Число Коксетера

Число Коксетера — характеристика конечной неприводимой группы Коксетера. В случае, когда группа Коксетера является группой Вейля простой алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ , то говорят о числе Коксетера алгебры ${\mathfrak {g}}$ .

Понятие названо в честь Гарольда Коксетера.

Определение

Существует несколько эквивалентных определений этого числа.

Число Коксетера равно количеству корней, делённому на ранг. Эквивалентно, число Коксетера равно удвоенному числу отражений в группе Коксетера, делённому на ранг. Если группа построена по простой алгебре Ли, то размерность этой алгебры равна n(h + 1), где n — ранг, и h — число Коксетера.
Элементом Коксетера (иногда элементом Киллинга — Коксетера) называется произведение всех простых отражений (не путать с элементом группы Коксетера наибольшей длины). Числом Коксетера называется порядок элемента Коксетера.
Если $\theta =\sum m_{i}\alpha _{i}$ $\theta =\sum m_{i}\alpha _{i}$ — разложение старшего корня по простым корням, то число Коксетера равно $1+\sum m_{i}$ $1+\sum m_{i}$ .
- Эквивалентно, если $\rho ^{\vee }$ — такой элемент, что $\langle \rho ^{\vee },\alpha _{i}\rangle =1$ , то $h=\langle \rho ^{\vee },\theta \rangle +1$ .
Число Коксетера — это наибольшая из степеней базисных инвариантов группы Коксетера.

Таблица значений

Группа Коксетера и символ Шлефли		Граф Коксетера	Диаграмма Дынкина	Число Коксетера $h$	Двойственное число Коксетера $h^{\vee }$	Степени базисных инвариантов
A_n	[3,3...,3]	...	...	n + 1	n + 1	2, 3, 4, ..., n + 1
B_n	[4,3...,3]	...	...	2n	2n − 1	2, 4, 6, ..., 2n
C_n	[4,3...,3]	...	...	2n	n + 1	2, 4, 6, ..., 2n
D_n	[3,3,..3^1,1]	...	...	2n − 2	2n − 2	n; 2, 4, 6, ..., 2n − 2
E₆	[3^2,2,1]			12	12	2, 5, 6, 8, 9, 12
E₇	[3^3,2,1]			18	18	2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
E₈	[3^4,2,1]			30	30	2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
F₄	[3,4,3]			12	9	2, 6, 8, 12
G₂	[6]			6	4	2, 6
H₃	[5,3]		-	10		2, 6, 10
H₄	[5,3,3]		-	30		2, 12, 20, 30
I₂(p)	[p]		-	p		2, p

Вариации и обобщения

Дуальное число Коксетера

В случае, когда группа Коксетера является группой Вейля простой алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ , можно ввести дуальное (двойственное) число Коксетера $h^{\vee }$ . Такое понятие, видимо, впервые появилось в статье Спрингера и Стейнберга 1970 года^[1] и часто встречается в теории представлений. Определить это число можно любым из следующих способов.

Если $\rho$ — это полусумма положительных корней, а $\theta$ — это старший корень, то $h^{\vee }=\langle \rho ,\theta \rangle +1$ .
Если $\theta _{m}=\sum m_{i}\alpha _{i}$ — это старший из коротких корней, разложенный по простым корням, то $h^{\vee }=\sum m_{i}+1$ .
Удвоенное дуальное число Коксетера равно отношению двух инвариантных симметричных билинейных форм на алгебре Ли ${\mathfrak {g}}$ : формы Киллинга и формы, в которой старший корень имеет длину 2.
По таблице выше.

Для алгебр Ли с простыми связями число Коксетера и дуальной число Коксетера совпадают. Дуальное число число Коксетера не следует путать с числом Коксетера дуальной алгебры Ли.

Для аффинной алгебры Ли^[англ.] ${\widehat {\mathfrak {g}}}$ значение уровня, равное $-h^{\vee }$ , называется критическим, при этом значении универсальная обертывающая алгебра имеет большой центр.

Примечания

↑ What role does the “dual Coxeter number” play in Lie theory — Mathoverflow (неопр.). Дата обращения: 29 августа 2015. Архивировано 2 сентября 2015 года.

Ссылки

Н. Бурбаки, Элементы математики, Группы и алгебры Ли, Главы IV-VI, М.: Мир, 1972.
J. Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups, Cambridge University Press, 1990.
Etingof, Pavel I.; Frenkel, Igor; Kirillov, Alexander A. (1998), Lectures on Representation Theory and Knizhnik–Zamolodchikov Equations, Mathematical Surveys and Monographs 58, American Mathematical Society, ISBN 0821804960

[1] What role does the “dual Coxeter number” play in Lie theory — Mathoverflow (неопр.). Дата обращения: 29 августа 2015. Архивировано 2 сентября 2015 года.

[1]