Фибоначчиева куча

Фибоначчиева куча (англ. Fibonacci heap) — структура данных, представляющая собой набор деревьев, упорядоченных в соответствии со свойством неубывающей пирамиды. Фибоначчиевы кучи были введены Майклом Фредманом и Робертом Тарьяном в 1984 году.

Структура является реализацией абстрактного типа данных «Очередь с приоритетом», и замечательна тем, что операции, в которых не требуется удаление, имеют амортизированное время работы, равное (для двоичной кучи и биномиальной кучи амортизационное время работы равно ). Кроме стандартных операций INSERT, MIN, DECREASE-KEY, фибоначчиева куча позволяет за время выполнять операцию UNION слияния двух куч.

  • Фибоначчиева куча представляет собой набор деревьев.
  • Каждое дерево в подчиняется свойству кучи (англ. min-heap property): ключ каждого узла не меньше ключа его родительского узла.
  • Каждый узел в содержит следующие указатели и поля:
    • — поле, в котором хранится ключ;
    • — указатель на родительский узел;
    • — указатель на один из дочерних узлов;
    • — указатель на левый сестринский узел;
    • — указатель на правый сестринский узел;
    • — поле, в котором хранится количество дочерних узлов;
    • — логическое значение, которое указывает, были ли потери узлом дочерних узлов, начиная с момента, когда стал дочерним узлом какого-то другого узла.
  • Дочерние узлы объединены при помощи указателей и в один циклический двусвязный список дочерних узлов (англ. child list) .
  • Корни всех деревьев в связаны при помощи указателей и в циклический двусвязный список корней (англ. root list).
  • Для всей Фибоначчиевой кучи также хранится указатель на узел с минимальным ключом , являющийся корнем одного из деревьев. Этот узел называется минимальным узлом (англ. minimum node) .
  • Текущее количество узлов в хранится в .

Создание новой фибоначчиевой кучи

[править | править код]

Процедура Make_Fib_Heap возвращает объект фибоначчиевой кучи , и = NULL. Деревьев в нет.

Амортизированная стоимость процедуры равна её фактической стоимости .

Вставка узла

[править | править код]
Fib_Heap_Insert  1  ← 0  2  ← NULL  3  ← NULL  4   5   6  ← FALSE  7 Присоединение списка корней, содержащего , к списку корней   8 if  = NULL или   9    then  10  + 1 

Амортизированная стоимость процедуры равна её фактической стоимости .

Поиск минимального узла

[править | править код]

Процедура Fib_Heap_Minimum возвращает указатель .

Амортизированная стоимость процедуры равна её фактической стоимости .

Объединение двух фибоначчиевых куч

[править | править код]
Fib_Heap_Union 1  ← Make_Fib_Heap() 2  3 Добавление списка корней  к списку корней  4 if ( = NULL) или ( ≠ NULL и  < ) 5    then  6  7 Освобождение объектов  и  8 return  

Амортизированная стоимость процедуры равна её фактической стоимости .

Извлечение минимального узла

[править | править код]
Fib_Heap_Extract_Min  1   2 if  ≠ NULL  3    then for для каждого дочернего по отношению к  узла   4             do Добавить  в список корней   5                 ← NULL  6         Удалить  из списка корней   7         if  =   8            then  ← NULL  9            else  10                 Consolidate 11          12 return  

На одном из этапов операции извлечения минимального узла выполняется уплотнение (англ. consolidating) списка корней . Для этого используется вспомогательная процедура Consolidate. Эта процедура использует вспомогательный массив . Если , то в настоящий момент является корнем со степенью .

Consolidate  1 for  ← 0 to   2     do  ← NULL  3 for для каждого узла  в списке корней   4     do   5          6        while  ≠ NULL  7              do  //Узел с той же степенью, что и у   8              if   9                 then обменять  10              Fib_Heap_Link 11               ← NULL 12               13         14  ← NULL 15 for  ← 0 to  16     do if  ≠ NULL 17           then Добавить  в список корней  18                if  = NULL или  19                   then  
Fib_Heap_Link 1 Удалить  из списка корней  2 Сделать  дочерним узлом , увеличить  3  ← FALSE 

Амортизированная стоимость извлечения минимального узла равна .

Уменьшение ключа

[править | править код]
Fib_Heap_Decrease_Key 1 if  2    then error «Новый ключ больше текущего» 3  4  5 if  ≠ NULL и  6    then Cut 7         Cascading_Cut 8 if  9    then  
Cut 1 Удаление  из списка дочерних узлов , уменьшение  2 Добавление  в список корней  3  ← NULL 4  ← FALSE 
Cascading_Cut  1  2 if  ≠ NULL 3    then if  = FALSE 4            then  ← TRUE 5            else Cut 6                 Cascading_Cut 

Амортизированная стоимость уменьшения ключа не превышает .

Удаление узла

[править | править код]
Fib_Heap_Delete 1 Fib_Heap_Decrease_Key 2 Fib_Heap_Extract_Min 

Амортизированное время работы процедуры равно .

Литература

[править | править код]
  • Томас Х. Кормен и др. Алгоритмы: построение и анализ. — 2-е изд. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2007. — С. 1296. — ISBN 5-8459-0857-4.
  • Mehlhorn, Kurt, Sanders, Peter. 6.2.2 Fibonacci Heaps // Algorithms and Data Structures: The Basic Toolbox. — Springer, 2008. — 300 с. — ISBN 978-3-540-77978-0.