а именно локальные положительные заряды скомпенсированы локальными отрицательными (допустим, ионный заряд локально скомпенсирован электронным):

${\displaystyle \rho =0,}$

и уравнение для потенциала превращается в уравнение Лапласа:

${\displaystyle {\nabla }^{2}\phi =0.}$

Известно, что потенциал, источником которого служит точечный электрический заряд ${\displaystyle q}$, имеет вид

${\displaystyle \phi _{q}={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{q \over r}}$.

Такой потенциал, называемый кулоновским, есть по сути (а строго говоря при ${\displaystyle q=1}$) функция Грина

${\displaystyle \Phi _{1}(x,y,z)={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{1 \over r}}$

для уравнения Пуассона, то есть решение уравнения

${\displaystyle \Delta \varphi =-{1 \over \varepsilon _{0}}\delta (x)\delta (y)\delta (z)\ ,}$

где ${\displaystyle \delta (x)}$ — обозначение дельта-функции Дирака. Произведение трёх дельта-функций есть трехмерная дельта-функция, а ${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$.

В связи с этим ясно, что решение уравнения Пуассона с произвольной правой частью может быть записано как

${\displaystyle \phi (x,y,z)=\int \rho (\xi ,\eta ,\zeta )\Phi _{1}(x-\xi ,y-\eta ,z-\zeta )d\xi d\eta d\zeta =}$

${\displaystyle =\int {1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{\rho (\xi ,\eta ,\zeta ) \over {\sqrt {(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}}}}d\xi d\eta d\zeta .}$

Здесь имеется в виду наиболее простой случай «без граничных условий», когда принимается, что на бесконечности решение должно стремиться к нулю. Рассмотрение более общего случая произвольных граничных условий и вообще более подробное изложение - см. в статье Функция Грина.

Физический смысл последней формулы — применение принципа суперпозиции (что возможно, поскольку уравнение Пуассона линейно) и нахождение потенциала как суммы потенциалов точечных зарядов ${\displaystyle \rho dV}$.

Для практически важного случая сферически симметричного гауссова распределения заряда ${\displaystyle \rho (r)}$:

${\displaystyle \rho (r)={\frac {Q}{\sigma ^{3}(2\pi )^{3/2}}}\,e^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})},}$

где ${\displaystyle Q}$ — общий заряд, решение ${\displaystyle \phi (r)}$ уравнения Пуассона:

${\displaystyle {\nabla }^{2}\phi =-{\rho \over \varepsilon _{0}}}$

даётся выражением:

${\displaystyle \phi (r)={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{\frac {Q}{r}}\,{\mbox{erf}}\left({\frac {r}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right),}$

где ${\displaystyle \mathrm {erf} (x)}$ — функция ошибок. Это решение можно проверить напрямую вычислением ${\displaystyle {\nabla }^{2}\phi }$. Для ${\displaystyle r}$, много больших, чем ${\displaystyle \sigma }$, ${\displaystyle \mathrm {erf} (x)}$ приближается к единице, и потенциал ${\displaystyle \phi (r)}$ приближается к потенциалу точечного заряда ${\displaystyle {1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{Q \over r}}$, как и следовало ожидать.

Сфера электростатики — не единственная область применения уравнения Пуассона. В числе других областей — расчёт гравитационного потенциала ${\displaystyle \varphi }$; его градиент определяет напряжённость гравитационного поля.

Потенциал ${\displaystyle \varphi }$, создаваемый точечной массой ${\displaystyle m}$, расположенной в начале координат, равен

${\displaystyle \varphi _{m}=-{\frac {Gm}{r}},}$

где ${\displaystyle G}$ — гравитационная постоянная, ${\displaystyle r}$ — расстояние от начала координат. На бесконечности потенциал такого вида обращается в ноль. В общем случае произвольного распределения массы, описываемого координатно-зависимой плотностью ${\displaystyle \rho }$ (кг/м³), уравнение Пуассона записывается:

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =4\pi G\rho .}$

С точностью до замены ${\displaystyle -1/\varepsilon _{0}\to 4\pi G}$ и изменения смысла величины ${\displaystyle \rho }$ («плотность заряда» ${\displaystyle \to }$ «плотность массы»), уравнение подобно соответствующему электростатическому уравнению. Правда, в случае гравитационных сил не бывает ситуации отталкивания, но на решении этот факт никак не сказывается.

Решение такой же вид, как и в электростатике:

${\displaystyle \varphi (x,y,z)=-\int G{\rho (\xi ,\eta ,\zeta ) \over {\sqrt {(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}}}}d\xi d\eta d\zeta .}$

Рассмотрение уравнения Пуассона в остальных упоминавшихся в преамбуле областях физики может быть выполнено аналогично, только со специфическим для конкретной области смыслом входящих в него величин.

• Дискретное уравнение Пуассона^[англ.]
• Экранированное уравнение Пуассона

• Poisson Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9