Эллипсоидальные координаты — трёхмерная ортогональная система координат ( λ , μ , ν ) {\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )} эллиптической системы координат . Данная система координат основана на использовании софокусных поверхностей второго порядка .
Декартовы координаты ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} ( λ , μ , ν ) {\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )}
x 2 = ( a 2 + λ ) ( a 2 + μ ) ( a 2 + ν ) ( a 2 − b 2 ) ( a 2 − c 2 ) , {\displaystyle x^{2}={\frac {\left(a^{2}+\lambda \right)\left(a^{2}+\mu \right)\left(a^{2}+\nu \right)}{\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(a^{2}-c^{2}\right)}},} y 2 = ( b 2 + λ ) ( b 2 + μ ) ( b 2 + ν ) ( b 2 − a 2 ) ( b 2 − c 2 ) , {\displaystyle y^{2}={\frac {\left(b^{2}+\lambda \right)\left(b^{2}+\mu \right)\left(b^{2}+\nu \right)}{\left(b^{2}-a^{2}\right)\left(b^{2}-c^{2}\right)}},} z 2 = ( c 2 + λ ) ( c 2 + μ ) ( c 2 + ν ) ( c 2 − b 2 ) ( c 2 − a 2 ) , {\displaystyle z^{2}={\frac {\left(c^{2}+\lambda \right)\left(c^{2}+\mu \right)\left(c^{2}+\nu \right)}{\left(c^{2}-b^{2}\right)\left(c^{2}-a^{2}\right)}},} при этом на координаты накладываются ограничения
− λ < c 2 < − μ < b 2 < − ν < a 2 . {\displaystyle -\lambda <c^{2}<-\mu <b^{2}<-\nu <a^{2}.} Поверхности с постоянной λ {\displaystyle \lambda } эллипсоидами :
x 2 a 2 + λ + y 2 b 2 + λ + z 2 c 2 + λ = 1 , {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}+\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\lambda }}=1,} Поверхности с постоянной μ {\displaystyle \mu } гиперболоидами
x 2 a 2 + μ + y 2 b 2 + μ + z 2 c 2 + μ = 1 , {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}+\mu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\mu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\mu }}=1,} поскольку последнее слагаемое отрицательно, а поверхности с постоянной ν {\displaystyle \nu }
x 2 a 2 + ν + y 2 b 2 + ν + z 2 c 2 + ν = 1 , {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}+\nu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\nu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\nu }}=1,} поскольку два последних слагаемых отрицательны.
При построении эллипсоидальных координат используются софокусные поверхности второго порядка.
Для краткости в уравнениях ниже введём функцию
S ( σ ) = d e f ( a 2 + σ ) ( b 2 + σ ) ( c 2 + σ ) , {\displaystyle S(\sigma )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left(a^{2}+\sigma \right)\left(b^{2}+\sigma \right)\left(c^{2}+\sigma \right),} где σ {\displaystyle \sigma } ( λ , μ , ν ) {\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )}
h λ = 1 2 ( λ − μ ) ( λ − ν ) S ( λ ) , {\displaystyle h_{\lambda }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)}{S(\lambda )}}},} h μ = 1 2 ( μ − λ ) ( μ − ν ) S ( μ ) , {\displaystyle h_{\mu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right)}{S(\mu )}}},} h ν = 1 2 ( ν − λ ) ( ν − μ ) S ( ν ) . {\displaystyle h_{\nu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}{S(\nu )}}}.} Следовательно бесконечно малый элементарный объём запишется в виде
d V = ( λ − μ ) ( λ − ν ) ( μ − ν ) 8 − S ( λ ) S ( μ ) S ( ν ) d λ d μ d ν , {\displaystyle dV={\frac {\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\nu \right)}{8{\sqrt {-S(\lambda )S(\mu )S(\nu )}}}}\ d\lambda d\mu d\nu ,} а лапласиан имеет вид
∇ 2 Φ = 4 S ( λ ) ( λ − μ ) ( λ − ν ) ∂ ∂ λ [ S ( λ ) ∂ Φ ∂ λ ] + {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {4{\sqrt {S(\lambda )}}}{\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\left[{\sqrt {S(\lambda )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \lambda }}\right]\ +} + 4 S ( μ ) ( μ − λ ) ( μ − ν ) ∂ ∂ μ [ S ( μ ) ∂ Φ ∂ μ ] + 4 S ( ν ) ( ν − λ ) ( ν − μ ) ∂ ∂ ν [ S ( ν ) ∂ Φ ∂ ν ] . {\displaystyle +{\frac {4{\sqrt {S(\mu )}}}{\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left[{\sqrt {S(\mu )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\right]\ +\ {\frac {4{\sqrt {S(\nu )}}}{\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left[{\sqrt {S(\nu )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right].} Другие дифференциальные операторы, такие как ∇ ⋅ F {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} } ∇ × F {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} } ( λ , μ , ν ) {\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )}
Фокалоид (оболочка, заданная двумя координатными поверхностями)Morse P. M., Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I (неопр.) . — New York: McGraw-Hill Education , 1953. — С. 663.Zwillinger D. Handbook of Integration (неопр.) . — Boston, MA: Jones and Bartlett [англ.] ISBN 0-86720-293-9 .Sauer R., Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs (неопр.) . — New York: Springer Verlag , 1967. — С. 101—102.Korn G. A., Korn T. M. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers (англ.) . — New York: McGraw-Hill Education , 1961. — P. 176.Margenau H., Murphy G. M. The Mathematics of Physics and Chemistry (неопр.) . — New York: D. van Nostrand, 1956. — С. 178 —180.Moon P. H., Spencer D. E. Ellipsoidal Coordinates (η, θ, λ) // Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (англ.) . — corrected 2nd, 3rd print. — New York: Springer Verlag , 1988. — P. 40—44 (Table 1.10). — ISBN 0-387-02732-7 .Ссылки на внешние ресурсы
Словари и энциклопедии
Название координат Типы систем координат Двумерные координаты Трёхмерные координаты n {\displaystyle n} Физические координаты Связанные определения
![{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {4{\sqrt {S(\lambda )}}}{\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\left[{\sqrt {S(\lambda )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \lambda }}\right]\ +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04c86d9fdbebb4d9389a534c1850cafb607cb1fe)
![{\displaystyle +{\frac {4{\sqrt {S(\mu )}}}{\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left[{\sqrt {S(\mu )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\right]\ +\ {\frac {4{\sqrt {S(\nu )}}}{\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left[{\sqrt {S(\nu )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/855d59493a873a501a3513dd9d43e9c12dbaa0ac)
