Ядерный оператор

Ядерный оператор — класс компактных операторов в банаховом пространстве

Пусть ${\displaystyle E,F}$ - банаховы пространства. Непрерывный линейный оператор ${\displaystyle u:E\to F}$ называется ядерным, если найдется такое абсолютно суммируемое семейство ${\displaystyle \{v_{n}\}_{n\in I}}$ линейных непрерывных операторов из ${\displaystyle E}$ в ${\displaystyle F}$ с одномерным образом, что ${\displaystyle u=\sum _{n\in I}v_{n}}$. Множество всех ядерных операторов из ${\displaystyle E}$ в ${\displaystyle F}$ будем обозначать через ${\displaystyle {\mathcal {N}}(E,F)}$.

• Множество ${\displaystyle {\mathcal {N}}(E,F)}$ образует подпространство в пространстве всех непрерывных линейных операторов из ${\displaystyle E}$ в ${\displaystyle F}$. Точная нижняя грань сумм ${\displaystyle \sum _{n\in I}\|v_{n}\|}$ по всевозможным представлениям оператора ${\displaystyle u\in {\mathcal {N}}(E,F)}$ в виде ${\displaystyle u=\sum _{n\in I}v_{n}}$, где операторы ${\displaystyle v_{n}}$ имеют ранг ${\displaystyle 1}$, является нормой на пространстве ядерных операторов.
• Пространство ${\displaystyle {\mathcal {N}}(E,F)}$ банахово. Если ${\displaystyle E',F}$ сепарабельны, то ${\displaystyle {\mathcal {N}}(E,F)}$ тоже сепарабельно.

• Все конечномерные операторы ядерны, и их множество плотно в ${\displaystyle {\mathcal {N}}(H,K)}$. В свою очередь, ядерные операторы компактны.

• Ядерные операторы образуют операторный идеал. В частности, если ${\displaystyle u:E\rightarrow F}$ и ${\displaystyle v:F\rightarrow G}$ - непрерывные операторы в банаховых пространствах и хотя бы один из них ядерный, то их композиция ${\displaystyle vu}$ также ядерна.
• Сопряженный оператор к ядерному также ядерный.

Пусть ${\displaystyle T:H\to K}$ - компактный оператор между гильбертовыми пространствами. . Для ${\displaystyle T}$ можно найти сингулярное разложение, т.е. ортонормированные системы ${\displaystyle \{e_{1}^{'},e_{2}^{'},...\}\subset H}$, ${\displaystyle \{e_{1}^{''},e_{2}^{''},...\}\subset K}$ и последовательность неотрицательных чисел ${\displaystyle \{s_{n}\}}$ так, что ${\displaystyle Tx=\sum _{n}s_{n}(x,e_{n}^{'})e_{n}^{''}}$.
${\displaystyle T}$ является ядерным тогда и только тогда, когда для его ${\displaystyle s}$-чисел выполнено неравенство: ${\displaystyle \sum _{n}s_{n}<\infty }$
В Гильбертовом пространстве ядерная норма приобретает вид: ${\displaystyle ||T||_{\mathcal {N}}=\sum _{n}s_{n}}$.

Если ${\displaystyle H}$ - гильбертово пространство, то для ${\displaystyle T\in {\mathcal {N}}(H)={\mathcal {N}}(H,H)}$ можно ввести понятие, естественно обобщающее понятие матричного следа оператора в конечномерном пространстве:

${\displaystyle \operatorname {Tr} T=\sum _{n}(Te_{n},e_{n})}$,
где ${\displaystyle \{e_{n}\in H\}_{n\in I}}$ - ортонормированный базис в ${\displaystyle H}$. От выбора базиса число ${\displaystyle \operatorname {Tr} T}$ не зависит.

• ${\displaystyle \operatorname {Tr} T}$ - линейный непрерывный функционал в банаховом пространстве ${\displaystyle {\mathcal {N}}(H)}$, его норма равна ${\displaystyle 1}$.
• ${\displaystyle |\operatorname {Tr} T|\leq ||T||_{\mathcal {N}}}$, равенство достигается при ${\displaystyle T\geq 0}$
• ${\displaystyle \operatorname {Tr} T^{*}={\overline {\operatorname {Tr} T}}}$.
• ${\displaystyle \operatorname {Tr} TR=\operatorname {Tr} RT}$, если ${\displaystyle T,R}$ - линейные непрерывные операторы и ${\displaystyle TR,RT\in {\mathcal {N}}(H)}$.
• Всякий линейный непрерывный функционал в ${\displaystyle {\mathcal {N}}(H,H)}$ представим единственным образом в виде: ${\displaystyle l(T)=\operatorname {Tr} TQ}$, где ${\displaystyle Q}$ - линейные непрерывные операторы.

• Предположим ${\displaystyle f:H_{1}\to H_{2}}$ и ${\displaystyle g:H_{2}\to H_{3}}$ являются операторами Гильберта — Шмидта между Гильбертовыми пространствами. Тогда оператор ${\displaystyle g\circ f:H_{1}\to H_{3}}$ ядерный оператор.
• Оператор обратный к оператору Штурма-Лиувилля на отрезке - ядерный.

• А. Пич. Ядерные локально выпуклые пространства. — МИР, 1967. — 266 с.
• А. Я. Хелемский. Лекции по функциональному анализу. — МЦНМО, 2014. — 552 с. — 2000 экз. — ISBN 5-94057-065-8.
• М. Ш. Бирман М. З. Соломяк. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. — Лань, 2010. — 458 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-8114-1076-7.

• Компактный оператор
• Оператор Гильберта — Шмидта